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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Di 27.11.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | [mm] SL_n(K) [/mm] ist ein Normateiler von [mm] GL_n(K), [/mm] und die resultierende Faktorgruppe ist isomorph zur multiplikativen Gruppe [mm] K^{x}. [/mm] |
Hallo Leute,
mir geht es um die Abbildung und zwar:
[mm] f:GL_n(K)/SL_n(K) [/mm] -> [mm] K^{x}
[/mm]
Das heißt doch ansich, dass ich eine Matrix aus [mm] GL_n(K)/SL_n(K) [/mm] nehme, die die Form AB hat, wobei A [mm] \in GL_n(K) [/mm] und B [mm] \in SL_n(K).
[/mm]
Das heißt ich habe f(AB), richtig?
-------------------------------------
Das erstmal zur Begriffsklärung.
Als f habe ich mir die Determinantenabbildung überlegt und zwar hätte ich damit:
det(AB)=y wobei [mm] y\in K^{x}=K/[0]
[/mm]
Kann man das so machen? Ein Gruppenhomomorphismus ist das ja bekannterweise, da die Determinante ein Gruppenhomomorphismus ist, jetzt müsste ich nur noch zeigen, dass das ganze bijektiv ist, korrekt?
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Hi,
> [mm]SL_n(K)[/mm] ist ein Normateiler von [mm]GL_n(K),[/mm] und die
> resultierende Faktorgruppe ist isomorph zur multiplikativen
> Gruppe [mm]K^{x}.[/mm]
Ist das die Aufgabe ?
> Hallo Leute,
>
> mir geht es um die Abbildung und zwar:
>
> [mm]f:GL_n(K)/SL_n(K)[/mm] -> [mm]K^{x}[/mm]
>
> Das heißt doch ansich, dass ich eine Matrix aus
> [mm]GL_n(K)/SL_n(K)[/mm] nehme, die die Form AB hat, wobei A [mm]\in GL_n(K)[/mm]
> und B [mm]\in SL_n(K).[/mm]
Naja die Faktorgruppe hat Elemente $A [mm] \operatorname{SL}_n(K)$.
[/mm]
>
> Das heißt ich habe f(AB), richtig?
Für die Abbildung schon.
>
> -------------------------------------
>
>
> Das erstmal zur Begriffsklärung.
>
> Als f habe ich mir die Determinantenabbildung überlegt und
> zwar hätte ich damit:
>
> det(AB)=y wobei [mm]y\in K^{x}=K/[0][/mm]
>
> Kann man das so machen? Ein Gruppenhomomorphismus ist das
> ja bekannterweise, da die Determinante ein
> Gruppenhomomorphismus ist, jetzt müsste ich nur noch
> zeigen, dass das ganze bijektiv ist, korrekt?
Du willst sicherlich den Homomorphiesatz anwenden. Da betrachtet man einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
[mm] $f\colon \operatorname{GL}_n(K) \to K^\times$ [/mm] mit Kern [mm] $\operatorname{SL}_n(K)$.
[/mm]
Und erhält dann [mm] $\operatorname{GL}_n(K)/\operatorname{SL}_n(K) \cong K^\times$ [/mm] geschenkt.
Deine Idee ist sehr gut! Nur setzt du die falschen Elemente ein. in $f$ (oder det() ) setzt man eine Matrix [mm] $\in \operatorname{GL}_n(K)$ [/mm] ein.
Begründe, dass [mm] $\operatorname{SL}_n(K)$ [/mm] der Kern (also auch Normalteiler) ist.
Begründe, etwa du Anwendungder der Def. von Surjektiv, dass das konstruierte $f$ surjektiv ist.
wieschoo
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:44 Di 27.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke für deine Antwort erstmal!
1.
Ich verstehe aber nicht ganz, warum es nun:
f: [mm] GL_n(K) [/mm] -> [mm] K^{x} [/mm]
heißt und nicht:
f: [mm] GL_n(K)/SL_n(K) [/mm] -> [mm] K^{x} [/mm]
2.
An den Isomorphiesatz hatte ich gar nicht gedacht, aber es ist Einleuchtend, dass [mm] SL_n(K) [/mm] der Kern ist, denn alle Matrizen dort besitzten die Determinante 1, was das neutrale Element ist. Mir ist klar, warum dies der Kern ist. Surjektiv ist mir auch klar, denn jedes Element in [mm] K^{x} [/mm] hat viele Urbilder, da die Determinante von verschiedenen Matrizen gleich sein kann.
3.
Wenn ich jetzt aber hergegange wäre, ohne Isomorphiesatz mit meiner Determinantenabbildung, hätte das doch nicht geklappt oder? Denn Injektivität gilt ja nicht oder sehe ich das falsch? Sprich insgesamt wäre das nicht bejektiv, warum folgt aber aus dem Isomorphiesatz, dass es bijektiv ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 29.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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