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| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen von [mm] \IR^{2} [/mm] sind [mm] \IR- [/mm] Unterräume ?
A= { [mm] (x,y)=\varepsilon \IR^{2}|x+y=0 [/mm] }
B= { [mm] (x,y)=\varepsilon \IR^{2}|2x-7y=0 [/mm] }
C= { [mm] (x,y)=\varepsilon \IR^{2}|xy=1 [/mm] }
D= { [mm] (x,y)=\varepsilon \IR^{2}|x=6 [/mm] }
E= { [mm] (x,y)=\varepsilon \IR^{2}|x^{2}+y{2}=0 [/mm] } |
Meine Rechnungen bis jetzt:
C und D sind schonmal keine Unterräume, da sie den Nullvektor nicht enthalten.
Denn für C gilt für x,y=0 [mm] xy\not=1 [/mm] und für D gilt für x=0 [mm] x\not= [/mm] 6
A,B,E enthalten den Null-Vektor.
Jetzt müsste ich die Bedingung x,y [mm] \varepsilon [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \varepsilon [/mm] U überprüfen:
Wie mache ich das?
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Hallo MatheDell,
> Welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^{2}[/mm] sind [mm]%5CIR-[/mm]
> Unterräume ?
...sind Unterräume bzw. sind Unterräume des [mm] \IR^2 [/mm] müsste das heißen, oder?
> [mm] A=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|x+y=0\}
[/mm]
> [mm] B=\{(x,y)=\varepsilon \IR^2|x-y=0\}
[/mm]
> [mm] C=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|xy=1\}
[/mm]
> [mm] D=\{(x,y)=\varepsilon \IR^2|x=6\}
[/mm]
> [mm] E=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|x^{2}+y{2}=0\}
[/mm]
Das "Element"-Zeichen schreibt man einfach \in.
> Meine Rechnungen bis jetzt:
>
> C und D sind schonmal keine Unterräume, da sie den
> Nullvektor nicht enthalten.
Korrekt.
> Denn für C gilt für x,y=0 [mm]xy\not=1[/mm]
Nein. In C gibt es einfach keine Elemente mit x=0 oder y=0.
> und für D gilt für
> x=0 [mm]x\not=[/mm] 6
Ja.
> A,B,E enthalten den Null-Vektor.
Nur mal so: was enthält E sonst noch?
> Jetzt müsste ich die Bedingung x,y [mm]\varepsilon[/mm] U
> [mm]\Rightarrow[/mm] x+y [mm]\varepsilon[/mm] U überprüfen:
>
> Wie mache ich das?
Es ist immer unpraktisch, für alles die gleichen Formelbuchstaben zu verwenden. Da kommt man durcheinander.
Nehmen wir mal A. Du sollst zeigen, dass aus [mm] a\in{A} [/mm] und [mm] b\in{A} [/mm] folgt: [mm] (a+b)\in{A}.
[/mm]
Setzen wir [mm] a=(x_1,y_1) [/mm] und [mm] b=(x_2,y_2).
[/mm]
Wir wissen: [mm] x_1+y_1=0 [/mm] und [mm] x_2+y_2=0.
[/mm]
Zu zeigen ist für [mm] (a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2), [/mm] dass gilt:
[mm] x_1+x_2+y_1+y_2=0. [/mm] Genau dann ist ja [mm] (a+b)\in{A}.
[/mm]
Entsprechend dann für B und E.
Grüße
reverend
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> Hallo MatheDell,
>
> > Welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^{2}[/mm] sind [mm]%5CIR-[/mm]
> > Unterräume ?
>
> ...sind Unterräume bzw. sind Unterräume des [mm]\IR^2[/mm] müsste
> das heißen, oder?
