Quotientenraum von Zufallsvar. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei S die Menge aller auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definierten reellwertigen Zufallsvariablen X mit endlicher Varianz. Zeigen Sie Folgendes:
Wenn T der Quotientenraum bezüglich der Äquivalenzrelation [mm] $X\sim [/mm] Y [mm] \gdw [/mm] X-E(X) = Y-E(Y)$ auf S ist, dann definiert
$<X,Y> := cov(X,Y)$
ein Skalarprodukt auf T. [cov(X,Y) = Kovarianz(X,Y)]. |
Hallo!
Mir geht es erstmal weniger um die Aufgabenstellung an sich, als um ein Verständnisproblem:
Der Quotientenraum T ist doch definiert als die Menge der Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] , oder? Also es müsste gelten:
$T = [mm] \{[X]|X\in S\} [/mm] = [mm] \{\{Y\in S | Y\sim X\}|X\in S\}$.
[/mm]
Das ist aber anscheinend falsch, denn "Skalarprodukt auf T" bedeutet doch, dass
[mm] $<*,*>:T\times [/mm] T [mm] \to \IR :(X,Y)\to [/mm] cov(X,Y)$,
aber die Elemente von T sind ja Mengen? Wie soll ich da die Kovarianz berechnen?
Wo habe ich mich vertan?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Di 08.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Sei S die Menge aller auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
> definierten reellwertigen Zufallsvariablen X mit endlicher
> Varianz. Zeigen Sie Folgendes:
>
> Wenn T der Quotientenraum bezüglich der
> Äquivalenzrelation [mm]X\sim Y \gdw X-E(X) = Y-E(Y)[/mm] auf S ist,
> dann definiert
>
> [mm] := cov(X,Y)[/mm]
>
> ein Skalarprodukt auf T. [cov(X,Y) = Kovarianz(X,Y)].
>
> Mir geht es erstmal weniger um die Aufgabenstellung an
> sich, als um ein Verständnisproblem:
>
> Der Quotientenraum T ist doch definiert als die Menge der
> Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation [mm]\sim[/mm] , oder?
> Also es müsste gelten:
>
> [mm]T = \{[X]|X\in S\} = \{\{Y\in S | Y\sim X\}|X\in S\}[/mm].
Genau.
> Das ist aber anscheinend falsch, denn "Skalarprodukt auf T"
> bedeutet doch, dass
>
> [mm]<*,*>:T\times T \to \IR :(X,Y)\to cov(X,Y)[/mm],
>
> aber die Elemente von T sind ja Mengen? Wie soll ich da die
> Kovarianz berechnen?
Nun, gemeint ist folgendes: fuer zwei Aequivalenzklassen $X, Y [mm] \in [/mm] T$ nimmst du jeweils einen Repraesentant [mm] $\tile{X} \in [/mm] X$, [mm] $\tilde{Y} \in [/mm] Y$ und berechnest [mm] $cov(\tilde{X}, \tilde{Y})$.
[/mm]
Du musst also erstmal zeigen, dass dies wohldefiniert ist, also dass [mm] $cov(\tilde{X}, \tilde{Y})$ [/mm] nicht von der Wahl [mm] $\tilde{X} \in [/mm] X$, [mm] $\tilde{Y} \in [/mm] Y$ abhaengt. (Das ist aber sehr einfach.)
LG Felix
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Hallo Felix,
erstmal danke für die Erleuchtung 
Wie soll ich denn darauf kommen...
> > [mm]T = \{[X]|X\in S\} = \{\{Y\in S | Y\sim X\}|X\in S\}[/mm].
> > [mm]<*,*>:T\times T \to \IR :(X,Y)\to cov(X,Y)[/mm],
> Nun, gemeint ist folgendes: fuer zwei Aequivalenzklassen [mm]X, Y \in T[/mm]
> nimmst du jeweils einen Repraesentant [mm]\tilde{X} \in X[/mm],
> [mm]\tilde{Y} \in Y[/mm] und berechnest [mm]cov(\tilde{X}, \tilde{Y})[/mm].
Okay, das verstehe ich.
> Du musst also erstmal zeigen, dass dies wohldefiniert ist,
> also dass [mm]cov(\tilde{X}, \tilde{Y})[/mm] nicht von der Wahl
> [mm]\tilde{X} \in X[/mm], [mm]\tilde{Y} \in Y[/mm] abhaengt. (Das ist aber
> sehr einfach.)
