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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Di 22.06.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei R ein Ring und [mm] $\mathfrak{a, b}$ [/mm] Ideale von R. Zeigen Sie:
[mm] $\mathfrak{a : b} [/mm] := [mm] \{r \in R\, |\, r\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}\}$ [/mm] ist ein Ideal von R |
Hallo,
ich bin noch nicht ganz sicher, wie ich die Multiplikation von einem Ringelement mit einem Ideal zu verstehen habe. Bedeutet das: [mm] $r\mathfrak{b}=\{r*b \in R\,|\,b\in\mathfrak{b}\}\;$?
[/mm]
Angenommen das stimmt, würde ich folgendermaßen weiter machen:
1. [mm] $0*\mathfrak{b}=(0) \subset \matfrak{a}$, [/mm] da [mm] $0\in\mathfrak{a} \Rightarrow 0\in \mathfrak{a : b}$
[/mm]
2. Seien $x,y [mm] \in \mathfrak{a : b} \Rightarrow x\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}, y\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Rightarrow (x+y)\mathfrak{b} =?\;x\mathfrak{b}+y\mathfrak{b}$
[/mm]
Jetzt hätte ich die Summe von zwei Mengen, da kann etwas nicht ganz stimmen, oder?
3. Sei $x [mm] \in \mathfrak{a : b}, [/mm] r [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow x\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Rightarrow r(x\mathfrak{b}) \subset x\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Rightarrow [/mm] rx [mm] \in \mathfrak{a : b}$ [/mm]
Stimmen 1. und 3. so?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Di 22.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei R ein Ring und [mm]\mathfrak{a, b}[/mm] Ideale von R. Zeigen
> Sie:
> [mm]\mathfrak{a : b} := \{r \in R\, |\, r\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}\}[/mm]
> ist ein Ideal von R
>
> ich bin noch nicht ganz sicher, wie ich die Multiplikation
> von einem Ringelement mit einem Ideal zu verstehen habe.
> Bedeutet das: [mm]r\mathfrak{b}=\{r*b \in R\,|\,b\in\mathfrak{b}\}\;[/mm]?
Ja, genau das ist gemeint.
> Angenommen das stimmt, würde ich folgendermaßen weiter
> machen:
> 1. [mm]0*\mathfrak{b}=(0) \subset \matfrak{a}[/mm], da
> [mm]0\in\mathfrak{a} \Rightarrow 0\in \mathfrak{a : b}[/mm]
> 2.
> Seien [mm]x,y \in \mathfrak{a : b} \Rightarrow x\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}, y\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Rightarrow (x+y)\mathfrak{b} =?\;x\mathfrak{b}+y\mathfrak{b}[/mm]
>
> Jetzt hätte ich die Summe von zwei Mengen, da kann etwas
> nicht ganz stimmen, oder?
Das stimmt auch i.A. nicht. Du hast auf jeden Fall $(x + y) [mm] \mathfrak{b} \subseteq [/mm] x [mm] \mathfrak{b} [/mm] + y [mm] \mathfrak{b}$, [/mm] und das reicht hier voellig aus.
> 3. Sei [mm]x \in \mathfrak{a : b}, r \in R \Rightarrow x\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Rightarrow r(x\mathfrak{b}) \subset x\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Rightarrow rx \in \mathfrak{a : b}[/mm]
Du solltest vielleicht etwas genauer begruenden, warum $r (x [mm] \mathfrak{b}) \subset [/mm] x [mm] \mathfrak{b}$ [/mm] gilt.
Ansonsten stimmt es.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:21 Di 22.06.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort.
> Moin!
>
> > Sei R ein Ring und [mm]\mathfrak{a, b}[/mm] Ideale von R. Zeigen
> > Sie:
> > [mm]\mathfrak{a : b} := \{r \in R\, |\, r\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}\}[/mm]
> > ist ein Ideal von R
> >
> > ich bin noch nicht ganz sicher, wie ich die Multiplikation
> > von einem Ringelement mit einem Ideal zu verstehen habe.