>
> > [mm]A=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|x+y=0\}[/mm]
> >
> [mm]B=\{(x,y)=\varepsilon \IR^2|x-y=0\}[/mm]
> >
> [mm]C=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|xy=1\}[/mm]
> >
> [mm]D=\{(x,y)=\varepsilon \IR^2|x=6\}[/mm]
> > [mm]E=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|x^{2}+y{2}=0\}[/mm]
>
> Das "Element"-Zeichen schreibt man einfach
> [mm][code]\in[/code].[/mm]
>
> > Meine Rechnungen bis jetzt:
> >
> > C und D sind schonmal keine Unterräume, da sie den
> > Nullvektor nicht enthalten.
>
> Korrekt.
>
> > Denn für C gilt für x,y=0 [mm]xy\not=1[/mm]
>
> Nein. In C gibt es einfach keine Elemente mit x=0 oder
> y=0.
>
> > und für D gilt für
> > x=0 [mm]x\not=[/mm] 6
>
> Ja.
Wenn es in C "einfach keine Elemente mit x=0 oder
y=0" gibt, warum dann auch nicht bei D? Hier ist doch x immer 6, also gibt es doch auch kein x=0 oder?
>
> > A,B,E enthalten den Null-Vektor.
>
> Nur mal so: was enthält E sonst noch?
Ich komme nicht drauf.
>
> > Jetzt müsste ich die Bedingung x,y [mm]\varepsilon[/mm] U
> > [mm]\Rightarrow[/mm] x+y [mm]\varepsilon[/mm] U überprüfen:
> >
> > Wie mache ich das?
>
> Es ist immer unpraktisch, für alles die gleichen
> Formelbuchstaben zu verwenden. Da kommt man durcheinander.
>
> Nehmen wir mal A. Du sollst zeigen, dass aus [mm]a\in{A}[/mm] und
> [mm]b\in{A}[/mm] folgt: [mm](a+b)\in{A}.[/mm]
> Setzen wir [mm]a=(x_1,y_1)[/mm] und [mm]b=(x_2,y_2).[/mm]
> Wir wissen: [mm]x_1+y_1=0[/mm] und [mm]x_2+y_2=0.[/mm]
>
> Zu zeigen ist für [mm](a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2),[/mm] dass gilt:
> [mm]x_1+x_2+y_1+y_2=0.[/mm] Genau dann ist ja [mm](a+b)\in{A}.[/mm]
>
> Entsprechend dann für B und E.
Für B: Es seien [mm] a=(x_1,y_1) b=(x_2,y_2)
[/mm]
Voraussetzung: [mm] x_1-y_1=0 [/mm] ; [mm] x_2-y_2=0
[/mm]
Zu zeigen: [mm] (a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \Rightarrow (x_1+x_2)-(y_1+y_2)=0
[/mm]
Für E: Es seien [mm] a=(x_1,y_1) b=(x_2,y_2)
[/mm]
Voraussetzung: [mm] (x_1)^{2}+(y_1)^{2}=0 [/mm]
[mm] (x_2)^{2}+(y_2)^{2}=0
[/mm]
Zu zeigen: [mm] (a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \Rightarrow (x_1+x_2)^{2}+(y_1+y_2)^{2}=0
[/mm]
Reicht das so oder muss ich noch was beweisen?
>
> Grüße
> reverend
Muss ich noch die 3. Bedingung: Sei x [mm] \in [/mm] U und [mm] \lambda \in [/mm] K: [mm] \lambda*x \Rightarrow (\lambda*x_1,\lambda*_2,\lambda*x_3) [/mm] beweisen?
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Hallo,
> > Hallo MatheDell,
> >
> > > Welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^{2}[/mm] sind [mm]%25255CIR-[/mm]
> > > Unterräume ?
> >
> > ...sind Unterräume bzw. sind Unterräume des [mm]\IR^2[/mm] müsste
> > das heißen, oder?
