Quotientenkriterium, Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Klass |
| Aufgabe | Liegt bei folgender Reihe Konvergenz vor? Falls ja, ermitteln Sie den Grenzwert.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{-1} {2^{i+1}} [/mm] |
Also, wenn man darauf das Quotientenkriterium anwendet, erhält man:
[mm] \limes_{i \to \infty}\bruch{-1*(2^{i+1})} {-1*(2^{i+2})} [/mm] und daraus folgt: [mm] \limes_{i \to \infty}\bruch{(2^{i+1})} {(2^{i+2})}, [/mm] kann man jetzt so argumentieren, dass ja der Nenner größer wächst als der Zähler, und damit das ganze eine Nullfolge ist? Demnach müsste es ja kleiner als 1 sein und damit liegt laut Quotientenkriterium Konvergenz vor! Wenn ich dann den Grenzwert ausrechnen würde, müsste ich dann die Ausgangssumme nehmen, also [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{-1} {2^{i+1}} [/mm] oder kann man theoretisch auch, also auch bei anderen Aufgaben, einfach eine Umformung, die man bei der Quotientenkriterium gemacht hat, verwenden?
Danke im Voraus für eure Hilfe! :)
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Hallo,
> Liegt bei folgender Reihe Konvergenz vor? Falls ja,
> ermitteln Sie den Grenzwert.
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{-1} {2^{i+1}}[/mm]
>
> Also, wenn man darauf das Quotientenkriterium anwendet,
> erhält man:
>
> [mm]\limes_{i \to \infty}\bruch{-1*(2^{i+1})} {-1*(2^{i+2})}[/mm]
Nein, das ist falsch (auch wenn der Fehler hier folgenlos bleibt). Richtig wäre
[mm]\lim_{i\rightarrow\infty} \left|\frac{ \frac{-1}{2^{i+2}}}{ \frac{-1}{2^{i+1}}}\right|= \lim_{i\rightarrow\infty} \frac{2^{i+1}}{2^{i+2}}=... [/mm]
> und daraus folgt: [mm]\limes_{i \to \infty}\bruch{(2^{i+1})} {(2^{i+2})},[/mm]
> kann man jetzt so argumentieren, dass ja der Nenner
> größer wächst als der Zähler, und damit das ganze eine
> Nullfolge ist? Demnach müsste es ja kleiner als 1 sein und
> damit liegt laut Quotientenkriterium Konvergenz vor!
Denke mal besser darüber nach, ein bekanntes Potenzgesetz anzuwenden. Dann brauchst du keine solch abenteuerliche Argumentation (die hier obendrein falsch ist).
> Wenn
> ich dann den Grenzwert ausrechnen würde, müsste ich dann
> die Ausgangssumme nehmen, also [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{-1} {2^{i+1}}[/mm]
> oder kann man theoretisch auch, also auch bei anderen
> Aufgaben, einfach eine Umformung, die man bei der
> Quotientenkriterium gemacht hat, verwenden?
Nein, es geht ja um den Grenzwert der Reihe. Man bekommt ihn hier leicht mit Hilfe des Grenzwerts einer verwandten geometrischen Reihe.
BTW: wurde in der Aufgabe wirklich 'i' als Indexvariable verwendet? Zwar ist es ja klar, dass i hier Index ist, aber im ersten Moment dachte ich fäschlicherweise, dass es sich um eine komplexe Reihe handelt. Aus diesem Grund wird gerade bei Folgen und Reihen gerne n oder k als Index verwendet.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Klass |
Hallo Diophant,
danke für deine Antwort. Ja, es wird hier tatsächlich i verwendet, was mich auch ein wenig verwirrte.
Zu deiner Antwort:
Also bei [mm] \limes_{i \to \infty}\bruch{(2^{i+1})} {(2^{i+2})} [/mm] ist ein Potenzgesetz zu verwenden. Meinst du so? :
[mm] \limes_{i \to \infty}\bruch{(2^{i}*2^{1})} {(2^{i}*2^{2})} [/mm] und hier kürzt sich dann das [mm] 2^{i} [/mm] weg und übrig bleibt:
[mm] \limes_{i \to \infty}\bruch{1}{2} [/mm] und das ist kleiner als 1 und damit liegt Konvergenz vor.
Kann ich jetzt diese [mm] \bruch{1}{2} [/mm] einfach in die q-Formel eintragen und den Grenzwert ausrechnen? Also:
[mm] \limes_{i \to \infty}\bruch{1} {1-\bruch{1}{2}} [/mm] oder muss man da anders ran gehen, um den Grenzwert auszurechnen?
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Hallo,
> Hallo Diophant,
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> danke für deine Antwort. Ja, es wird hier tatsächlich i
> verwendet, was mich auch ein wenig verwirrte.
>
> Zu deiner Antwort:
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> Also bei [mm]\limes_{i \to \infty}\bruch{(2^{i+1})} {(2^{i+2})}[/mm]
> ist ein Potenzgesetz zu verwenden. Meinst du so? :
>
> [mm]\limes_{i \to \infty}\bruch{(2^{i}*2^{1})} {(2^{i}*2^{2})}[/mm]
> und hier kürzt sich dann das [mm]2^{i}[/mm] weg und übrig bleibt:
>
> [mm]\limes_{i \to \infty}\bruch{1}{2}[/mm] und das ist kleiner als 1
> und damit liegt Konvergenz vor.
An deinen Schreibweisen musst du noch üben, aber der Gedankengang ist richtig. Kurzfassung:
[mm] \lim_{i\rightarrow\infty}\left| \frac{ \frac{-1}{2^{i+2}}}{ \frac{-1}{2^{i+2}}}\right|= \frac{1}{2}<1 [/mm]
> Kann ich jetzt diese [mm]\bruch{1}{2}[/mm] einfach in die q-Formel
> eintragen und den Grenzwert ausrechnen? Also:
>
> [mm]\limes_{i \to \infty}\bruch{1} {1-\bruch{1}{2}}[/mm]
Nein.
> oder muss
> man da anders ran gehen, um den Grenzwert auszurechnen?
Ja. Und zwar aus dem einfachen Grund, dass es zwar die ganze Zeit (abgesehen von dem Minuszeichen) um Potenzen von 1/2 geht, die aufaddiert werden, jedoch eine Indexverschiebung vorliegt und die Reihe bei i=1 an Stelle von i=0 (geometrische Reihe!) starte. Beides will noch durch Korrektur berücksichtigt werden.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Klass |
Alles klar! Vielen Dank! Die Aufgabe ist damit gelöst! :)
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