Das heißt, ich müsste zeigen, dass für verschiedene [mm] $\tilde{X_{1}},\tilde{X_{2}}\in [/mm] X$, [mm] $\tilde{Y_{1}},\tilde{Y_{2}}\in [/mm] X$ trotzdem dasselbe rauskommt, also
[mm] $cov(\tilde{X_{1}},\tilde{Y_{1}}) [/mm] = [mm] cov(\tilde{X_{2}},\tilde{Y_{2}})$
[/mm]
ist?
Nun, es ist:
[mm] $cov(\tilde{X_{1}},\tilde{Y_{1}}) [/mm] = [mm] E\Big[ (\tilde{X_{1}} [/mm] - [mm] E(\tilde{X_{1}}))*(\tilde{Y_{1}} [/mm] - [mm] E(\tilde{Y_{1}}))\Big] [/mm] = [mm] E\Big[ (\tilde{X_{2}} [/mm] - [mm] E(\tilde{X_{2}}))*(\tilde{Y_{2}} [/mm] - [mm] E(\tilde{Y_{2}}))\Big] [/mm] = [mm] cov(\tilde{X_{2}},\tilde{Y_{2}})$,
[/mm]
da [mm] \tilde{X_{1}} [/mm] und [mm] \tilde{X_{2}} [/mm] in derselben Äquivalenzklasse liegen und somit [mm] $\tilde{X_{1}} [/mm] - [mm] E(\tilde{X_{1}}) [/mm] = [mm] \tilde{X_{2}} [/mm] - [mm] E(\tilde{X_{2}})$ [/mm] gilt, analog für Y.
Ist das so korrekt?
----------------
>>> Die Bilinearität, die ich dann zeigen soll für das Skalarprodukt [mm] $<*,*>:T\times [/mm] T [mm] \to \IR :(X,Y)\to [/mm] cov(X,Y)$ ergibt sich dann ja sofort aus der Bilinearität der Kovarianz, stimmts?
>>> Die Symmetrie folgt auch direkt aus der Definition der Kovarianz.
>>> Bliebe also noch zu zeigen, dass für [mm] $X\in [/mm] T$, [mm] $\tilde{X}\in [/mm] X$ gilt:
[mm] $<\tilde{X},\tilde{X}> [/mm] = [mm] cov(\tilde{X},\tilde{X})\ge [/mm] 0$.
Ist das nicht einfach wegen
[mm] $cov(\tilde{X},\tilde{X}) [/mm] := [mm] E\Big[(\tilde{X}-E(\tilde{X}))*(\tilde{X}-E(\tilde{X}))\Big] [/mm] = [mm] E\Big[(\tilde{X}-E(\tilde{X}))^{2}\Big] [/mm] = Var(X) [mm] \ge [/mm] 0$
erfüllt, weil $Var(X) = [mm] (\tilde{X}-E(\tilde{X}))^{2} \ge [/mm] 0$ ?
>>> Jetzt noch die letzte zu zeigende Gleichung:
[mm] $<\tilde{X},\tilde{X}> [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \tilde{X} [/mm] = 0$.
Also, es ist
$0 = [mm] <\tilde{X},\tilde{X}> [/mm] = [mm] cov(\tilde{X},\tilde{X}) [/mm] = [mm] E\Big[(\tilde{X}-E(\tilde{X}))^{2}\Big] [/mm] = 0$.
Weil [mm] $(\tilde{X}-E(\tilde{X}))^{2}\ge [/mm] 0$ ist, kann ich daraus jetzt wahrscheinlich [mm] $\tilde{X}-E(\tilde{X}) [/mm] = 0$ folgern, d.h. [mm] $\tilde{X} [/mm] = [mm] E(\tilde{X})$ [/mm] ist konstant...? Aber warum ist [mm] E(\tilde{X}) [/mm] jetzt gleich Null?
Irgendwie komme ich jetzt nicht weiter. Ich bitte um einen kleinen Denkanstoß und um Korrektur der obigen Ideen.
Vielen Dank und viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Di 08.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > Du musst also erstmal zeigen, dass dies wohldefiniert ist,
> > also dass [mm]cov(\tilde{X}, \tilde{Y})[/mm] nicht von der Wahl
> > [mm]\tilde{X} \in X[/mm], [mm]\tilde{Y} \in Y[/mm] abhaengt. (Das ist aber
> > sehr einfach.)