> >
> > > [mm]A=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|x+y=0\}[/mm]
> > >
> > [mm]B%253D%255C%257B(x%252Cy)%253D%255Cvarepsilon%2520%255CIR%255E2%257Cx-y%253D0%255C%257D[/mm]
> > >
> > [mm]C=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|xy=1\}[/mm]
> > >
> > [mm]D%253D%255C%257B(x%252Cy)%253D%255Cvarepsilon%2520%255CIR%255E2%257Cx%253D6%255C%257D[/mm]
> > >
> [mm]E=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|x^{2}+y{2}=0\}[/mm]
> >
> > Das "Element"-Zeichen schreibt man einfach
> > [mm][code]\in[/code].[/mm]
> >
> > > Meine Rechnungen bis jetzt:
> > >
> > > C und D sind schonmal keine Unterräume, da sie den
> > > Nullvektor nicht enthalten.
> >
> > Korrekt.
> >
> > > Denn für C gilt für x,y=0 [mm]xy\not=1[/mm]
> >
> > Nein. In C gibt es einfach keine Elemente mit x=0 oder
> > y=0.
> >
> > > und für D gilt für
> > > x=0 [mm]x\not=[/mm] 6
> >
> > Ja.
>
> Wenn es in C "einfach keine Elemente mit x=0 oder
> y=0" gibt,
> warum dann auch nicht bei D? Hier ist doch x
> immer 6, also gibt es doch auch kein x=0 oder?
Jo, anders geschrieben: [mm]D=\{(6,y):y\in\IR\}[/mm] Die erste Komponente der Elemente (Vektoren) in D ist stets die 6, also ist der Nullvektor [mm](x,y)=(0,0)[/mm] nicht in D enthalten. Damit kann D kein Vektorraum sein.
> >
> > > A,B,E enthalten den Null-Vektor.
> >
> > Nur mal so: was enthält E sonst noch?
>
> Ich komme nicht drauf.
Wieso nicht? Es ist doch für alle [mm]x,y\in\IR[/mm]: [mm]x^2+y^2\ge 0[/mm] und [mm]x^2+y^2=0\gdw x=y=0[/mm]
Es ist also nur der Nullvektor in E enthalten.
> >
> > > Jetzt müsste ich die Bedingung x,y [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] x+y [mm]\varepsilon[/mm] U überprüfen:
> > >
> > > Wie mache ich das?
> >
> > Es ist immer unpraktisch, für alles die gleichen
> > Formelbuchstaben zu verwenden. Da kommt man durcheinander.
> >
> > Nehmen wir mal A. Du sollst zeigen, dass aus [mm]a\in{A}[/mm] und
> > [mm]b\in{A}[/mm] folgt: [mm](a+b)\in{A}.[/mm]
> > Setzen wir [mm]a=(x_1,y_1)[/mm] und [mm]b=(x_2,y_2).[/mm]
> > Wir wissen: [mm]x_1+y_1=0[/mm] und [mm]x_2+y_2=0.[/mm]
> >
> > Zu zeigen ist für [mm](a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2),[/mm] dass gilt:
> > [mm]x_1+x_2+y_1+y_2=0.[/mm] Genau dann ist ja [mm](a+b)\in{A}.[/mm]
> >
> > Entsprechend dann für B und E.
>
> Für B: Es seien [mm]a=(x_1,y_1) b=(x_2,y_2)[/mm]
>
> Voraussetzung: [mm]x_1-y_1=0[/mm] ; [mm]x_2-y_2=0[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm](a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \Rightarrow (x_1+x_2)-(y_1+y_2)=0[/mm]
Das [mm]%5CRightarrow[/mm] ist da fehl am Platze:
zz: [mm](a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2)\in B[/mm], dh. zz: [mm](x_1%2Bx_2)-(y_1%2By_2)%3D0[/mm]
Dann zeige das mal!
>
> Für E: Es seien [mm]a=(x_1,y_1) b=(x_2,y_2)[/mm]
>
> Voraussetzung: [mm](x_1)^{2}+(y_1)^{2}=0[/mm]
> [mm](x_2)%255E%257B2%257D%252B(y_2)%255E%257B2%257D%253D0[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm](a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \Rightarrow (x_1+x_2)^{2}+(y_1+y_2)^{2}=0[/mm]
>
> Reicht das so oder muss ich noch was beweisen?
