Quotientenvektorraum < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Bestimme Basis vom Quotientenvektorraum [mm] \IR^4/V [/mm] für
V = [mm] \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \IR^4:x_{1}+x_{2}=x_{3}-x_{4}=0 \} [/mm] |
Grundsätzlich verstehe ich die Aufgabe
nur ist mit V einen Spaltenvektor gemeint:
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}}
[/mm]
von dem ich jetzt die Basis geben muss?
Dh. ich verstehe die Darstellung der Aufgabe nicht.
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben.
Danke
ps. habe die Frage auf kein anderes Forum geposted.
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> Bestimme Basis vom Quotientenvektorraum [mm]\IR^4/V[/mm] für
>
> V = [mm]\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \IR^4:x_{1}+x_{2}=x_{3}-x_{4}=0 \}[/mm]
>
> Grundsätzlich verstehe ich die Aufgabe
>
> nur ist mit V einen Spaltenvektor gemeint:
>
> [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}}[/mm]
>
> von dem ich jetzt die Basis geben muss?
>
> Dh. ich verstehe die Darstellung der Aufgabe nicht.
>
Hallo,
wenn ich recht verstehe, was Du nicht verstehst, weißt Du nicht, was genau mit V gemeint ist.
V ist ein Untervektorraum des [mm] \IIR^4, [/mm] er enthält also leuter Spaltenvektoren mit 4 Einträgen.
Und zwar enthält er all diejenigen [mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}}, [/mm] die die Gleichung [mm] x_{1}+x_{2}=x_{3}-x_{4}=0 [/mm] lösen.
Um die Aufgab zu lösen, ist es in der Tat sinnvoll, wenn Du erstmal eine Basis von V bestimmst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> Hallo,
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> wenn ich recht verstehe, was Du nicht verstehst, weißt Du
> nicht, was genau mit V gemeint ist.
genau 
>
> V ist ein Untervektorraum des [mm]\IIR^4,[/mm] er enthält also
> leuter Spaltenvektoren mit 4 Einträgen.
...verständlich....
>
> Und zwar enthält er all diejenigen
> [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}},[/mm] die die Gleichung
> [mm]x_{1}+x_{2}=x_{3}-x_{4}=0[/mm] lösen.
das heisst z.b. wäre der Spaltenvektor [mm] \vektor{2\\-2\\5\\5} [/mm] einen solchen der in die Menge von V gehört?
>
> Um die Aufgab zu lösen, ist es in der Tat sinnvoll, wenn Du
> erstmal eine Basis von V bestimmst.
Dann wäre eine Basis von V: [mm] <\vektor{1\\0\\1\\0},\vektor{0\\1\\0\\1}> [/mm] und was ist dann die Basis des Quotientenraums?
>
> Gruß v. Angela
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mi 29.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi Nadine!
> Dann wäre eine Basis von V:
> [mm]<\vektor{1\\0\\1\\0},\vektor{0\\1\\0\\1}>[/mm] und was ist dann
> die Basis des Quotientenraums?
Diese beiden Vektoren liegen nicht in V, also können sie auch keine Basis bilden.
Gruß aus dem Norden
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
oje ich verstehe gar nichts mehr...habe gedacht ich hätte das mit der Basis jetzt im Griff und jetzt stehe ich wieder am Nullpunkt :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mi 29.10.2008 | | Autor: | statler |
> oje ich verstehe gar nichts mehr...habe gedacht ich hätte
> das mit der Basis jetzt im Griff und jetzt stehe ich wieder
> am Nullpunkt :-(
Na, jetzt nicht verzeifeln, dein Beispielvektor war doch OK. Wie bist du denn auf den gekommen? Und von der Sorte brauchst du 2, die linear unabhängig sind. Eigentlich ganz einfach, und uneigentlich auch
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mi 29.10.2008 | | Autor: | statler |
Grüezi!
