Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:32 Di 07.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | Summe von k=1 bis Unendlich :
[mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}}{\wurzel{n}}
[/mm]
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hi...
Also ich habe eine kleine Verständnissfrage bei dieser Reihe bzw folge.
Muss man beim Quotientenkriterium mit Limes oder ohne limes rechnen ?
Das wäre ja ak+1 / ak....
Wennn ich das auchrechne kriege ich am ende [mm] \bruch{n^2+2n+1}{n^2+2n}
[/mm]
Der Zähler ist ja größer also divergiert das ding ?
Bei Limes würde es gegen 1 gehn und man könnte nix darüber sagen.....
Aber weil es größer als die harmonische Reihe 1/n ist muss es eigentlich divergieren oder ?
Bei der zweiten Aufgabe habe ich das aufgeteilt auf [mm] \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}} [/mm] -1
und komme dannauch nichtmehr weiter wie ich das kriterium anwenden soll...
Danke für die Hilfe.
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Hallo Yuumura!
Überprüfe das notwendige Kriterium! Ist [mm] $\bruch{n}{n+1}$ [/mm] eine Nullfolge?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Di 07.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Ah ok stimmt...
Aber habe ich es denn richtig angewandt abgesehen davon dass es keine NF ist ? Wäre es größer als 1 weil im zähler eine 1 ist und im nenner nur [mm] n^2+2n [/mm] ? Oder muss man limes benutzen ?
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Hallo Yuumura,
> Ah ok stimmt...
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> Aber habe ich es denn richtig angewandt abgesehen davon
> dass es keine NF ist ? Wäre es größer als 1 weil im
> zähler eine 1 ist und im nenner nur [mm]n^2+2n[/mm] ? Oder muss man
> limes benutzen ?
Ja, du musst den [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] betrachten.
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] hast du schon richtig berechnet.
Nun ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2+2n+1}{n^2+n}$ [/mm] ja offensichtlich $=1$
In diesem Falle liefert das QK leider keine Aussage über Konvergenz/Divergenz, es besagt lediglich, dass die Reihe konvergent ist, wenn der Limes $=q$ mit $q<1$ ist und dass sie divergent ist, falls $q>1$
Für $q=1$ (wie hier) macht das QK keine Aussage.
Die Reihe könnte konvergent oder divergent sein ...
Da musst du dir dann was anderes überlegen, wie ja auch im anderen post erwähnt ist.
Bei der anderen Aufgabe erweitere mal mit [mm] $\sqrt{n+1}\red{+}\sqrt{n}$
[/mm]
Dann siehst du, dass zumindest die Folge der Reihenglieder eine NF ist.
Die Reihe könnte also konvergent sein.
Wenn du sie erweitert hast, fasse mal den "neuen" Nenner zusammen.
Das gibt eine Reihe der "Größenordung" [mm] $\sum\frac{1}{n}$, [/mm] also eine divergente harmonische Reihe.
Versuche gem. Vergleichskriterium gegen eine Variante der harmonischen Reihe als divergente Minorante nach unten abzuschätzen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Di 07.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Ah ok ich versuch das gleich nur noch eine frage zum Verständnis
Der Limes des Terms ist = 1 weil die 1 im zähler keine Rolle spielt und die N's sich gegenseitig wegkürzen oder weil die 1 da übrig bleibt im zähler ?
Würde dort +2 stehen im zähler wäre der Limes immernoch 1 ?
Das heisst doch dass das QK nur anwendbar ist, wenn es um Potenzen geht oder ? Wenn z.B [mm] x^n [/mm] oder [mm] n^x [/mm] oder [mm] n^2 [/mm] im zähler und [mm] n^1 [/mm] im nenner steht, nicht wahr ?
Den rest versuch ich mal , danke.
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Hallo nochmal,
> Ah ok ich versuch das gleich nur noch eine frage zum
> Verständnis
>
> Der Limes des Terms ist = 1 weil die 1 im zähler keine
> Rolle spielt und die N's sich gegenseitig wegkürzen oder
> weil die 1 da übrig bleibt im zähler ?