>
> Das heißt, ich müsste zeigen, dass für verschiedene
> [mm]\tilde{X_{1}},\tilde{X_{2}}\in X[/mm],
> [mm]\tilde{Y_{1}},\tilde{Y_{2}}\in X[/mm] trotzdem dasselbe
> rauskommt, also
>
> [mm]cov(\tilde{X_{1}},\tilde{Y_{1}}) = cov(\tilde{X_{2}},\tilde{Y_{2}})[/mm]
>
> ist?
> Nun, es ist:
>
> [mm]cov(\tilde{X_{1}},\tilde{Y_{1}}) = E\Big[ (\tilde{X_{1}} - E(\tilde{X_{1}}))*(\tilde{Y_{1}} - E(\tilde{Y_{1}}))\Big] = E\Big[ (\tilde{X_{2}} - E(\tilde{X_{2}}))*(\tilde{Y_{2}} - E(\tilde{Y_{2}}))\Big] = cov(\tilde{X_{2}},\tilde{Y_{2}})[/mm],
>
> da [mm]\tilde{X_{1}}[/mm] und [mm]\tilde{X_{2}}[/mm] in derselben
> Äquivalenzklasse liegen und somit [mm]\tilde{X_{1}} - E(\tilde{X_{1}}) = \tilde{X_{2}} - E(\tilde{X_{2}})[/mm]
> gilt, analog für Y.
>
> Ist das so korrekt?
Ja.
> ----------------
>
> >>> Die Bilinearität, die ich dann zeigen soll für das
> Skalarprodukt [mm]<*,*>:T\times T \to \IR :(X,Y)\to cov(X,Y)[/mm]
> ergibt sich dann ja sofort aus der Bilinearität der
> Kovarianz, stimmts?
Ja.
> >>> Die Symmetrie folgt auch direkt aus der Definition der
> Kovarianz.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >>> Bliebe also noch zu zeigen, dass für [mm]X\in T[/mm],
> [mm]\tilde{X}\in X[/mm] gilt:
>
> [mm]<\tilde{X},\tilde{X}> = cov(\tilde{X},\tilde{X})\ge 0[/mm].
>
> Ist das nicht einfach wegen
>
> [mm]cov(\tilde{X},\tilde{X}) := E\Big[(\tilde{X}-E(\tilde{X}))*(\tilde{X}-E(\tilde{X}))\Big] = E\Big[(\tilde{X}-E(\tilde{X}))^{2}\Big] = Var(X) \ge 0[/mm]
>
> erfüllt, weil [mm]Var(X) = (\tilde{X}-E(\tilde{X}))^{2} \ge 0[/mm]
> ?
>
> >>> Jetzt noch die letzte zu zeigende Gleichung:
>
> [mm]<\tilde{X},\tilde{X}> = 0 \Rightarrow \tilde{X} = 0[/mm].
>
> Also, es ist
>
> [mm]0 = <\tilde{X},\tilde{X}> = cov(\tilde{X},\tilde{X}) = E\Big[(\tilde{X}-E(\tilde{X}))^{2}\Big] = 0[/mm].
>
> Weil [mm](\tilde{X}-E(\tilde{X}))^{2}\ge 0[/mm] ist, kann ich daraus
> jetzt wahrscheinlich [mm]\tilde{X}-E(\tilde{X}) = 0[/mm] folgern,
> d.h. [mm]\tilde{X} = E(\tilde{X})[/mm] ist konstant...? Aber warum
> ist [mm]E(\tilde{X})[/mm] jetzt gleich Null?
Nun, du kannst erstmal nur folgern, dass [mm] $(\tilde{X} [/mm] - [mm] E(\tilde{X}))^2$ [/mm] fast ueberall gleich 0 ist. Dies ist ein recht bekanntes Resultat aus der Masstheorie: ist $f [mm] \ge [/mm] 0$ eine messbare Funktion mit [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = 0$, so gilt [mm] $\mu(f \neq [/mm] 0) = 0$.
Daraus folgt natuerlich auch sofort [mm] $\tilde{X} [/mm] = [mm] E(\tilde{X})$ [/mm] fast ueberall. Allerdings auch nur fast ueberall.
