Quotientenabbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | | Für welche v [mm] \in [/mm] V gilt: [mm] \pi(v) [/mm] = [mm] 0_{U/V} [/mm] mit Beweis)? Ist [mm] \pi [/mm] surjektiv (mit Beweis)? Wenn V vorgegeben ist, für welche Wahl von U ist dann [mm] \pi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V/U injektiv (mit Beweis) |
Die Quotientenabbildung haben wir so definiert: [mm] \pi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V/U , v [mm] \mapsto [/mm] v + U
Also die surjektivität folgt ja dierkt aus der def der Quotientenabbildung. Habt ihr bei dem rest eine Idee???
Grüße
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> Für welche v [mm]\in[/mm] V gilt: [mm]\pi(v)[/mm] = [mm]0_{U/V}[/mm] mit Beweis)? Ist
> [mm]\pi[/mm] surjektiv (mit Beweis)? Wenn V vorgegeben ist, für
> welche Wahl von U ist dann [mm]\pi:[/mm] V [mm]\to[/mm] V/U injektiv (mit
> Beweis)
> Die Quotientenabbildung haben wir so definiert: [mm]\pi[/mm] : V
> [mm]\to[/mm] V/U , v [mm]\mapsto[/mm] v + U
>
> Also die surjektivität folgt ja dierkt aus der def der
> Quotientenabbildung. Habt ihr bei dem rest eine Idee???
Hallo,
für die erste Frage mußt Du Dir zunächst überlegen, was die Null in U/V ist, dann schreibe [mm] \pi(v) [/mm] = [mm] 0_{U/V} [/mm] aus und denke nach.
Für die Injektivität überlege Dir, was Injektivität bedeutet.
Was bedeutet es, wenn [mm] \pi(v_1)=\pi(v_2) [/mm] , und wie muß U beschaffen sein, daß daraus immer [mm] v_1=v_2 [/mm] folgt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Di 20.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo angela!
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> für die erste Frage mußt Du Dir zunächst überlegen, was die
> Null in U/V ist, dann schreibe [mm]\pi(v)[/mm] = [mm]0_{U/V}[/mm] aus und
> denke nach.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Der Nullvektor [mm] 0_{U/V} [/mm] ist U
[mm] \pi(v+0_{U/V}) [/mm] = [mm] \pi(v) [/mm] + [mm] \pi(0_{U/V}) [/mm] = [mm] \pi(v) [/mm] + U = v + U
Also für alle v [mm] \in [/mm] U gilt [mm] \pi(v) [/mm] = [mm] 0_{U/V}
[/mm]
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> > für die erste Frage mußt Du Dir zunächst überlegen, was die
> > Null in U/V ist, dann schreibe [mm]\pi(v)[/mm] = [mm]0_{U/V}[/mm] aus und
> Der Nullvektor [mm]0_{U/V}[/mm] ist U
Genau.
Gesucht sind also sämtlich [mm] v\in [/mm] V, die durch [mm] \pi [/mm] auf U abgebildet werden.
>
> [mm]\pi(v+0_{U/V})[/mm]
Das ist Blödsinn.
Es ist doch [mm] \pi: V\to [/mm] V/U,
d.h. [mm] \pi [/mm] wird auf Elemente aus v angewendet.
Also
Es sei [mm] 0_{U/V}=U=\pi(v)=
[/mm]
> = v + U
==> [mm] v\in [/mm] U
Damit hast Du [mm] Kern\pi \subseteq [/mm] U
Jetzt muß man umgekehrt noch feststellen, ob wirklich jedes Element aus U auf [mm] 0_{U/V} [/mm] abgebildet wird.
Sei also [mm] u\in [/mm] U.
Es ist [mm] \pi(u)=...
[/mm]
>
> Also für alle v [mm]\in[/mm] U gilt [mm]\pi(v)[/mm] = [mm]0_{U/V}[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Di 20.11.2007 | | Autor: | Damn88 |
Kann mir vielleicht einer sagen warum aus U=v+U folgt, dass der Kern von pi alle v [mm] \in [/mm] U sind?
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> Kann mir vielleicht einer sagen warum aus U=v+U folgt, dass
> der Kern von pi alle v [mm]\in[/mm] U sind?
Hallo,
nein, hieraus folgt zunächst, daß [mm] kern\pi \subseteq [/mm] U.
ich kenne jetzt natürlich Eure Schreibweisen und genauen Def. nicht.
Eine Möglichkeit: v+U=U=0+U <==> v-0 [mm] \in [/mm] U
Oder: [mm] U=v+U=\{v+u|u\in U\} [/mm] ==> für alle [mm] u\in [/mm] U ist [mm] v+u\in [/mm] U ==> [mm] v\in [/mm] U.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Di 20.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Also ist:
[mm] 0_{U/V} [/mm] = U = [mm] \pi(v) [/mm] = [mm] \pi(v+U) [/mm] = [mm] \pi(v) [/mm] + [mm] \pi(U) [/mm] = v+ U = v
also für alle v [mm] \in [/mm] U gilt [mm] \pi(v) [/mm] = [mm] 0_{U/V}
[/mm]
Gruß
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> Also ist:
>
Was willst Du jetzt genau zeigen?