>
> Würde dort +2 stehen im zähler wäre der Limes immernoch
> 1 ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das folgt aus den Grenzwertsätzen, wenn du mal [mm] $n^2$ [/mm] in Zähler und Nenner ausklammerst, siehst du's
> Das heisst doch dass das QK nur anwendbar ist, wenn es um
> Potenzen geht oder ? Wenn z.B [mm]x^n[/mm] oder [mm]n^x[/mm] oder [mm]n^2[/mm] im
> zähler und [mm]n^1[/mm] im nenner steht, nicht wahr ?
Nein, das kann man so pauschal nicht sagen, es bietet sich bei Potenzen an, aber auch bei Fakultäten.
Wenn du etwa $n!$ in der Reihe mit drin hast, so kürzt sich in [mm] $\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n\cdot{}n!}{n!}=n$ [/mm] viel weg.
Aber es kommt immer auf die Reihe an, allg. kann man nicht sagen, dass es "nur" für einen bestimmten Typ geeignet ist ...
>
> Den rest versuch ich mal , danke.
OK
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Di 07.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
ok ich habe 1/2n + wurzel n....
Gut gut das mit der geometrischen Reihe habe ich bereits mal gehört aber wie zeige ich das ?
Es jst ja auch eine harmonische Reihe im eigentlichem Sinne oder ?
Weil mit Quotientenkriterium komme ich da auch nicht wirklich weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Di 07.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Reihe hat nix mit der geometrischen zu tun. Dein Ergebnis ist entweder unlesbar oder falsch.
versuch was du raus hast mit ner geeigneten harm. Reihe zu Minorisieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Di 07.07.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Hallo nochmal,
>
> > Ah ok ich versuch das gleich nur noch eine frage zum
> > Verständnis
> >
> > Der Limes des Terms ist = 1 weil die 1 im zähler keine
> > Rolle spielt und die N's sich gegenseitig wegkürzen oder
> > weil die 1 da übrig bleibt im zähler ?
> >
> > Würde dort +2 stehen im zähler wäre der Limes immernoch
> > 1 ?
>
>
>
> Ja, das folgt aus den Grenzwertsätzen, wenn du mal [mm]n^2[/mm] in
> Zähler und Nenner ausklammerst, siehst du's
>
> > Das heisst doch dass das QK nur anwendbar ist, wenn es um
> > Potenzen geht oder ? Wenn z.B [mm]x^n[/mm] oder [mm]n^x[/mm] oder [mm]n^2[/mm] im
> > zähler und [mm]n^1[/mm] im nenner steht, nicht wahr ?
>
> Nein, das kann man so pauschal nicht sagen, es bietet sich
> bei Potenzen an, aber auch bei Fakultäten.
>
> Wenn du etwa [mm]n![/mm] in der Reihe mit drin hast, so kürzt sich
> in [mm]\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n\cdot{}n!}{n!}=n[/mm] viel weg.
wär das nicht eher [mm] \frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n!*(n+1)}{n!}=n+1?
[/mm]
>
> Aber es kommt immer auf die Reihe an, allg. kann man nicht
> sagen, dass es "nur" für einen bestimmten Typ geeignet ist
> ...
>
> >
> > Den rest versuch ich mal , danke.
>
>
> OK
>
> LG
>
> schachuzipus
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> > Wenn du etwa [mm]n![/mm] in der Reihe mit drin hast, so kürzt sich
> > in [mm]\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n\cdot{}n!}{n!}=n[/mm] viel weg.
> wär das nicht eher
> [mm]\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n!*(n+1)}{n!}=n+1?[/mm]
> >
Die Korrektur stimmt meiner Meinung nach.
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Hallo zusammen,
> > Wenn du etwa [mm]n![/mm] in der Reihe mit drin hast, so kürzt sich
> > in [mm]\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n\cdot{}n!}{n!}=n[/mm] viel weg.