Hier zeigt sich nun ein Problem mit der Aufgabenstellung: So wie sie da steht, ist sie falsch. Es fehlen entweder weitere Voraussetzungen (naemlich: $X$ hat nur die triviale Nullmenge [mm] $\emptyset$) [/mm] oder die Aequivalenzrelation muss lauten $X [mm] \sim [/mm] Y [mm] :\Leftrightarrow [/mm] X - E(X) = Y - E(Y)$ fast sicher (dann ist's weiterhin eine Aequivalenzrelation, und bzgl. dieser ist [mm] $cov(\bullet, \bullet)$ [/mm] auf dem Quotientenraum ein echtes Skalarprodukt).
LG Felix
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Hallo Felix,
erstmal wieder vielen Dank für deine Antwort!
> > >>> Jetzt noch die letzte zu zeigende Gleichung:
> >
> > [mm]<\tilde{X},\tilde{X}> = 0 \Rightarrow \tilde{X} = 0[/mm].
> >
> > Also, es ist
> >
> > [mm]0 = <\tilde{X},\tilde{X}> = cov(\tilde{X},\tilde{X}) = E\Big[(\tilde{X}-E(\tilde{X}))^{2}\Big] = 0[/mm].
>
> >
> > Weil [mm](\tilde{X}-E(\tilde{X}))^{2}\ge 0[/mm] ist, kann ich daraus
> > jetzt wahrscheinlich [mm]\tilde{X}-E(\tilde{X}) = 0[/mm] folgern,
> > d.h. [mm]\tilde{X} = E(\tilde{X})[/mm] ist konstant...? Aber warum
> > ist [mm]E(\tilde{X})[/mm] jetzt gleich Null?
>
> Nun, du kannst erstmal nur folgern, dass [mm](\tilde{X} - E(\tilde{X}))^2[/mm]
> fast ueberall gleich 0 ist. Dies ist ein recht bekanntes
> Resultat aus der Masstheorie: ist [mm]f \ge 0[/mm] eine messbare
> Funktion mit [mm]\int f d\mu = 0[/mm], so gilt [mm]\mu(f \neq 0) = 0[/mm].
>
> Daraus folgt natuerlich auch sofort [mm]\tilde{X} = E(\tilde{X})[/mm]
> fast ueberall. Allerdings auch nur fast ueberall.
>
> Hier zeigt sich nun ein Problem mit der Aufgabenstellung:
> So wie sie da steht, ist sie falsch. Es fehlen entweder
> weitere Voraussetzungen (naemlich: [mm]X[/mm] hat nur die triviale
> Nullmenge [mm]\emptyset[/mm]) oder die Aequivalenzrelation muss
> lauten [mm]X \sim Y :\Leftrightarrow X - E(X) = Y - E(Y)[/mm] fast
> sicher (dann ist's weiterhin eine Aequivalenzrelation, und
> bzgl. dieser ist [mm]cov(\bullet, \bullet)[/mm] auf dem
> Quotientenraum ein echtes Skalarprodukt).
Du hast recht, wir haben einen Hinweis, dass "Formal zwei Zufallsvariablen gleich sind, wenn sie sich nur auf einer P-Nullmenge unterscheiden" (P ist Wahrscheinlichkeitsverteilung des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraums). Daraus würde doch dann die Gleichheit von [mm] $\tilde{X} [/mm] = [mm] E(\tilde{X})$ [/mm] folgen, oder? Weil sie sind ja nur auf einer P-Nullmenge ungleich.
Frage: Damit wird der "Fehler" in der Aufgabenstellung praktisch nur behoben, indem man eine "Formalität" einführt, die an sich nicht ganz richtig ist, oder?
Aber ich weiß immer noch nicht, wie ich daraus jetzt folgern kann, dass [mm] $\tilde{X} [/mm] = 0$ ist, was ich doch folgern muss, oder?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Di 08.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> erstmal wieder vielen Dank für deine Antwort!