Letzteres musst du zeigen ...
>
> >
> > Grüße
> > reverend
>
> Muss ich noch die 3. Bedingung: Sei x [mm]\in[/mm] U und [mm]\lambda \in[/mm]
> K: [mm]\lambda*x \Rightarrow (\lambda*x_1,\lambda*_2,\lambda*x_3)[/mm]
was soll dass heißen? Das ist grober Unfug. WOher kommen 3 Komponenten?
Die 3. Bedingung lautet:
Für alle [mm]x\in U, lambda\in K: \lambda\cdot{}x\in U[/mm]
> beweisen?
Das musst du für alle potentiell infrage kommenden Unterräume tun.
Konkret lautet das 3. Kriterium für zB. A:
Für alle [mm](x,y)\in A[/mm] und alle [mm]\lambda\in\IR[/mm] gilt [mm]\lambda\cdot{}(x,y)\in A[/mm]
Zu Beweis dieser Aussage nimm dir ein beliebiges [mm](x,y)\in A[/mm] und ein beliebiges [mm]\lambda\in \IR[/mm] her und schaue dir [mm]\lambda\cdot{}(x,y)[/mm] an:
Zeigen musst du, dass das [mm]\in A[/mm] ist ...
Gruß
schachuzipus
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> Hallo,
>
>
> > > Hallo MatheDell,
> > >
> > > > Welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^{2}[/mm] sind
> [mm]%25255CIR-[/mm]
> > > > Unterräume ?
> > >
> > > ...sind Unterräume bzw. sind Unterräume des [mm]\IR^2[/mm]
> müsste
> > > das heißen, oder?
> > >
> > > > [mm]A=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|x+y=0\}[/mm]
> > > >
> > >
> [mm]B%253D%255C%257B(x%252Cy)%253D%255Cvarepsilon%2520%255CIR%255E2%257Cx-y%253D0%255C%257D[/mm]
> > > >
> > > [mm]C=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|xy=1\}[/mm]
> > > >
> > >
> [mm]D%253D%255C%257B(x%252Cy)%253D%255Cvarepsilon%2520%255CIR%255E2%257Cx%253D6%255C%257D[/mm]
> > > >
> > [mm]E=\{(x,y)=\varepsilon \IR^{2}|x^{2}+y{2}=0\}[/mm]
> > >
> > > Das "Element"-Zeichen schreibt man einfach
> > > [mm][code]\in[/code].[/mm]
> > >
> > > > Meine Rechnungen bis jetzt:
> > > >
> > > > C und D sind schonmal keine Unterräume, da sie den
> > > > Nullvektor nicht enthalten.
> > >
> > > Korrekt.
> > >
> > > > Denn für C gilt für x,y=0 [mm]xy\not=1[/mm]
> > >
> > > Nein. In C gibt es einfach keine Elemente mit x=0
> oder
> > > y=0.
> > >
> > > > und für D gilt für
> > > > x=0 [mm]x\not=[/mm] 6
> > >
> > > Ja.
> >
> > Wenn es in C "einfach keine Elemente mit x=0 oder
> > y=0" gibt,
> > warum dann auch nicht bei D? Hier ist doch x
> > immer 6, also gibt es doch auch kein x=0 oder?
>
> Jo, anders geschrieben: [mm]D=\{(6,y):y\in\IR\}[/mm] Die erste
> Komponente der Elemente (Vektoren) in D ist stets die 6,
> also ist der Nullvektor [mm](x,y)=(0,0)[/mm] nicht in D enthalten.
> Damit kann D kein Vektorraum sein.
>
> > >
> > > > A,B,E enthalten den Null-Vektor.
> > >
> > > Nur mal so: was enthält E sonst noch?
> >
> > Ich komme nicht drauf.
>
> Wieso nicht? Es ist doch für alle [mm]x,y\in\IR[/mm]: [mm]x^2+y^2\ge 0[/mm]
> und [mm]x^2+y^2=0\gdw x=y=0[/mm]
>
> Es ist also nur der Nullvektor in E enthalten.