> wär das nicht eher
> [mm]\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n!*(n+1)}{n!}=n+1?[/mm]
> >
Ja klar, hatte mich vertippelt, sorry 
Bis dann
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Di 07.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
fuer garantierte Konvergenz muss der Quotient immer <1 sein, auch im GW.
Musst du das Quotientenkriterium anwenden? das versagt, wegen GW=1 oft fuer divergente Reihen. fuer beide Reihen ist ne Minorante besser.
die Zweite teilst du nicht auf, sondern erweiterst mit
$ [mm] {\wurzel{n+1} + \wurzel{n}} [/mm] $ um die Wurzel im Zaehler zu beseitigen, das ist der uebliche Trick, den man sich merken sollte, (warum er in Vorlesungen "verschwiegen" wird ist mir raetselhaft)
Dann wieder Minorantenkrit,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Di 07.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | summe...
[mm] \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}
[/mm]
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So nochmal zum verständniss...
Ich zieh ein X vor die Summe und substituier x^2n durch [mm] y^n
[/mm]
Jetzt betrachte ich ak * 1 / 2n+1 wobei ak = [mm] y^n [/mm] ist...
Für den fall dass y = 1 ist, habe ich eine harmonische reihe es divergiert.
Für -1 habe ich eine alternierende reihe, es konv nach leibnitz ?
Für Größer als 1 und kleiner als -1 also >|1| habe ich keine NF es divergiert.
Füer x zwischen 1 und 0 also für positive "brüche" konvergiert es auch... warum kann ich nicht sagen..... aber ich "sehs":...
für "negative" brüche also für x zwischen -1 und 0 konvergiert es ebenfalls nach leibnitz ?
Ist das halbwegs richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 07.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist alles richtig falls das fuer jedes [mm] y_n [/mm] waere, aber deine [mm] y_n [/mm] sind ja gerade Potenzen von x also immer >0. du musst schon damit rechnen, dass da nur ungerade potenzen von x vorkommen. (also kein x rausziehen) oder fuer neg. x, x durch -|x| ersetzen.
Mit Quotientenkriterium kriegst du fuer [mm] 0\le [/mm] x<1 die Konvergenz.
(hattet ihr den Begriff des Konvergenzradius noch nicht?)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 07.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Doch wir hatten alles aber vor einem Jahr und ich habe alles vergessen warum ?
Muss ich eigentlich zu [mm] y^n [/mm] substituieren ? Weil wir haben da ein X vors integral gezogen.... also schau ich mit Quotientenkriterium ob [mm] y^n [/mm] * 1/ 2n+1 konvergiert..... setze ich dann einfach 1 ein für y ? Oder wie setze ich eine zahl <1 ein ? Schreib ich das einfach nur in worten dahin ? Mir gehts um die korrekte mathematische ausdrucksweise weil uns sonst alles abgezogen wird in der klausur.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Di 07.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Doch wir hatten alles aber vor einem Jahr und ich habe
> alles vergessen warum ?
wiederhole das bitte. Und vor allem wiederhole den Beweis, denn wenn man den Beweis verstanden hat, vergisst man eigentlich auch die Aussage des Quotientenkriteriums nicht. Wenn man mit Grenzwerten arbeitet, dann sollte man eigentlich mit [mm] $\limsup$ [/mm] und [mm] $\liminf$ [/mm] arbeiten, vgl. die Formulierung des QK in ![[]](/images/popup.gif) Satz 6.19. (Insbesondere beachte auch die Aussage aus Satz 5.21 über die Zusammenhänge zwischen [mm] $\lim$, $\limsup$ [/mm] und [mm] $\liminf$.)
[/mm]
Manch' einer mag' (aus mir unverständlichen Gründen) diese Formulierung nicht und bevorzugt die von Wiki, QK -> Beschreibung. Das ist aber nur eine Umformulierung (also äquivalent zu der Aussage des QK aus Satz 6.19). Das sollte auch jeder, der die Begriffe [mm] $\liminf$ [/mm] und [mm] $\limsup$ [/mm] verstanden hat, für sich schnell beweisen können.