Bitte :)
> > Hier zeigt sich nun ein Problem mit der Aufgabenstellung:
> > So wie sie da steht, ist sie falsch. Es fehlen entweder
> > weitere Voraussetzungen (naemlich: [mm]X[/mm] hat nur die triviale
> > Nullmenge [mm]\emptyset[/mm]) oder die Aequivalenzrelation muss
> > lauten [mm]X \sim Y :\Leftrightarrow X - E(X) = Y - E(Y)[/mm] fast
> > sicher (dann ist's weiterhin eine Aequivalenzrelation, und
> > bzgl. dieser ist [mm]cov(\bullet, \bullet)[/mm] auf dem
> > Quotientenraum ein echtes Skalarprodukt).
>
> Du hast recht, wir haben einen Hinweis, dass "Formal zwei
> Zufallsvariablen gleich sind, wenn sie sich nur auf einer
> P-Nullmenge unterscheiden" (P ist
> Wahrscheinlichkeitsverteilung des zugrundeliegenden
> Wahrscheinlichkeitsraums). Daraus würde doch dann die
> Gleichheit von [mm]\tilde{X} = E(\tilde{X})[/mm] folgen, oder? Weil
> sie sind ja nur auf einer P-Nullmenge ungleich.
Ja, dann funktioniert's.
> Frage: Damit wird der "Fehler" in der Aufgabenstellung
> praktisch nur behoben, indem man eine "Formalität"
> einführt, die an sich nicht ganz richtig ist, oder?
Nunja, diese "Formalitaet" ist eine weitere Aequivalenzrelation. Ganz formal sind Zufallsvariablen einfach Funktionen, und diese koennen sich auf Nullmengen unterscheiden. Fuer die meisten Dinge kann man zwei ZVen identifizieren, wenn sie ausserhalb einer Nullmenge uebereinstimmen.
Also strenggenommen ist deine Aequivalenzrelation [mm] $\sim$ [/mm] bereits auf einer Menge von Aequivalenzklassen definiert. Nur dass sich da offenbar wer davor gedrueckt hat, das ganze auch so zu nennen 
> Aber ich weiß immer noch nicht, wie ich daraus jetzt
> folgern kann, dass [mm]\tilde{X} = 0[/mm] ist, was ich doch folgern
> muss, oder?
Nein, es muss [mm] $\tilde{X} \sim [/mm] 0$ sein, was aequivalent zu [mm] $\tilde{X} [/mm] - [mm] E(\tilde{X}) [/mm] = 0 - E(0) = 0$ ist (wegen der "Formalitaet" jeweils fast sicher). Aber das ist hier der Fall.
LG Felix
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Hallo Felix,
wieder vielen Dank! Habe deine Erklärungen verstanden, nur unten habe ich noch eine (letzte) Frage.
> > Aber ich weiß immer noch nicht, wie ich daraus jetzt
> > folgern kann, dass [mm]\tilde{X} = 0[/mm] ist, was ich doch folgern
> > muss, oder?
>
> Nein, es muss [mm]\tilde{X} \sim 0[/mm] sein, was aequivalent zu
> [mm]\tilde{X} - E(\tilde{X}) = 0 - E(0) = 0[/mm] ist (wegen der
> "Formalitaet" jeweils fast sicher). Aber das ist hier der
> Fall.
Die eigentliche Bedingung für das Skalarprodukt lautete doch:
[mm] $<\tilde{X},\tilde{X}> [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \tilde{X} [/mm] = 0$.
Verstehe ich das richtig, dass das links mit der "ganz normalen" 0 funktioniert, weil [mm] $<\tilde{X},\tilde{X}> [/mm] = [mm] cov(\tilde{X},\tilde{X}) \in [/mm] IR$ nach Definition?
Rechts hingegen bedeutet [mm] $\tilde{X} [/mm] = 0$ also so etwas wie [mm] $\tilde{X} \sim [/mm] 0$, nach deiner Beschreibung.
Und [mm] \tilde{X} [/mm] ist ja eine Funktion, bzw. ein Element einer Äquivalenzklasse. Und für diese bedeutet [mm] $\tilde{X} [/mm] = 0$ also [mm] $\tilde{X} \in [\tilde{0}]$?
[/mm]
Will nur noch verstehen, warum man das so macht
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Mi 09.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > > Aber ich weiß immer noch nicht, wie ich daraus jetzt
> > > folgern kann, dass [mm]\tilde{X} = 0[/mm] ist, was ich doch folgern
> > > muss, oder?
