R-Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, habe folgende Aufgabe und versteh schon nich wirklich was da so drinne steht:
Es sei C(R) der R-Vektorraum aller stetigen Funktionen auf R.Zeigen Sie
a)Die Funktionen f,g,h C(R) mit
f(x)=1-cosx-sinx, g(x)=1-cos4x und h(x)=sin3x sind in C(R) linear unabhängig.
b)Die Menge der Funktionen {sin(jx)|j N} ist in C(R) linear unabhängig.
Also mein aller größtes Problem ist, das ich nicht verstehe was C(R) heißt oder bedeutet. Also R is ja sicherlich die reelle Zahl.Aber das C???
Wie ich a) lösen kann, weiß ich, allerdings sieht es da bei b) etwas schlechter aus.
LG dreaming
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
C(R) heisst einfach der Raum aller stetigen Funktionen auf R.
jede irgendwie stetige Funktion ist ein "Vektor" in diesem Raum.
(Summe von 2 stet fkt ist stet.fkt. Produkt einer stet fkt mit Zahl ist stet. fkt. deshalb ein VR
Gruss leduart.
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Hallo!
Wie kann mir deine Antwort bei der Aufgabe helfen?
Bei a) hab ich das Problem, dass ja f(x), g(x) und h(x) immer Null werden, wenn [mm] x=\pi. [/mm] Damit wär aber egal, welche Variable bzw. welches k davor steht. Also wär es linear abhängig oder hab ich was falsch gemacht?
Es heißt ja, dass [mm] \summe_{i=1}^{n} k_{i} v_{i}=0 [/mm] wenn [mm] k_{i}=0 \forall [/mm] i=0. Dann wäre es ja linear unabhängig. Andernfalls eben nicht.
Bitte helft mir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du in f,g,h irgendeine Zahl einsetzt findest du natürlich immer Koeffizienten so dass die Summe 0 gibt!
Die "Vektoren" sind aber die Funktionen, nicht ihre Werte an einer Stelle.
d.h. du musst [mm] k_i [/mm] finden ,sodass die Summe der fkt. 0 ist.
ein Weg das zu zeigen ist, dass wenn sie für x1 0 sind, und man dann eindeutige [mm] k_i [/mm] hat, und sie dann für ein x2 nicht 0 sind gibts keine [mm] k_i.
[/mm]
Gruss leduart.
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> Wenn du in f,g,h irgendeine Zahl einsetzt findest du
> natürlich immer Koeffizienten so dass die Summe 0 gibt!
> Die "Vektoren" sind aber die Funktionen, nicht ihre Werte
> an einer Stelle.
> d.h. du musst [mm]k_i[/mm] finden ,sodass die Summe der fkt. 0
> ist.
> ein Weg das zu zeigen ist, dass wenn sie für x1 0 sind,
> und man dann eindeutige [mm]k_i[/mm] hat, und sie dann für ein x2
> nicht 0 sind gibts keine [mm]k_i.[/mm]
Hallo!
Ich muss also für die funktion f(x) [mm] x_{i} [/mm] finden, für die f(x)=0 ist?! Hab ja ein x schon gefunden wo das zutreffen würde und es trifft ja auch auf g(x) und h(x) zu. [mm] (x=\pi). [/mm]
Hab ich dann nicht ein Gegenbeispiel gefunden wo [mm] k_{i} [/mm] beliebig sein kann? (Sorry wenn ich so ne "dumme Frage" stelle....konnte mir aber nicht wirklich was darauf zusammen reimen....)
Gruß
little_sunshine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst zeigen : a*f(x)+b(g(x)+c*h(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] R nur für a=b=c=0 !
du hast du hast eine Stelle gefunden an der alle 3 fkt 0 sind. das sagt nix über ihre lin. Abhängigkeit: einfachstes Beispiel
x, [mm] x^2 x^3 [/mm] sind lin. unabh. weil es [mm] ax+bx^2+cx^3=0 [/mm] kein [mm] a,b,c\ne [/mm] 0 gibt.
aber bei x=0 sind alle 3, be x=1 kann ich abc finden. a+b+c= 0 bei 2 kann ich a,b,c finden aber keins für ALLE x!
sinx und cos x sind lin unabh. obwohl sie bei [mm] x=\pi/4 [/mm] gleich sind.