Edit:
Zu Potenzreihen findest Du alles (wesentliche) in Kapitel 16. Zum Verständnis (nicht unbedingt zur Anwendung) - wann man den Konvergenzradius wie berechnen kann - benötigst Du natürlich aber Satz 6.17 (Wurzelkriterium) und Satz 6.19 (Quotientenkriterium).
Gruß,
Marcel
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Hallo Yuumura,
um nicht in die Verdrückung zu kommen, bei der Anwendung des QK durch 0 teilen zu müssen (bei [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k}$) [/mm] empfiehlt es sich hier bei deiner Potenzreihe, das Kriterium von Chauchy-Hadamard anzuwenden und den Konvergenzradius [mm] $\rho$ [/mm] zu berechnen:
[mm] $\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[2n+1]{\left|\frac{1}{2n+1}\right|}}$
[/mm]
Hilfreich dabei ist es, sich zu erinnern, dass [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{k}=1$ [/mm] ist
Es ist kein Geheimnis, dass [mm] $\rho=1$ [/mm] ist
Du hast als Konvergenz deiner Potenzreihe für $|x|<1$ und Divergenz für $|x|>1$
Für die Randpunkte [mm] $x=\pm [/mm] 1$ setze in die Ausgangsreihe ein und untersuche auf Konvergenz mit den "üblichen" Kriterien:
1) $x=1$
Das ist die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1^{2n+1}}{2n+1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}$ [/mm] und die kannst du doch locker gegen eine divergente harmonische Reihe abschätzen...
2) $x=-1$
Das ist die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{-1}{2n+1}=-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}$
[/mm]
Und das ist dieselbe Reihe wie in 1) nur mit negativem VZ , also ...
Insgesamt hast du also Konvergenz deiner Reihe für [mm] $x\in [/mm] (-1,1)$ und Divergenz in [mm] $\IR\setminus [/mm] (-1,1)$
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:28 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> summe...
> [mm]\bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
>
> So nochmal zum verständniss...
>
> Ich zieh ein X vor die Summe und substituier [mm] $\red{x^{2n}}$ [/mm]
> durch [mm]\red{y^n}[/mm]
jein, genauer substituierst Du [mm] $y=x^2$ [/mm] und damit ergibt sich dann [mm] $x^{2n}=\big(x^2\big)^n=y^n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN_0\,.$
[/mm]
Ich hab' mir das gerade erst mal genauer durchgelesen. Das kannst Du durchaus so machen (ich schreibe nur noch [mm] $\sum$ [/mm] für die entsprechende Reihe, die Grenzen bzw. den Laufindex unterm Summenzeichen kannst Du ja überall entsprechend ergänzen):
Es ist
[mm] $$(\star)\;\;\;\sum \frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x*\sum \frac{y^{n}}{2n+1}\,.$$
[/mm]
mit der Substitution [mm] $y=x^2$. [/mm]
Vermittels [mm] $(\star)$ [/mm] überlegt man sich leicht, dass die Potenzreihe [mm] $\sum \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ [/mm] (in der Variablen [mm] $x\,$) [/mm] genau dann konvergiert, wenn die Potenzreihe [mm] $\sum \frac{y^{n}}{2n+1}$ [/mm] (in der Variablen [mm] $y\,$ [/mm] - mit [mm] $y=x^2$) [/mm] konvergiert.
Jetzt kannst Du durchaus auch hier mit [mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$ [/mm] den Konvergenzradius berechnen. Es ist nur zu beachten:
Bzgl. [mm] $x\,$ [/mm] gilt [mm] $\sum \tilde{a}_n x^n$ [/mm] mit
[mm] $$\tilde{a}_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \in \IN_0 \mbox{ gerade} \\ \frac{1}{n}, & \mbox{für } n \in \IN \text{ ungerade} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Bei der Bildung des Quotienten [mm] $\frac{|\tilde{a}_{n}|}{|\tilde{a}_{n+1}|}$ [/mm] würde man also bei jedem zweiten durch [mm] $0\,$ [/mm] dividieren, insbesondere ekennt man hier, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{|\tilde{a}_n|}{|\tilde{a}_{n+1}|}$ [/mm] nicht existiert (Warum?).
