Quotientenvektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Sa 12.01.2008 | | Autor: | JulianTa |
Hallo!
Ich weiss nicht ob diese Frage hier reingehört, oder ob hier nur spezielle Fragen zu Aufgaben reingestellt werden dürfen. Ich mach einfach mal:
Ich verstehe leider den Begroff des Quotientenvektorraums nicht. Die Definition ist mir insofern klar, als dass ich einen Vektorraum V und UVR U habe und eine Äquivalenzrelation definiere: [mm] \nu_1 \sim \nu_2 :\gdw \nu_1 [/mm] - [mm] \nu_2 \in [/mm] U.
Wie ich nun auf den Begriff der Äquivalenzklasse komme ist mir hiungegen noch nicht so klar. Es gilt ja:
[mm] [\nu] [/mm] = [mm] \nu [/mm] + U = [mm] {\nu + u| u \in U}. [/mm] Wie genau habe ich das zu verstehen? Kann das jemand in Worte fassen? Und wie komme ich dann auf den Begriff des V/U?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Sa 12.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Wenn V ein Vektorraum ist und U ein Untervektorraum, dann sagt man, zwei Vektoren liegen in der selben Äquivalenzklasse, wenn ihr Differenzvektor in U liegt.
Man kann zeigen, dass zwei solcher Äquivalenzklassen entweder gleich sind, oder nur den Nullvektor gemeinsam haben.
Nimmt man nun aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter (wobei es kleine Rolle spielt welchen) , so kann man damit wieder eine Vektorraumstruktur definieren, man addiert zwei solcher Vertreter und schaut nach, in welcher Äquivalenzklasse das Ergebnis liegt.
Diesen neuen Vektorraum bezeichnet man mit V/U.
Wenn Du damit nicht viel anfangen kannst, weil es Dir zu abstrakt ist, sage mir Bescheid, dann überlege ich mir ein konkretes Beispiel!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Tagesschau |
Hallo,
nimm mal die euklidische ebene... [mm] \IR^{2} [/mm] und darin dann die gerade
< [mm] \vektor{1\\ 1} [/mm] >, also die Diagonale. Dann sind die Äquivalenzklassen die Parallelen zu dieser Diagonalen...
greez@u TS
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 13.01.2008 | | Autor: | JulianTa |
ok, was ist aber jetzt zum beispiel der vektorraum ker(f)/Im(f) wenn ich eine lineare Abb. f: V -> W hab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 So 13.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Ich verstehe Deine Frage nicht. Wenn Du von V nach W abbildest, ist doch
Ker(f) ein Unterraum von V und Im(f) ein Unterraum von W.
Der Ausdruck Ker(f)/Im(f) hat doch dann gar keinen Sinn (außer für V = W).
Vielleicht meinst Du den Isomorphiesatz: V/Ker(f) [mm] \cong [/mm] Im(f) ?
Der besagt, dass der Quotientenraum V/Ker(f) nicht anders als das Bild von f ist, Du findest das Bild von f also bereits im Vektorraum V.
Beispiel: V und W seien der Raum aller Polynome von Grad [mm] \le [/mm] 2 , und f die Abbildung, die jedem Polynom aus V seine Ableitung zuordnet. Dann ist der Kern von f die Menge aller konstanter Polynome.
Der Quotientenraum V/Ker(f) besteht aus allen Klassen von Polynomen, die sich nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden. Da zwei solcher Polynome die gleiche Ableitung haben, ist dieser Quotientenraum isomorph zum Bild von f
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