Nochmal es geht um die Fkt. NICHT um Funktionswerte!
Gruss leduart
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also das heißt, dass ich mir zwei verschiedene x-werte suche, mit einem der x- werte wäre a*f(x)+b*g(x)+c*h(x)=0 wobei ich verschiedene a,b,c [mm] \not= [/mm] 0 habe und mit einem anderen x-wert wäre dies nicht so...
muss ich zusätzlich noch irgendwas zeigen. z.b. das diese funktionen überhaupt stetig sind.
Wie mach ich das dann bei b)?
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Hallo, wie mach ich denn teil b?als hinweis wurde uns gesagt, dass wir 2 mal die ableitung bilden sollen, da hab ich gemacht und bin auf f´´=-sin(jx) gekommen, aber wie bringt mich das jetzt weiter???
gruß
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> Hallo, wie mach ich denn teil b?als hinweis wurde uns
> gesagt, dass wir 2 mal die ableitung bilden sollen, da hab
> ich gemacht und bin auf f´´=-sin(jx) gekommen, aber wie
> bringt mich das jetzt weiter???
Hallo, zunächst einmal solltest mal aufschreiben, was zu zeigen ist, wenn Du die Unabhängigkeit der [mm] \{f_j| j\in \IN\} [/mm] mit [mm] f_j(x):=sin(jx) [/mm]
zeigen willst.
Wie habt Ihr lineare Unabhängigkeit (einer unendlichen Menge) definiert?
Nächster Punkt: es ist [mm] f_j''(x)\not=-sin(jx) [/mm] . Du solltest nochmal darüber nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) dass die fkt stetig sind musst du nicht nachweisen, es steht ja da, dass sie aus C(R) sind.
b) du brauchst 3 Punkte um a,b,c eindeutig festzulegen, dann musst du zeigen, dass mit diesen a,b,c es x gibt, sodass die Gl. nicht stimmt. das ist ne Art Widerspruchsbeweis; Angenommen es gäbe a,b,c, dann müsste für alle x gelten. es gilt für x1,x2,x3, dann nicht für x4 Widerspruch.
b)läuft ähnlich wie a, nur mehr pkte!
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:48 So 02.12.2007 | | Autor: | dreaming1 |
Was denn für punkte?muss ich mir die selber aussuchen oder muss man das vorher ausrechnen?Irgenwie versteh ich die ganze aufgabe nich mehr
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:41 So 02.12.2007 | | Autor: | nickjagger |
müssen diese x1,x2,x3,x4 jeweils gleichzeitig in die Funktionsvektoren gesetzt werden, also f(x1), g(x1), h(x1) ?? warum 4 x-werte??
und wie sollte meine vorgehensweise bei b) sein?????
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> Es sei C(R) der R-Vektorraum aller stetigen Funktionen auf
> R.Zeigen Sie
> a)Die Funktionen f,g,h C(R) mit
> f(x)=1-cosx-sinx, g(x)=1-cos4x und h(x)=sin3x sind in C(R)
> linear unabhängig.
Hallo,
es wird hier der Vektorraum der stetigen Funktionen betrachtet mit der elementweise def. Addition und Multiplikation mit Skalaren.
Zunächst einmal ist es nützlich, sich klarzumachen, daß die Elemente dieses Vektorraumes - also die Vektoren - hier stetige Funktionen sind.
In der Aufgabe a werden nun drei Funktionen, f,g,h [mm] \in C(\IR) [/mm] herausgegriffen, deren lineare Unabhängigkeit gezeigt werden soll.
An dieser Stelle besinne man sich auf die Def. der linearen Unabhängigkeit:
Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn nur die triviale Linearkombination die Null ergibt.
Dies gilt es zu prüfen.