> Also ich bin darauf gekommen, wegen der Gleichung die
> erfüllt sein muss: [mm]x_{1}+x_{2}=x_{3}-x_{4}=0[/mm]
>
> Dann wäre eine Basis z.b.: [mm]<\vektor{1 \\ -1\\0\\0},\vektor{0 \\ 0\\1\\1}>?[/mm]
Exactemang. Ich würde aber eine Basis als Menge mit geschweiften Klammern schreiben, das mit den spitzen Klammern ist der von diesen Vektoren aufgespannte Raum (die lineare Hülle).
Ciao
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Vielen Dank
Nun ja mit den geschweiften Klammer, dass ist so eine Sache. Bei der letzten Übung wurde mir gesagt, dass ich das bei einer Basis nicht machen dürfte :-(
Nun aber zu meiner ersten Frage, was ist nun die Basis des Quotientenvektorraums?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Mi 29.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Nun ja mit den geschweiften Klammer, dass ist so eine
> Sache. Bei der letzten Übung wurde mir gesagt, dass ich das
> bei einer Basis nicht machen dürfte :-(
Ich bleibe bei meiner Meinung.
> Nun aber zu meiner ersten Frage, was ist nun die Basis des
> Quotientenvektorraums?
Ein möglicher Weg wäre, diese Basis von V zu einer Basis des ganzen Raumes [mm] R^4 [/mm] zu ergänzen. Die Bilder der beiden ergänzten Vektoren sind dann eine Basis des Quotienten-VR.
Ciao
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
die Basis für den Vektorraum [mm] \IR^4 [/mm] beinhaltet 3 Vektoren, ist das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein. Es sind 4.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
okay gut!
aber ich verstehe immer noch nicht, wie ich es anstellen soll eine basis für den quotientenraum zu finden......![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Statler hat es Dir doch gesagt.
Basis von V : { [mm] \vektor{1 \\ -1\\ 0 \\0}, \vektor{0 \\ 0\\ 1 \\1} [/mm] }
Ergänzen zu einer Basis von [mm] \IR^4 [/mm] kannst Du diese Basis z.b. durch die vektoren
a = [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0 \\0} [/mm] und b = [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\1}
[/mm]
Fasst Du nun die Restklassen dieser Vektoren zu einer Menge zusammen , so erhälst Du eine Basis von [mm] \IR^4/V
[/mm]
Übrigends:eine Basis ist eine Menge, daher die geschweiften Klammern. Wenn Dir jemand etwas anderes erzählt hat, so hat er Unsinn geredet
FRED
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> aber ich verstehe immer noch nicht, wie ich es anstellen
> soll eine basis für den quotientenraum zu
> finden......
Hallo,
die Basis fürs Finden einer Basis des Quotientenraumes ist ja, daß man verstanden hat, was der Quotientenraum ist.
Wie ist denn der Quotientenraum definert?
Was ist [mm] \IR^4 [/mm] / V für ein Raum? Was ist da drin?
Es ist ja auch ein Vektorraum. Mit welchen Verknüpfungen eigentlich?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:20 Do 30.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Liebe Angela,
da hast Du ganz recht!
Aber der einzige Satz den ich habe lautet wie folgt:
Sei V ein K-Vektorraum und [mm] U\subsetV [/mm] ein Untervektorraum. Dann kann man die Menge V/U auf genau eine Weise so zu einem K-Vektorraum machen, dass die kanonische Abbildung
[mm] \gamma: [/mm] V [mm] \to [/mm] V/U, v [mm] \mapsto [/mm] v+U
linear wird. Weiter gilt
1) [mm] \gamma [/mm] ist surjektiv
2) Ker [mm] \gamma [/mm] = U
3) dimV/U = dimV - dimU, falls dimV < [mm] \infty
[/mm]
4) Der Quotientenvektorraum V/U hat die folgende universelle Eigenschaft: Ist [mm] F:V\toW [/mm] eine lineare Abbildung mit [mm] U\subset [/mm] Ker F, so git es genau eine lineare Abbildung [mm] \overline{F}: [/mm] V/U [mm] \to [/mm] W mit F = [mm] \overline{F}\circ\gamma. [/mm] Das kann man in Form eines kommutativ Diagramms schreiben.