> > Bedeutet das: [mm]r\mathfrak{b}=\{r*b \in R\,|\,b\in\mathfrak{b}\}\;[/mm]?
>
> Ja, genau das ist gemeint.
>
> > Angenommen das stimmt, würde ich folgendermaßen weiter
> > machen:
> > 1. [mm]0*\mathfrak{b}=(0) \subset \matfrak{a}[/mm], da
> > [mm]0\in\mathfrak{a} \Rightarrow 0\in \mathfrak{a : b}[/mm]
> > 2.
> > Seien [mm]x,y \in \mathfrak{a : b} \Rightarrow x\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}, y\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Rightarrow (x+y)\mathfrak{b} =?\;x\mathfrak{b}+y\mathfrak{b}[/mm]
>
> >
> > Jetzt hätte ich die Summe von zwei Mengen, da kann etwas
> > nicht ganz stimmen, oder?
>
> Das stimmt auch i.A. nicht. Du hast auf jeden Fall [mm](x + y) \mathfrak{b} \subseteq x \mathfrak{b} + y \mathfrak{b}[/mm],
> und das reicht hier voellig aus.
[mm](x + y) \mathfrak{b} \subseteq x \mathfrak{b} + y \mathfrak{b}[/mm] [mm]\to[/mm] Kann man das so zeigen?
Sei [mm]z \in (x + y) \mathfrak{b} \Rightarrow [/mm] es gibt [mm]b \in \mathfrak{b}: z=(x+y)b=xb+yb \Rightarrow [/mm] da [mm]xb \in x\mathfrak{b}, yb \in y\mathfrak{b}: xb+yb \in x\mathfrak{b}+y\mathfrak{b}[/mm].
>
> > 3. Sei [mm]x \in \mathfrak{a : b}, r \in R \Rightarrow x\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Rightarrow r(x\mathfrak{b}) \subset x\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Rightarrow rx \in \mathfrak{a : b}[/mm]
>
> Du solltest vielleicht etwas genauer begruenden, warum [mm]r (x \mathfrak{b}) \subset x \mathfrak{b}[/mm]
> gilt.
>
Sei [mm]z \in r (x \mathfrak{b}) \Rightarrow [/mm] es gibt [mm]b \in \mathfrak{b}: z = rxb \Rightarrow [/mm] da [mm]\mathfrak{b}[/mm] Ideal ist [mm]rb \in \mathfrak{b} \Rightarrow z = rxb = x(rb) \in x\mathfrak{b}[/mm]
Stimmt das so?
> Ansonsten stimmt es.
>
> LG Felix
>
Grüße Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Di 22.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel!
> > > Jetzt hätte ich die Summe von zwei Mengen, da kann etwas
> > > nicht ganz stimmen, oder?
> >
> > Das stimmt auch i.A. nicht.
Um das etwas konkreter zu machen: Falls tatsaechlich $(x + y) [mm] \mathfrak{b} [/mm] = x [mm] \mathfrak{b} [/mm] + y [mm] \mathfrak{b}$ [/mm] gelten wuerde, so waere jeder Noethersche Ring ein Hauptidealring. Und das ist sicher nicht der Fall, siehe [mm] $\IZ[X]$ [/mm] oder $K[X, Y]$.
> > Du hast auf jeden Fall [mm](x + y) \mathfrak{b} \subseteq x \mathfrak{b} + y \mathfrak{b}[/mm],
> > und das reicht hier voellig aus.
>
> [mm](x + y) \mathfrak{b} \subseteq x \mathfrak{b} + y \mathfrak{b}[/mm]
> [mm]\to[/mm] Kann man das so zeigen?