Dieses Problem hat man bei der Potenzreihe [mm] $\sum \frac{y^{n}}{2n+1}$ [/mm] (offensichtlich) nicht - und wegen des blauen Satzes oben versuchen wir, für diese Potenzreihe (in der Variablen [mm] $y\,$) [/mm] den Konvergenzradius (bzgl. [mm] $y\,$) [/mm] zu berechnen, um damit den Konvergenzradius der Ausgangs-Potenzreihe in der Variablen [mm] $x\,$ [/mm] zu berechnen.
Es ergibt sich, dass die Potenzreihe in [mm] $y\,$ [/mm] sich schreiben läßt als
[mm] $$\sum a_n y^n$$
[/mm]
mit
[mm] $$a_n=\frac{1}{2n+1}\;\;(n \in \IN_0)\,.$$
[/mm]
Du erkennst nun, dass [mm] $r_y=\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n}|}{|a_{n+1}|}=\lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)+1}{2n+1}=\lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{2n+1}=1$ [/mm] ist, und weißt daher, dass [mm] $\sum \frac{y^{n}}{2n+1}$ [/mm] (bzgl. der Variablen [mm] $y\,$) [/mm] konvergiert, falls $|y| < [mm] r_y=1$; [/mm] und divergiert, falls $|y| > [mm] 1=r_y\,.$ ($r_y$ [/mm] bezeichne, bzgl. [mm] $y\,$, [/mm] den Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] $\sum \frac{y^n}{2n+1}\,.$)
[/mm]
Nun folgende Beobachtungen:
1.) Wegen des obigen blauen Satzes ergibt sich damit, dass die Potenzreihe [mm] $\sum \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ [/mm] (in der Variablen [mm] $x\,$) [/mm] konvergiert, falls [mm] $|y|=|x^2|=|x|^2 [/mm] < [mm] r_y$; [/mm] und dass diese Reihe divergiert, falls [mm] $|y|=|x|^2 [/mm] > [mm] r_y\,.$
[/mm]
2.) Ferner ist [mm] $\sum \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ [/mm] ja eine Potenzreihe (in der Variablen [mm] $x\,$), [/mm] so dass Du zudem weißt, dass diese sicher konvergiert, falls $|x| < [mm] r_x$ [/mm] und sicher divergiert, falls $|x| > [mm] r_x\,.$ [/mm]
(Hierbei bezeichne [mm] $r_x$ [/mm] den Konvergenzradius, bzgl. [mm] $x\,$, [/mm] der Potenzreihe [mm] $\sum \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\,.$)
[/mm]
Aus 1.) und 2.) - und wegen des blauen Satzes - ergibt sich dann der Zusammenhang [mm] $r_x^2=r_y$ [/mm] bzw. [mm] $r_x=\sqrt{r_y}\,.$ [/mm] Wir haben nun oben schon gesehen, dass [mm] $r_y=1$ [/mm] ist, woraus sich [mm] $r_x=\sqrt{1}=1$ [/mm] ergibt.
P.S.:
Die Formeln für den Konvergenzradius (aus dem Wikilink) ergeben sich übrigens aus dem Quotientenkriterium (damit kann man [mm] $r=\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n}|}{|a_{n+1}|}$ [/mm] herleiten, unter entsprechenden Voraussetzungen); bzw. die Formel von Cauchy-Hadamard ist nichts anderes als eine Konsequenz des Wurzelkriteriums, angewendet auf eine Potenzreihe (schlag' das auch mal in dem von mir oben verlinkten Skript nach!).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Ok cool bin jetzt shconmal sehr viel weiter. Nur zwie kleine Fragen wie zeige ich dass 1 / 2n+1 eine "form" der harmonischen Reihe ist ?