Das ist so ziemlich alles was ich hab. Und ich sehe da irgendwie überhaupt keinen Zusammenhang, deshalb ist auch die Aufgabe für mich sehr schwierig.
Kennst Du eine bessere Definition? Oder einen Link wo ich das nachlesen kann. Weil bis jetzt habe ich auch sonst nichts im Internet gefunden.
Gruss
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Hallo,
suchen kannst Du neben "Quotientenraum" auch nach "Faktorraum".
Versuch Dich ein bißchen einzuarbeiten, thematisch gehören auch Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen in diesen Bereich - falls das zuvor in der Vorlesung gemacht wurde, also nicht einfach überlesen.
Das Thema ist wichtig.
Schau Dir auch an, wie Ihr gezeigt habt, daß die Quotientenräume Vektorräume sind.
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Wir schauen uns jetzt am besten mal Deinen konkreten Raum an.
Du hattest den Vektorraum [mm] \IR^4 [/mm] gegeben und den Untervektorraum [mm] V=<\vektor{1\\-1\\0\\0}, \vektor{0\\0\\1\\1}>.
[/mm]
Was ist nun [mm] \IR^4/V [/mm] ?
Die Elemente dieses Raumes haben die Gestalt r+V mit [mm] r\in \IR^4.
[/mm]
Hier muß man sich erstmal überlegen, was das bedeutet. Es wurde in der Vorlesung definiert.
Es ist [mm] r+V:=\{ r+v | v\in V\}.
[/mm]
Es ist r+V also eine Menge.
Daher ist [mm] \IR^4/V [/mm] ein Raum, dessen Elemente Mengen sind.
[mm] \IR^4/V:=\{ r+V | r\in \IR^4\}.
[/mm]
Es ist nun an der Zeit, daß wir uns mal ein konkretes Element aus [mm] \IR^4/V [/mm] anschauen.
Nehmen wir [mm] r=\vektor{1\\2\\3\\4}.
[/mm]
Es ist [mm] r+V=\vektor{1\\2\\3\\4} [/mm] + V= [mm] \vektor{1\\2\\3\\4}+<\vektor{1\\-1\\0\\0}, \vektor{0\\0\\1\\1}> [/mm] = [mm] \{ \vektor{1\\2\\3\\4} + a\vektor{1\\-1\\0\\0}+b\vektor{0\\0\\1\\1}| a,b\in \IR\}
[/mm]
Sowas in der Art, vielleicht etwas anders geschrieben, kennst Du aus der Schule: es ist eine Ebene, die parallel zur von [mm] \vektor{1\\-1\\0\\0}, \vektor{0\\0\\1\\1} [/mm] aufgespannten Ebene ist und durch den Punkt [mm] \vektor{1\\2\\3\\4} [/mm] geht.
Wenn Du das verdaut hast, wird Dir vielleicht klar, daß in [mm] \IR^4/ [/mm] V alle zu V parallen - tja, was eigentlich? - versammelt sind. ich sag' jetzt einfach mal "Gebilde" um nicht ausschweifend zu werden.
Ich weiß nicht, wie Ihr es aufschreibt, für r+V ist jedenfalls die Schreibweise [r] nicht unüblich.
Wichtig ist noch, daß [mm] r_1+V=r_2+V [/mm] gleich sein kann (also [mm] [r_1]=[r_2]), [/mm] ohne daß [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] gleich sind.
Wann ist das der Fall? Wenn [mm] r_1 [/mm] - [mm] r_2 \in [/mm] V.
Weiter geht's. Über [mm] \IR^4/V [/mm] wurde ja schon als Vektorraum gesprochen. Zu Vektorraum gehören immer auch Verknüpfungen.
Mit welchen Verknüpfungen ist das ein Vektorraum? Mit diesen:
1. Addition [mm] \oplus
[/mm]
[mm] [r]\oplus[s]:=[r+s] [/mm] (+ ist das Plus vom Vektorraum [mm] \IR^4)
[/mm]
2. Multiplikation mit Skalaren:
[mm] \lambda\odot [r]:=[lambda\*r] (\* [/mm] ist die Multiplikation mit Skalaren vom Vektorraum [mm] \IR^4)
[/mm]
Mach Dir unbedingt klar, welches das neutrale Element, also die Null [mm] 0_{\IR^4/V} [/mm] ist.