>
>
> > >
> > > > Jetzt müsste ich die Bedingung x,y [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > > [mm]\Rightarrow[/mm] x+y [mm]\varepsilon[/mm] U überprüfen:
> > > >
> > > > Wie mache ich das?
> > >
> > > Es ist immer unpraktisch, für alles die gleichen
> > > Formelbuchstaben zu verwenden. Da kommt man
> durcheinander.
> > >
> > > Nehmen wir mal A. Du sollst zeigen, dass aus [mm]a\in{A}[/mm]
> und
> > > [mm]b\in{A}[/mm] folgt: [mm](a+b)\in{A}.[/mm]
> > > Setzen wir [mm]a=(x_1,y_1)[/mm] und [mm]b=(x_2,y_2).[/mm]
> > > Wir wissen: [mm]x_1+y_1=0[/mm] und [mm]x_2+y_2=0.[/mm]
> > >
> > > Zu zeigen ist für [mm](a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2),[/mm] dass
> gilt:
> > > [mm]x_1+x_2+y_1+y_2=0.[/mm] Genau dann ist ja [mm](a+b)\in{A}.[/mm]
> > >
> > > Entsprechend dann für B und E.
> >
> > Für B: Es seien [mm]a=(x_1,y_1) b=(x_2,y_2)[/mm]
> >
> > Voraussetzung: [mm]x_1-y_1=0[/mm] ; [mm]x_2-y_2=0[/mm]
> >
> > Zu zeigen: [mm](a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \Rightarrow (x_1+x_2)-(y_1+y_2)=0[/mm]
>
> Das [mm]%5CRightarrow[/mm] ist da fehl am Platze:
>
> zz: [mm](a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2)\in B[/mm], dh. zz:
> [mm](x_1%2Bx_2)-(y_1%2By_2)%3D0[/mm]
>
Was gilt zu zeigen?
> Dann zeige das mal!
>
> >
> > Für E: Es seien [mm]a=(x_1,y_1) b=(x_2,y_2)[/mm]
> >
> > Voraussetzung: [mm](x_1)^{2}+(y_1)^{2}=0[/mm]
> > [mm](x_2)%255E%257B2%257D%252B(y_2)%255E%257B2%257D%253D0[/mm]
> >
> > Zu zeigen: [mm](a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \Rightarrow (x_1+x_2)^{2}+(y_1+y_2)^{2}=0[/mm]
>
> >
> > Reicht das so oder muss ich noch was beweisen?
>
> Letzteres musst du zeigen ...
Wie zeige ich das? Indem ich einfach Zahlen einsetze? Geht ja nur x=y=0 was die Gleichung erfüllt und 0 [mm] \in [/mm] Untervektorraum
>
> >
> > >
> > > Grüße
> > > reverend
> >
> > Muss ich noch die 3. Bedingung: Sei x [mm]\in[/mm] U und [mm]\lambda \in[/mm]
>
> > K: [mm]\lambda*x \Rightarrow (\lambda*x_1,\lambda*_2,\lambda*x_3)[/mm]
>
> was soll dass heißen? Das ist grober Unfug. WOher kommen 3
> Komponenten?
>
> Die 3. Bedingung lautet:
>
> Für alle [mm]x\in U, lambda\in K: \lambda\cdot{}x\in U[/mm]
>
> > beweisen?
>
> Das musst du für alle potentiell infrage kommenden
> Unterräume tun.
>
> Konkret lautet das 3. Kriterium für zB. A:
>
> Für alle [mm](x,y)\in A[/mm] und alle [mm]\lambda\in\IR[/mm] gilt
> [mm]\lambda\cdot{}(x,y)\in A[/mm]
>
> Zu Beweis dieser Aussage nimm dir ein beliebiges [mm](x,y)\in A[/mm]
> und ein beliebiges [mm]\lambda\in \IR[/mm] her und schaue dir
> [mm]\lambda\cdot{}(x,y)[/mm] an:
>
> Zeigen musst du, dass das [mm]\in A[/mm] ist ...
