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| Aufgabe | Überprüfen Sie die Reihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz und geben sie den Konvergenzradius an.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(2x)^{n}}{e^{n}} [/mm] |
Hallo... ich hab eine Frage zu der obrigen Aufgaben. Also ich soll mittels Quotientenkriterium die Konvergenz bestimmen. Daraus habe ich q= 1/e herausgebracht --> da q<1 ist sollte es ja konvergieren. Mein Konvergenzradius ist e. In der Lösung steht jedoch es divergiert. Ich dachte eigentlich das mein 1/e stimmt. Ich bin über jeglichen kommentar dankebar :).
gruß nick
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Hiho,
sauberes Aufschreiben ist das halbe Lösen!
Allein deine Fragestellung zeigt, dass du nur die Hälfte vom Stoff verstanden hast, denn sie macht nicht wirklich viel Sinn.... aber von vorn:
> Also ich soll mittels Quotientenkriterium die Konvergenz bestimmen.
Du meinst sicher, den Konvergenzradius.
> Daraus habe ich q= 1/e herausgebracht
Was ist q? Der Konvergenzradius?
> --> da q<1 ist sollte es ja konvergieren.
Ist q wirklich dein Konvergenzradius, spielt die Größe von q gar keine Rolle.
Dann konvergiert es für alle $x<q$. Auch wenn q=1000 gilt.
> Mein Konvergenzradius ist e.
Wie kommst du darauf? Ich würde behaupten, dein Konvergenzradius ist [mm] \bruch{e}{2}
[/mm]
> In der Lösung steht jedoch es divergiert.
Was divergiert? Die Reihe konvergiert schonmal mindestens für x=0
> Ich dachte eigentlich das mein 1/e stimmt.
Ohne Rechenweg keine Fehlersuche.
Du solltest dir einige Begrifflichkeiten und Definitionen nochmal genauer anschauen.
Was ist dir klar, was ist dir nicht klar? Damit können wir dann anfangen zu arbeiten 
MFG,
Gono.
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Also in der Aufgabenstellung steht ja ich soll mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz überprüfen.
Also das Quotientenkriterium lautet ja:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [{\bruch{a_{n+1}}{an}}] [/mm] < 1
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(2x)^{n+1}}{e^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(2x)^{n}*(2x)}{e^{n}*e} [/mm]
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(2x)^{n}}{e^{n}} [/mm]
wenn ich das jetzt einsetze bekomme ich: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[{\bruch{(2x)^{n}*(2x)*e^{n}}{e^{n}*e*(2x)^{n}}}] [/mm]
daraus bekomme ich dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[{\bruch{2x}{e}}] [/mm]
da ja lim n-->unendlich ---> 1/e. Mit der konvergenz will ich doch prüfen, ob der summenwert der reihe gegen irgendeinen grenzwert läuft bzw. einen grenzwert besitzt (dann konvergiert die reihe) oder wenn sie keinen grenzewert besitzt, also die summer der reihe ins unendliche geht (divergiert) sie. stimmt das so in etwa? danke schon mal für die hilfe:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Sa 26.05.2012 | | Autor: | nick_smail |
ups... also das ergebnis vom quotientenkriterium ist bei uns q... ich habe vorher einen fehler gemacht. q ist dann 2/e ---> und da ja der konvergenzradius der kehrwert vom quotientenkriterium ist, ist der konvergenzradius dann e/2 ?? also die potzenreihe konvergiert überall im intervall [x] < r. was ist jetzt hier x?
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Hallo ns,
> Also in der Aufgabenstellung steht ja ich soll mit dem
> Quotientenkriterium auf Konvergenz überprüfen.
>
> Also das Quotientenkriterium lautet ja:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [{\bruch{a_{n+1}}{an}}][/mm] < 1
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{(2x)^{n+1}}{e^{n+1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(2x)^{n}*(2x)}{e^{n}*e}[/mm]
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{(2x)^{n}}{e^{n}}[/mm]
>
> wenn ich das jetzt einsetze bekomme ich:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[{\bruch{(2x)^{n}*(2x)*e^{n}}{e^{n}*e*(2x)^{n}}}][/mm]
>
> daraus bekomme ich dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[{\bruch{2x}{e}}][/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]=\frac{2}{e}\cdot{}|x|[/mm]
Und laut QK hast du Konvergenz, wenn [mm]\frac{2}{e}\cdot{}|x| \ < \ 1[/mm] ist.
Also für [mm]|x| \ < \ \frac{e}{2}[/mm]
>
> da ja lim n-->unendlich ---> 1/e. Mit der konvergenz will
> ich doch prüfen, ob der summenwert der reihe gegen
> irgendeinen grenzwert läuft bzw. einen grenzwert besitzt
> (dann konvergiert die reihe) oder wenn sie keinen
> grenzewert besitzt, also die summer der reihe ins
> unendliche geht (divergiert) sie. stimmt das so in etwa?
> danke schon mal für die hilfe:
Hier hast du eine [mm]\text{\underline{Potenz}reihe}[/mm] gegeben, deren Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] du berechnen sollst. Du hast dann Konvergenz für [mm]|x|<\rho[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>\rho[/mm]. Die "Eckpunkte" [mm]|x|=\rho[/mm] musst/kannst du gesondert in die Reihe einsetzen und auf Konvergenz prüfen.
Du kannst die Potenzreihen als "normale" Reihen betrachten und die "normalen" Kriterien hernehmen, es gibt aber auch eigene Kriterien - etwa Cauchy-Hadamard, das aus dem Wurzelkrit. hergeleitet ist oder (falls der Quotient definiert ist) [mm]\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm] für [mm]\sum\limits_{n\ge 0}a_n\cdot{}(x-x_0)^n[/mm]
Gruß
schachuzipus
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okay.... dankeschön :). dann war es ja garnicht so falsch. also ist mein konvergenzradius = e/2 oder? in der lösung von unserem tutor steht e. dann stimmt die lösung wohl nicht.
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Hallo nochmal,
> okay.... dankeschön :). dann war es ja garnicht so falsch.
> also ist mein konvergenzradius = e/2 oder?
Ja!
> in der lösung
> von unserem tutor steht e. dann stimmt die lösung wohl
> nicht.
Das passiert schon mal ...
Gruß
schachuzipus
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