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Quotientenkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Mo 14.12.2009
Autor: Mikka7019

Hi, ich weiß nicht, wie ich bei dieser Aufgabe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k+1}}{k!}*x^{k} [/mm]
anfangen soll. Da in der Aufgabe ein Fakultät steht, denke ich, dass man hier das Quotientenkriterium anwenden muss. Ich habe aber keine Ahnung wie.
Vielleicht so..?
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^{(n+1)+1}}{(n+1)!}*x^{n+1} [/mm]

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{2^{(n+1)+1}}{(n+1)!}*x^{n+1} }{ \bruch{2^{(n+1)}}{n!}*x^{n} } [/mm]            
Weiter weiß ich nicht
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Quotientenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Mo 14.12.2009
Autor: fred97

Sei [mm] a_k= \bruch{2^{k+1}}{k!}\cdot{}x^{k} [/mm]

Berechne nun

             [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_k}| [/mm]

FRED

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Quotientenkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Mo 14.12.2009
Autor: Mikka7019

Aber das habe ich doch versucht.

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k+1}}{k!}\cdot{}x^{k} [/mm]

da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] ist meine Rechnung

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{2^{(n+1)+1}}{(n+1)!}\cdot{}x^{n+1} }{ \bruch{2^{(n+1)}}{n!}\cdot{}x^{n} } [/mm]

umgeschrieben

[mm] \bruch{2^{(n+2)}*x^{n+1}*n!}{(n+1)!*2^{n+1}*x^{n}} [/mm]

umgeformt und gekürzt erhalte ich [mm] \bruch{2x}{n+1} [/mm]

ob das richtig ist, weiß ich jedoch nicht



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Quotientenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Mo 14.12.2009
Autor: steppenhahn

Hallo Mikka,

> Aber das habe ich doch versucht.
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k+1}}{k!}\cdot{}x^{k}[/mm]
>  
> da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] ist
> meine Rechnung
>  
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{2^{(n+1)+1}}{(n+1)!}\cdot{}x^{n+1} }{ \bruch{2^{(n+1)}}{n!}\cdot{}x^{n} }[/mm]
>  
> umgeschrieben
>  
> [mm]\bruch{2^{(n+2)}*x^{n+1}*n!}{(n+1)!*2^{n+1}*x^{n}}[/mm]
>  
> umgeformt und gekürzt erhalte ich [mm]\bruch{2x}{n+1}[/mm]
>  
> ob das richtig ist, weiß ich jedoch nicht

Das ist richtig. Wenn nun n gegen unendlich geht, kommt 0 raus, da x während dieser Betrachtung konstant ist. Was bedeutet das?

Grüße,
Stefan

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Quotientenkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Mo 14.12.2009
Autor: Mikka7019

Dann müsste doch 0 herauskommen

[mm] \bruch{2x}{n+1} [/mm]

[mm] \bruch{1}{\infty}*2x [/mm]          da [mm] \bruch{1}{\infty}=0 [/mm]

0*2x=0


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Quotientenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Mo 14.12.2009
Autor: steppenhahn

Hallo Mikka,

> Dann müsste doch 0 herauskommen
>  
> [mm]\bruch{2x}{n+1}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{\infty}*2x[/mm]          da [mm]\bruch{1}{\infty}=0[/mm]
>  
> 0*2x=0

Ja, das ist richtig [ok], hatte ich aber oben schon erwähnt.
Meine Frage war nun: Was bedeutet das? Für welche x ist die Reihe also (absolut) konvergent, und für welche nicht?

Grüße,
Stefan

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Quotientenkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Mo 14.12.2009
Autor: Mikka7019

??
Ich würde jetzt einfach 0<1 schreiben und damit ist die absolute Konvergenz bewiesen

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Quotientenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Mo 14.12.2009
Autor: steppenhahn

Hallo Mikka,

> ??
>  Ich würde jetzt einfach 0<1 schreiben und damit ist die
> absolute Konvergenz bewiesen

[ok] Ja, das ist richtig.
Ich wollte darauf hinaus, dass die Reihe also für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] konvergiert, meist ist das in solchen Aufgabenstellungen gefragt.

Grüße,
Stefan

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