,
Ich habe einfach 2n+1 substituiert zu N und gesat 1/N ist eine form der harmonischen reihe und divergiert deswegen kann man das so sagen ?
Und die zweite Frage, warum ist das für y = -1 dann mit [mm] -1^n [/mm] / 2n+1
wieso konvergiert das nicht nach leibnitz es alterniert doch und ist eine nullfolge ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Wegen [mm] \bruch{1}{2n+1} \ge \bruch{1}{3n} [/mm] und der Divergenz von
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3n}
[/mm]
divergiert auch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n+1}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Ok danke aber wieso konvergiert die reihe nicht für -1 ?
Ein Freund hat 2n+1 einfach durch U ersetzt
und hatte dann [mm] x^u [/mm] / u
dann einfach den konvergenz radius berechnet = 1
Dann für +1 die divergierende haronische reihe bekommen und für -1 die alternatierende harmonische reihe, und fertig war er mit der aufgabe
!
Muss man nicht die verschiedenen Fälle wie x= 0 oder kleiner als 1 ausrechnen sondern kann einfach den konvergenzradius + die rand punkte bestimmen ?
edit: Ok jetzt habt ihr mich zum mathematiker gemacht, ich habe jetzt garnix gerechnet sondern mir nur noch gedanken gemacht und verglichen/bewiesen:
Meine gedanken sind folgende:
X=0 , limes geht gegen 0, konvergiert für 0.
Betrag X kleiner als 1, geom. reihe [mm] x^n [/mm] konv für x kleiner als 1.
Zähler geht bei limes gegen 0, nenner wächst unendlich, konvergiert.
Betrag X größer als 1, geom. reihe divergiert für [mm] X^n [/mm] x größer als 1, zähler wächst aber schneller als nenner, da potenz.
randpunkte = 1, harmonische reihe.
-1, divergiert, harmonische reihe, kein leibnitz da x^2n+1, also immer - bzw negativ, kein abwechselnd - + deswegen kann man - vors integral ziehen.
Ist das alles richtig ???? Wenn ja, bin ich glücklich :DXD
So bei meiner 2ten Aufgabe [mm] \bruch{x^{5n+1}}{1+2^n}
[/mm]
Muss ich jetzt ähnlich vorgehen oder ?
Nur ist hier R = 2.
Heisst das ich muss das selbe mit 2 statt 1 machen im Grenzwert ? Also schaun, was ist wenn x kleiner oder größer 2 ist ?
Woher weiss ich dass es für x kleiner als 2 konvergiert, außer dass es mein R ist (oder reicht das schon, weil es mein R ist ?)
Bei der vorheerigen aufgabe habe ich gesehen dass der nenner schneller wächst, aber hier sieht man es nicht umbedingt...
Btw. Wann kann ich das - Vors Integral ziehen wann ist es alternierend ?
Ich weis z.B nicht ob ich das hier bei [mm] x^{5n+1} [/mm] vor ziehen kann oder obs alternierend ist. (ok die frage stellt sich nicht da ich nur -2 und 2 einsetzen werde statt 1, aber wenn ich -1 setzen würd.e...)
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Hallo nochmal,
lies dein Geschreibsel mal selber durch, das ist mehr als wirr.
Ich versuche mal, auf das, was ich glaube zu verstehen, zu antworten:
> Ok danke aber wieso konvergiert die reihe nicht für -1 ?
Habe ich das oben nicht klar dargelegt?
> Ein Freund hat 2n+1 einfach durch U ersetzt
>
> und hatte dann [mm]x^u[/mm] / u
> dann einfach den konvergenz radius berechnet = 1
>
> Dann für +1 die divergierende haronische reihe bekommen
> und für -1 die alternatierende harmonische reihe, und
> fertig war er mit der aufgabe
> !
Da hat er aber nen Fehler
>
> Muss man nicht die verschiedenen Fälle wie x= 0 oder
> kleiner als 1 ausrechnen sondern kann einfach den
> konvergenzradius + die rand punkte bestimmen ?