Es seien a,b,c [mm] \in \IR [/mm] mit
a*f+b*g+c*h=n .
(n steht hier für die Null im VR der stetigen Funktionen, als für [mm] n:\IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] mit n(x):=0 [mm] f.a.x\in \IR.)
[/mm]
Wir haben nun also über die Gleichheit der Funktion rechts und links des Gleichheitszeichens nachzudenken.
Wann sind zwei Funktionen gleich?
Wenn ihre Werte an allen Stellen übereinstimmen.
Aha:
a*f+b*g+c*h=n
<==>
(a*f+b*g+c*h)(x)=n(x)
<==> a*f(x)+b*g(x)+c*h(x)=0 für alle [mm] x\in \IR [/mm] (hier wurden die Def. der im Funktionraum erklärten Verknüpfungen verwendet)
<==> für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt: a*(1-cosx-sinx)+b*( 1-cos4x)+c*( sin3x)=0
===
Kurz innehalten - unser Ziel ist es, a=b=c=0 herauszubekommen, denn wir wollen die Unabhängigkeit zeigen.
Die Gleichung a*(1-cosx-sinx)+b*( 1-cos4x)+c*( sin3x)=0 muß ja für alle x gelten.
Wenn man jetzt [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] so findet, daß das Lineare Gleichungssystem [mm] a*(1-cosx_1-sinx_1)+b*( 1-cos4x_1)+c*( sin3x_1)=0
[/mm]
[mm] a*(1-cosx_2-sinx_2)+b*( 1-cos4x_2)+c*( sin3x_2)=0
[/mm]
[mm] a*(1-cosx_1-sinx_3)+b*( 1-cos4x_3)+c*( sin3x_3)=0
[/mm]
nur die Lösung a=b=c=0 hat, ist das gelungen.
Denn egal, was an den anderen Stellen passiert: damit a*f+b*g+c*h=n , muß a=b=c=0 gelten.
===
Nun sucht man sich also drei Stellen (ich nehme [mm] \pi, {\pi}{2}, {\pi}{4}) [/mm] und stellt das entsprechende GS auf:
[mm] a*(1-cos\pi-sin\pi)+b*( 1-cos(4\pi))+c*( sin(3\pi))=0
[/mm]
[mm] a*(1-cos\bruch{\pi}{2}-sin\bruch{\pi}{2})+b*( 1-cos(4\bruch{\pi}{2}))+c*( sin(3\bruch{\pi}{2}))=0
[/mm]
[mm] a*(1-cos\bruch{\pi}{4}-sin\bruch{\pi}{4})+b*( 1-cos(4\bruch{\pi}{4}))+c*( sin(3\bruch{\pi}{4}))=0.
[/mm]
Die Lösung des Systems überlasse ich Euch.
Allgemeines:
Wenn die lineare Unabhängigkeit v. Funktionen gezeigt wird, reicht es, ein entsprechendes Gleichungssystem zu finden, welches nur die triviale Lösung hat.
Wenn man zeigen will, daß Funktionen [mm] f_i [/mm] linear abhängig sind, daß es also eine nichttrivieale Linearkombination
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_if_i [/mm] mit [mm] \summe_{i=1}^{n}a_if_i=n [/mm] gibt, muß man zeigen, daß
für alle x
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_if_i(x)=0 [/mm] gilt.
> b)Die Menge der Funktionen {sin(jx)|j N} ist in C(R)
> linear unabhängig.
Hier haben wir eine nichtendliche Menge v. Funktionen auf unabhängigkeit zu prüfen, und man muß nun erstmal feststellen, wie Ihr für diese Fall die lineare Unabhängigkeit definiert habt.
Meine Def.: die Menge ist linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist.
Zu diesem Zweck würde ich nun zeigen, daß für alle [mm] n\in \IN [/mm] die Menge [mm] (f_1, ...f_n) [/mm] mit [mm] f_q(x):=sin(qx) [/mm] linear unabhängig ist.
Gruß v. Angela
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