> Sei [mm]z \in (x + y) \mathfrak{b} \Rightarrow[/mm] es gibt [mm]b \in \mathfrak{b}: z=(x+y)b=xb+yb \Rightarrow[/mm]
> da [mm]xb \in x\mathfrak{b}, yb \in y\mathfrak{b}: xb+yb \in x\mathfrak{b}+y\mathfrak{b}[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > > 3. Sei [mm]x \in \mathfrak{a : b}, r \in R \Rightarrow x\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Rightarrow r(x\mathfrak{b}) \subset x\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a} \Rightarrow rx \in \mathfrak{a : b}[/mm]
> >
> > Du solltest vielleicht etwas genauer begruenden, warum [mm]r (x \mathfrak{b}) \subset x \mathfrak{b}[/mm]
> > gilt.
> >
>
> Sei [mm]z \in r (x \mathfrak{b}) \Rightarrow[/mm] es gibt [mm]b \in \mathfrak{b}: z = rxb \Rightarrow[/mm]
> da [mm]\mathfrak{b}[/mm] Ideal ist [mm]rb \in \mathfrak{b} \Rightarrow z = rxb = x(rb) \in x\mathfrak{b}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, das stimmt. Und hier sieht man, warum man einen kommutativen Ring haben will 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Di 22.06.2010 | | Autor: | Lippel |
Super, danke für deine Hilfe, Felix.
Viele Grüße, Lippel
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Hallo Felix!
> >
> > Sei [mm]z \in r (x \mathfrak{b}) \Rightarrow[/mm] es gibt [mm]b \in \mathfrak{b}: z = rxb \Rightarrow[/mm]
> > da [mm]\mathfrak{b}[/mm] Ideal ist [mm]rb \in \mathfrak{b} \Rightarrow z = rxb = x(rb) \in x\mathfrak{b}[/mm]
>
> >
> > Stimmt das so?
>
> Ja, das stimmt. Und hier sieht man, warum man einen
> kommutativen Ring haben will
Warum sieht man das hier? Darf ich nicht auch so argumentieren:
$z = [mm] r*\underbrace{x*b}_{\in x*\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}} \in \mathfrak{a}$,
[/mm]
da [mm] \mathfrak{a} [/mm] Ideal?
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Mo 28.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> > > Sei [mm]z \in r (x \mathfrak{b}) \Rightarrow[/mm] es gibt [mm]b \in \mathfrak{b}: z = rxb \Rightarrow[/mm]
> > > da [mm]\mathfrak{b}[/mm] Ideal ist [mm]rb \in \mathfrak{b} \Rightarrow z = rxb = x(rb) \in x\mathfrak{b}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Stimmt das so?
> >
> > Ja, das stimmt. Und hier sieht man, warum man einen
> > kommutativen Ring haben will
>
> Warum sieht man das hier? Darf ich nicht auch so
> argumentieren:
>
> [mm]z = r*\underbrace{x*b}_{\in x*\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}} \in \mathfrak{a}[/mm],
>
> da [mm]\mathfrak{a}[/mm] Ideal?
Oh, da hast du Recht... Das hatte ich uebersehen :)
Dass $R$ kommutativ ist braucht man hier wirklich nicht. Man braucht nur, dass [mm] $\mathfrak{b}$ [/mm] ein $R$-Links-Modul ist und [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] und [mm] $\mathfrak{b}$ [/mm] Untermoduln des selben $R$-Links-Moduls $M$ sind (in diesem Fall $M = R$).
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Mo 28.06.2010 | | Autor: | skoopa |
Hey Stefan!
Also ich sehe das genauso wie du und würde gleich argumentieren.
Zumindest ist meiner Meinung nach klar, dass gilt:
[mm] \inbox{z=r*x*b} \Rightarrow z\in\mathfrak{a}
[/mm]
Ich meine, das folgt ja direkt aus den Idealeigenschaften.
Außer natürlich ich irre...
Grüße!
skoopa
...Mist! Falsch gepostet...
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