> >
> > Nein, es muss [mm]\tilde{X} \sim 0[/mm] sein, was aequivalent zu
> > [mm]\tilde{X} - E(\tilde{X}) = 0 - E(0) = 0[/mm] ist (wegen der
> > "Formalitaet" jeweils fast sicher). Aber das ist hier der
> > Fall.
>
> Die eigentliche Bedingung für das Skalarprodukt lautete
> doch:
>
> [mm]<\tilde{X},\tilde{X}> = 0 \Rightarrow \tilde{X} = 0[/mm].
Genau. Und hier ist [mm] $\tilde{X}$ [/mm] ein Element aus $T$; und 0 entspricht der Aequivalenzklasse [mm] $[0]_\sim$.
[/mm]
> Verstehe ich das richtig, dass das links mit der "ganz
> normalen" 0 funktioniert, weil [mm]<\tilde{X},\tilde{X}> = cov(\tilde{X},\tilde{X}) \in IR[/mm]
> nach Definition?
Nun, es ist eben nicht die "ganz normale" 0, sondern deren Aequivalenzklasse in $T$.
> Rechts hingegen bedeutet [mm]\tilde{X} = 0[/mm] also so etwas wie
> [mm]\tilde{X} \sim 0[/mm], nach deiner Beschreibung.
Genau.
> Und [mm]\tilde{X}[/mm] ist ja eine Funktion, bzw. ein Element einer
> Äquivalenzklasse. Und für diese bedeutet [mm]\tilde{X} = 0[/mm]
> also [mm]\tilde{X} \in [\tilde{0}][/mm]?
Ah, bei dir ist [mm] $\tilde{X}$ [/mm] keine Restklasse. Nun, [mm] $cov(\bullet, \bullet)$ [/mm] ist auch kein Skalarprodukt auf $S$ (dort ist es nur positiv semidefinitiv), sondern eins auf $T$. Und fuer Elemente [mm] $\tilde{T}$ [/mm] aus $S$ folgt halt auch nicht, dass [mm] $cov(\tilde{T}, \tilde{T}) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] tilde{T} = 0$ gilt. Jedoch fuer Elemente $X [mm] \in [/mm] T$ gilt $cov(X, X) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] X = 0$.
Ich hoffe es ist dir jetzt etwas klarer geworden...
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort
Bin nun aber doch leicht verwirrt...
Du hattest unten "Ah, ..." geschrieben - war das ein Widerruf zu dem:
> > Die eigentliche Bedingung für das Skalarprodukt lautete
> > doch:
> >
> > [mm]<\tilde{X},\tilde{X}> = 0 \Rightarrow \tilde{X} = 0[/mm].
>
> Genau. Und hier ist [mm]\tilde{X}[/mm] ein Element aus [mm]T[/mm]; und 0
> entspricht der Aequivalenzklasse [mm][0]_\sim[/mm].
>
> > Verstehe ich das richtig, dass das links mit der "ganz
> > normalen" 0 funktioniert, weil [mm]<\tilde{X},\tilde{X}> = cov(\tilde{X},\tilde{X}) \in IR[/mm]
> > nach Definition?
>
> Nun, es ist eben nicht die "ganz normale" 0, sondern deren
> Aequivalenzklasse in [mm]T[/mm].
>
> > Rechts hingegen bedeutet [mm]\tilde{X} = 0[/mm] also so etwas wie
> > [mm]\tilde{X} \sim 0[/mm], nach deiner Beschreibung.
>
> Genau.
hier?
> > Und [mm]\tilde{X}[/mm] ist ja eine Funktion, bzw. ein Element einer
> > Äquivalenzklasse. Und für diese bedeutet [mm]\tilde{X} = 0[/mm]
> > also [mm]\tilde{X} \in [\tilde{0}][/mm]?
>
> Ah, bei dir ist [mm]\tilde{X}[/mm] keine Restklasse. Nun,
> [mm]cov(\bullet, \bullet)[/mm] ist auch kein Skalarprodukt auf [mm]S[/mm]
> (dort ist es nur positiv semidefinitiv), sondern eins auf
> [mm]T[/mm]. Und fuer Elemente [mm]\tilde{T}[/mm] aus [mm]S[/mm] folgt halt auch nicht,
> dass [mm]cov(\tilde{T}, \tilde{T}) = 0 \Rightarrow tilde{T} = 0[/mm]
> gilt.
