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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:30 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
hier eine kleine (nicht allzu schwierige) elementare Zahlentheorie-Aufgabe der Russischen Mathe-Olympiade aus dem Jahre 1994:
Es seien $a,b [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\frac{a+1}{b} [/mm] + [mm] \frac{b+1}{a} \in \IN$.
[/mm]
Weiterhin sei
[mm] $d=\ggT(a,b)$.
[/mm]
Zeige:
[mm] $d^2 \le [/mm] a+b$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Sa 28.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
ich versuchs mal:
Wir haben für $a,b [mm] \in \IN$ [/mm] vorausgesetzt:
[mm] $\bruch{a+1}{b} [/mm] + [mm] \bruch{b+1}{a} \in \IN$
[/mm]
Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] das Ergebnis dieser Rechnung, dann gilt:
[mm] $\bruch{a+1}{b} [/mm] + [mm] \bruch{b+1}{a} [/mm] = n$
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $a^2+a+b^2+b [/mm] = a*b*n [mm] \gdw [/mm] a + b = a*b*n - [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2$
[/mm]
Dabei ist $a + b$ wieder eine natürliche Zahl, also auch der rechte Ausdruck.
Desweiteren gilt $d [mm] \in \operatorname{ggT}(a,b)$, [/mm] also gibt es [mm] $\bar{a},\bar{b} \in \IZ$ [/mm] mit $a = [mm] d*\bar{a}$ [/mm] und $b = [mm] d*\bar{b}$.
[/mm]
Nun wollen wir Anfangen, die Lösung zu überprüfen:
[mm] $d^2 \le [/mm] a + b = [mm] a*b*n-a^2-b^2 [/mm] = [mm] d^2*(\bar{a}*\bar{b}*n [/mm] - [mm] \bar{a}^2 [/mm] - [mm] \bar{b}^2)$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
$1 [mm] \le \bar{a}*\bar{b}*n [/mm] - [mm] \bar{a}^2 [/mm] - [mm] \bar{b}^2$
[/mm]
Da [mm] $d^2$ [/mm] wegen $d [mm] \in \operatorname{ggT}(a,b)$ [/mm] den Ausdruck [mm] $a*b*n-a^2-b^2$ [/mm] glatt teilt und dieser Ausdruck eine natürliche Zahl war, muss auch [mm] $\bar{a}*\bar{b}*n [/mm] - [mm] \bar{a}^2 [/mm] - [mm] \bar{b}^2$ [/mm] eine natürliche Zahl sein (es wurde durch etwas positives geteilt), also insbesondere [mm] $\ge [/mm] 1$.
Ich hoffe, das ist soweit richtig.
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 So 29.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
> Lieber AT-Colt!
>
> Deine Lösung ist richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") , aber am Schluss
> vielleicht ein kleines bisschen umständlich (was deine
> Leistung nicht schmälern soll  ).
Ich bin kritikfähig ^^;
> Daraus folgt dann:
>
> [mm]d^2\, \vert \, (a + b)[/mm],
>
> also insbesondere:
>
> [mm]d^2 \le a+b[/mm].
>
> Ist dir das klar? Und den anderen? Wenn nicht: Unbedingt
> nachfragen!!
Jetzt, wo es da steht, ist es mir auch sofort klargewesen, aber selbst bin ich nicht drauf gekommen, ich hatte vergessen, dass Teiler meistens kleiner/gleich der geteilten Zahl sind ^^;
Ich muss sagen, auf den letzten Schritt habe ich am meisten Mühe verwendet...
greetz
AT-Colt
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