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Hallöchen,
ich hab nun auch mal ein Problem. Kann mir jemand mal ein Tip dazu geben? Ich wäre sehr dankbar.
Sei R ein Hauptidealring V ein monogener R-Modul. Sei U ein Untermodul von V.
a) Zeige: [mm]\Phi_U[/mm] := [mm]\left\{[/mm][mm]r\in\[/mm] R mit [mm]rv\in\[/mm][mm]U \right\}[/mm] ist ein Ideal und [mm]\Phi_U[/mm]V=U.
b) Zeige: U ist monogen.
Also monogen bedeutet ja, dass ein v existiert, so dass V = Rv
und zu b) wurde mir als Tip gegeben, dass ich verwenden soll, das [mm]v\in\[/mm] V und dass es Tatsache ist, dass R [mm]\supset[/mm] [mm]\Phi_U[/mm] ein Hauptidealring ist.
Gruß Dragon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Dragon!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei R ein Hauptidealring V ein monogener R-Modul. Sei U ein
> Untermodul von V.
>
> a) Zeige: [mm]\Phi_U[/mm] := [mm]\left\{[/mm][mm]r\in\[/mm] R mit [mm]rv\in\[/mm][mm]U \right\}[/mm]
> ist ein Ideal und [mm]\Phi_U[/mm]V=U.
[mm] $\Phi_U$ [/mm] ist ein Ideal, denn
1) Es gilt $0 [mm] \in \Phi_U$:
[/mm]
$0v = 0 [mm] \in [/mm] U$, da $U$ ein Untermodul von $V$ ist.
2) Sind $r,r' [mm] \in \Phi_u$, [/mm] dann gilt: $rv [mm] \in [/mm] U$ und $r'v [mm] \in [/mm] U$, und damit auch $(r-r')v = rv - r'v [mm] \in [/mm] U$, da $U$ ein Untermodul von $V$ und somit abgeschlossen bezüglich der Addition und Inversenbildung ist, also auch: $r-r' [mm] \in \Phi_U$.
[/mm]
3) Ist $r [mm] \in \Phi_U$, [/mm] also: $rv [mm] \in [/mm] U$, und $r' [mm] \in [/mm] R$, so folgt: $(r'r)v=r'(rv) [mm] \in [/mm] U$, da $U$ ein Untermodul von $V$ und somit abgeschlossen gegenüber der skalaren Multiplikation mit Ringelementen ist.
Es gilt: [mm] $\Phi_U [/mm] V = U$, denn:
Ist $v' [mm] \in \Phi_U [/mm] V$, so gibt es ein $r [mm] \in \Phi_U$ [/mm] mit $v' = rv$. Nach Definition von [mm] $\Phi_U$ [/mm] gilt: $v' [mm] \in [/mm] U$. Ist umgekehrt $u [mm] \in [/mm] U$, so gibt es, da $V$ monogen ist, ein $r [mm] \in [/mm] R$ mit $u=rv$. Nach Definition von [mm] $\Phi_U$ [/mm] folgt: $r [mm] \in \Phi_U$, [/mm] also: $u [mm] \in \Phi_UV$.
[/mm]
> b) Zeige: U ist monogen.
Da $R$ ein Hauptidealring ist und [mm] $\Phi_U$ [/mm] ein Ideal in $R$ ist, gibt es ein $r [mm] \in \Phi_U$ [/mm] mit [mm] $\Phi_U=Rr$.
[/mm]
Daraus folgt mit Hilfe von a) und wegen $V=Rv$:
[mm] $U=\Phi_U [/mm] V = (Rr)(Rv)= R(rv)$,
mit $u:=rv [mm] \in [/mm] U$, d.h. $U=Ru$ ist monogen.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Di 29.06.2004 | | Autor: | Dragon1982 |
Danke!
Das is mir ne echte Hilfe. Cool 
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