Ganz so klar ist es mir leider immer noch nicht. Bis hierher verstehe ich es, aber nun steht hier ja doch nochmal die Gleichung:
Jedoch fuer Elemente [mm]X \in T[/mm] gilt [mm]cov(X, X) = 0 \Rightarrow X = 0[/mm].
Und die hat jetzt also immer noch dieselbe Bedeutung wie:
[mm] \tilde{X} [/mm] = 0 [mm] \gdw \tilde{X}\in [\tilde{0}]
[/mm]
Das muss ich zeigen (habe ich gezeigt...) ?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:41 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> Bin nun aber doch leicht verwirrt...
> Du hattest unten "Ah, ..." geschrieben - war das ein
> Widerruf zu dem:
Es bezog sich eher darauf, dass wir offenbar mit verschiedenen Objekten gearbeitet haben, weshalb die Kommenare von mir nicht umbedingt zu dem passen was du geschrieben hast:
> > > Die eigentliche Bedingung für das Skalarprodukt lautete
> > > doch:
> > >
> > > [mm]<\tilde{X},\tilde{X}> = 0 \Rightarrow \tilde{X} = 0[/mm].
> >
> > Genau. Und hier ist [mm]\tilde{X}[/mm] ein Element aus [mm]T[/mm]; und 0
> > entspricht der Aequivalenzklasse [mm][0]_\sim[/mm].
Hier bin ich davon ausgegangen, dass [mm] $\tilde{X}$ [/mm] eine Aequivalenzklasse ist.
> > > Verstehe ich das richtig, dass das links mit der "ganz
> > > normalen" 0 funktioniert, weil [mm]<\tilde{X},\tilde{X}> = cov(\tilde{X},\tilde{X}) \in IR[/mm]
> > > nach Definition?
> >
> > Nun, es ist eben nicht die "ganz normale" 0, sondern deren
> > Aequivalenzklasse in [mm]T[/mm].
> >
> > > Rechts hingegen bedeutet [mm]\tilde{X} = 0[/mm] also so etwas wie
> > > [mm]\tilde{X} \sim 0[/mm], nach deiner Beschreibung.
> >
> > Genau.
>
>
> hier?
Sozusagen, ja.
> > > Und [mm]\tilde{X}[/mm] ist ja eine Funktion, bzw. ein Element einer
> > > Äquivalenzklasse. Und für diese bedeutet [mm]\tilde{X} = 0[/mm]
> > > also [mm]\tilde{X} \in [\tilde{0}][/mm]?
> >
> > Ah, bei dir ist [mm]\tilde{X}[/mm] keine Restklasse. Nun,
> > [mm]cov(\bullet, \bullet)[/mm] ist auch kein Skalarprodukt auf [mm]S[/mm]
> > (dort ist es nur positiv semidefinitiv), sondern eins auf
> > [mm]T[/mm]. Und fuer Elemente [mm]\tilde{T}[/mm] aus [mm]S[/mm] folgt halt auch nicht,
> > dass [mm]cov(\tilde{T}, \tilde{T}) = 0 \Rightarrow tilde{T} = 0[/mm]
> > gilt.
>
> Ganz so klar ist es mir leider immer noch nicht. Bis
> hierher verstehe ich es, aber nun steht hier ja doch
> nochmal die Gleichung:
>
> Jedoch fuer Elemente [mm]X \in T[/mm] gilt [mm]cov(X, X) = 0 \Rightarrow X = 0[/mm].
Ja.
> Und die hat jetzt also immer noch dieselbe Bedeutung wie:
>
> [mm]\tilde{X}[/mm] = 0 [mm]\gdw \tilde{X}\in [\tilde{0}][/mm]
Du meinst $X = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] X = [mm] [\tilde{0}] \Leftrightarrow \tilde{X} \in [\tilde{0}]$.
[/mm]
> Das muss ich zeigen (habe ich gezeigt...) ?
Das hast du gezeigt: aus [mm] $Var(\tilde{X}) [/mm] = [mm] cov(\tilde{X}, \tilde{X}) [/mm] = 0$ folgt [mm] $\tilde{X} [/mm] = [mm] E(\tilde{X})$ [/mm] fast sicher, also [mm] $\tilde{X} \in [\tilde{0}]$.
[/mm]
LG Felix
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Okay,
vielen Dank Felix, für deine Antwort
Grüße,
Stefan
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