Man kann also nachweisen, daß mit diesen Verknüpfungen [mm] \IR^4/V [/mm] ein Vektorraum ist.
Folglich hat er auch eine Basis, und die sollst Du finden.
Da der Vektorraum nur Elemente der Gestalt r+V enthält, wird auch Deine Basis aus solchen Elementen bestehen.
Die Frage ist nun, aus wievielen und welchen.
Such ein Erzeugendensystem.
Dann guck nach, wie Du zu einem linear unabhängigen Erzeugendensystem kommst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Do 30.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
liebe angela,
vielen dank, dass du dir soviel zeit für mich nimmst.
ich werde mir jetzt deine erklärung in ruhe durch den kopf gehen lassen und hoffe ich komm weiter .
gruss,
nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Darf ich Euch jetzt noch einmal die Aufgabe vorrechnen?:
1) Ich suche eine Basis von V:
[mm] B_{V}= \pmat{ \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}}
[/mm]
2) Ich ergänze die Basis von V zu einer [mm] \IR^4 [/mm] Basis:
[mm] \pmat{ \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}}
[/mm]
Ich prüfe nach, dass diese Vektoren liniear unabhängig sind. tu ich jetzt hier nicht . Sie sind linear unabhängig!
3) Die Basis von [mm] \IR^4/V [/mm] ist somit:
[mm] B_{\IR^4/V}=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+V, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}+V \}
[/mm]
Ist das korrekt? Und auch die Schreibweise?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Fr 31.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi Nadine!
> Darf ich Euch jetzt noch einmal die Aufgabe vorrechnen?:
>
> 1) Ich suche eine Basis von V:
>
> [mm]B_{V}= \{ \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1} \}[/mm]
>
> 2) Ich ergänze die Basis von V zu einer [mm]\IR^4[/mm] Basis:
>
> [mm]\{ \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} \}[/mm]
>
> Ich prüfe nach, dass diese Vektoren linear unabhängig
> sind. tu ich jetzt hier nicht . Sie sind linear
> unabhängig!
>
> 3) Die Basis von [mm]\IR^4/V[/mm] ist somit:
>
> [mm]B_{\IR^4/V}=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+V, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}+V \}[/mm]
>
>
> Ist das korrekt? Und auch die Schreibweise?
Ich habe einen Tippfehler korr. und die Mengenklammern eingesetzt. Meiner Meinung nach sollte noch begründender Text (...ist so nach Satz X.Y aus der Vorlesung...) hinzugefügt werden. Kennst du den Dimensionssatz dimV = dimW + dim(V/W)?
Ciao
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
ja diesen Satz kenne ich seite heute Morgen , sehe jetzt aber noch nicht den Zusammenhang mit dem Schlusssatz.
Kleine Frage noch:
angenommen die Basis von V besteht nur aus einem Vektor, kann es dann seint das die Basis von [mm] \IR^4/V [/mm] etwa so aussieht: [mm] \{\vektor{a \\ b \\ c \\ d}+V \}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Fr 31.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> ja diesen Satz kenne ich seite heute Morgen , sehe jetzt
> aber noch nicht den Zusammenhang mit dem Schlusssatz.
>
> Kleine Frage noch:
>
> angenommen die Basis von V besteht nur aus einem Vektor,
> kann es dann seint das die Basis von [mm]\IR^4/V[/mm] etwa so
> aussieht: [mm]\{\vektor{a \\ b \\ c \\ d}+V \}?[/mm]
Dann hat V doch die Dimension 1, der [mm] \IR^4 [/mm] hat die Dimension 4, also muß der Quotientenraum die Dimension 3 haben, also kann die Basis soooo nicht aussehen. (Das ist ein begründender Text.)
Schönen Feierabend
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
danke...jetzt ist es klar....
vielen dank für eure geduld...
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