Wenn du den Konvergenzradius [mm] $\rho$ [/mm] berechnet hast, so weißt du, dass die Potenzreihe für [mm] $|x|<\rho$ [/mm] konvergent ist und für [mm] $|x|>\rho$ [/mm] divergent ist.
"Spannend" bleiben lediglich die Randpunkte [mm] $|x|=\rho$, [/mm] also [mm] $x=\pm\rho$
[/mm]
Hier also [mm] $x=\pm [/mm] 1$
Nebenbei ist eine Konvergenzreihe immer kovergent, nämlich zumindest in ihrem Entwicklungspunkt ...
Das ist nämlich die Reihe [mm] $\sum [/mm] 0$
>
>
> edit: Ok jetzt habt ihr mich zum mathematiker gemacht, ich
> habe jetzt garnix gerechnet sondern mir nur noch gedanken
> gemacht und verglichen/bewiesen:
>
> Meine gedanken sind folgende:
>
> X=0 , limes geht gegen 0, konvergiert für 0.
Wieso untersuchst du das?
Für $-1<x<1$ ist die Reihe doch konvergent, das hast du doch mit dem Konvergenzradius schon klar gemacht
>
> Betrag X kleiner als 1, geom. reihe [mm]x^n[/mm] konv für x kleiner
> als 1.
> Zähler geht bei limes gegen 0, nenner wächst unendlich,
> konvergiert.
>
> Betrag X größer als 1, geom. reihe divergiert für [mm]X^n[/mm] x
> größer als 1, zähler wächst aber schneller als nenner,
> da potenz.
Davon habe ich kein Wort verstanden ...
Was ist der Zusammenhang zur gegebenen Reihe?
>
> randpunkte = 1, harmonische reihe.
Das ist mehr als schwammig, ich hatte es dir oben angedeutet und fred97 dir sogar dezidiert hingeschrieben, dass du gegen eine Variante der harmonischen Reihe, nämlich [mm] $\sum\frac{1}{3n}$ [/mm] als div. Minorante abschätzen kannst
>
> -1, divergiert, harmonische reihe, kein leibnitz da x^2n+1,
> also immer - bzw negativ, kein abwechselnd - + deswegen
> kann man - vors integral ziehen.
Eben!
Gleiche Minorante wie für $x=+1$ (nur mit neg. Vorzeichen, hatte ich aber schon geschrieben ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") )
>
> Ist das alles richtig ???? Wenn ja, bin ich glücklich
> :DXD
So ungefähr
>
>
> So bei meiner 2ten Aufgabe [mm]\bruch{x^{5n+1}}{1+2^n}[/mm]
>
> Muss ich jetzt ähnlich vorgehen oder ?
> Nur ist hier R = 2.
Hmm, ich erhalte was anderes, wie hast du das gerechnet?
>
> Heisst das ich muss das selbe mit 2 statt 1 machen im
> Grenzwert ? Also schaun, was ist wenn x kleiner oder
> größer 2 ist ?
> Woher weiss ich dass es für x kleiner als 2 konvergiert,
> außer dass es mein R ist (oder reicht das schon, weil es
> mein R ist ?)
>
> Bei der vorheerigen aufgabe habe ich gesehen dass der
> nenner schneller wächst, aber hier sieht man es nicht
> umnbedingt...
>
>
> Btw. Wann kann ich das - Vors Integral ziehen wann ist es
> alternierend ?
Na hier hatten wir im Exponenten $2n+1$, das ist für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] ungerade, also [mm] $(-1)^{2n+1}=-1$
[/mm]
> Ich weis z.B nicht ob ich das hier bei [mm]x^{5n+1}[/mm] vor ziehen
Überlege nochmal!
> kann oder obs alternierend ist. (ok die frage stellt sich
> nicht da ich nur -2 und 2 einsetzen werde statt 1, aber
> wenn ich -1 setzen würd.e...)
>
LG
schachuzipus
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