> [mm]0_{U/V}[/mm] = U = [mm]\pi(v)[/mm] =
>[mm]\pi(v+U)[/mm] = [mm]\pi(v)[/mm] + [mm]\pi(U)[/mm]
DAS GEHT NICHT!!!
[mm] \pi [/mm] ist nicht auf V/U definiert! Du kannst die Abbildung nicht auf Mengen anwenden.
Ah - Du willst zeigen, daß [mm] U\subseteq [/mm] Kern [mm] \pi:
[/mm]
Sei [mm] u\in [/mm] U
dann ist [mm] \pi(u)= [/mm] [nach Definition!]... [mm] =...=0_{U/V}
[/mm]
> = v+ U = v
Das kann niemals sein.
v ist ein Vektor, und v+U ist eine Menge. Die können nicht gleich sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 20.11.2007 | | Autor: | Damn88 |
okay wir haben ja schon gezeigt, dass der Kern von pi eine Teilmenge von U ist..
dann:
Sei u [mm] \in [/mm] U.
[mm] \pi(u) [/mm] = u+U = U = 0
aber ich bin mir bei dem Schritt u+U= U nicht sicher.
Kann ich mir das so vorstellen?:
Wenn jetzt U z.B. eine Gerade durch den Ursprung ist, dann ist u [mm] \in [/mm] U ein Punkt auf dieser Gerade und dieser Punkt plus die Gerade ist wieder die Gerade, also U
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> okay wir haben ja schon gezeigt, dass der Kern von pi eine
> Teilmenge von U ist..
> dann:
> Sei u [mm]\in[/mm] U.
> [mm]\pi(u)[/mm] = u+U = U = 0
>
> aber ich bin mir bei dem Schritt u+U= U nicht sicher.
> Kann ich mir das so vorstellen?:
> Wenn jetzt U z.B. eine Gerade durch den Ursprung ist, dann
> ist u [mm]\in[/mm] U ein Punkt auf dieser Gerade und dieser Punkt
> plus die Gerade ist wieder die Gerade, also U
Hallo,
ja, das ist eine sehr gute Vorstellung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 20.11.2007 | | Autor: | Damn88 |
Man muss ja auch beweisen, dass [mm] \pi [/mm] surjektiv ist.
Ich habs versucht. Vielleicht ist aber auch alles falsch?!
Sei x [mm] \in [/mm] v+U beliebig.
(Nebenrechnung: x= v+u => v= x-u)
Wähle v= x-u
Dann gilt:
[mm] \pi(v) [/mm] = v+U = x-u + U = x + U + (-u) + U = x + U (da -u [mm] \in [/mm] U und das auf 0 abgebildet wird??)
und somit ist es surjektiv?
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> Man muss ja auch beweisen, dass [mm]\pi[/mm] surjektiv ist.
> Ich habs versucht. Vielleicht ist aber auch alles
> falsch?!
Nein, die Überlegungen sind nicht direkt falsch, aber sie sind sehr umständlich.
Du willst zeigen, daß [mm] \pi [/mm] surjektiv ist, daß also auf jedes Element aus V/U eins abgebildet wird.
Sei [mm] x+U\in [/mm] V/U.
dann ist [mm] x\in [/mm] V und
es ist [mm] \pi(x)=x+U, [/mm] also ist [mm] \pi [/mm] surjektiv.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Di 20.11.2007 | | Autor: | Damn88 |
danke schön :)
Weiterhin müssen wir zeigen:
Wenn V vorgegeben ist, für welche Wahl von U ist dann [mm] \pi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V/U injektiv (mit Beweis)
Ich denke es ist nur dann eindeutig zuordenbar ist, wenn U nur einelementig ist. Aber wie kann ich das beweisen? (wenn die Annahme überhaupt richtig ist)
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> Weiterhin müssen wir zeigen:
> Wenn V vorgegeben ist, für welche Wahl von U ist dann [mm]\pi:[/mm]
> V [mm]\to[/mm] V/U injektiv (mit Beweis)
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> Ich denke es ist nur dann eindeutig zuordenbar ist, wenn U
> nur einelementig ist.
Ja, das hatte ich mir vorhin auch überlegt. Damit kennen wir U dann ja genau.
> Aber wie kann ich das beweisen? (wenn
> die Annahme überhaupt richtig ist)
Versuch's - ich kann es Dir doch nicht einfach vorrechnen...
Das ist doch Dein Job!
Gruß v. Angela
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