Ok, nehmen wir für A (x+y=0) x=-1 und y=1 und [mm] \lambda= [/mm] 2
Dann gilt [mm] \lambda*(x,y) [/mm] was 2*(-1,1)=(-2,2) ist und das ist im Unterraum, denn -2+2=0 erfüllt x+y=0
B) (2x-7y=0)
Sei x=7 und y=2 und [mm] \lambda=2
[/mm]
Dann gilt [mm] \lambda*(x,y) [/mm] was 2*(7,2)=(14,4) ist und das ist im Unterraum, denn 2*14-7*4=0
E) [mm] (x^{2}+y^{2}=0)
[/mm]
Sei x=0 und y=0
Dann gilt [mm] \lambda*(x,y) [/mm] was 2*(0,0)=(0,0) ist und das ist im Unterraum, denn [mm] 0^{2}+0^{2}=0
[/mm]
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
zitiere doch bitte mit etwas mehr Bedacht - so ist es sehr unübersichtlich!
> > zz: [mm](a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2)\in B[/mm], dh. zz:
> > [mm](x_1%2Bx_2)-(y_1%2By_2)%3D0[/mm]
> >
>
> Was gilt zu zeigen?
Oh das scheint der Editor zerfressen zu haben?!
Die Eigenschaft von [mm]B[/mm] ist zu zeigen für [mm]a+b[/mm]
Es ist [mm]a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2)[/mm]
Wenn das in [mm]B[/mm] sein soll, muss nach Def. von [mm]B[/mm] gelten:
[mm]x_1+x_2-(y_1+y_2)=0[/mm]
Weise nach, dass dies gilt.
Dazu nutze aus, dass [mm]a=(x_1,y_1)[/mm] und [mm]b=(x_2,y_2)[/mm] aus [mm]B[/mm] sind, dass also gilt [mm]x_1-y_1=0[/mm] und [mm]x_2-y_2=0[/mm]
> > >
> > > Zu zeigen: [mm](a+b)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \Rightarrow (x_1+x_2)^{2}+(y_1+y_2)^{2}=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Reicht das so oder muss ich noch was beweisen?
> >
> > Letzteres musst du zeigen ...
>
> Wie zeige ich das? Indem ich einfach Zahlen einsetze?
Nein, allgemein!
> Geht
> ja nur x=y=0 was die Gleichung erfüllt und 0 [mm]\in[/mm]
> Untervektorraum
Ja, genauer gilt wegen [mm]a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)\in E[/mm] doch:
[mm]x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2=0[/mm], und das ist äquivalent zu [mm]x_1=y_1=x_2=y_2=0[/mm]
Das kannst du nutzen, um [mm](x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2=0[/mm] zu zeigen ...
> > Konkret lautet das 3. Kriterium für zB. A:
> >
> > Für alle [mm](x,y)\in A[/mm] und alle [mm]\lambda\in\IR[/mm] gilt
> > [mm]\lambda\cdot{}(x,y)\in A[/mm]
> >
> > Zu Beweis dieser Aussage nimm dir ein beliebiges [mm](x,y)\in A[/mm]
> > und ein beliebiges [mm]\lambda\in \IR[/mm] her und schaue dir
> > [mm]\lambda\cdot{}(x,y)[/mm] an:
> >
> > Zeigen musst du, dass das [mm]\in A[/mm] ist ...
>
> Ok, nehmen wir für A (x+y=0) x=-1 und y=1 und [mm]\lambda=[/mm] 2
Nein, es muss beliebig sein. Rechne mit [mm](x,y)[/mm] und [mm]\lambda[/mm] und nutze die Eigenschaft von A aus.
>
> Dann gilt [mm]\lambda*(x,y)[/mm] was 2*(-1,1)=(-2,2) ist und das ist
> im Unterraum, denn -2+2=0 erfüllt x+y=0
Humbuk, und zwar ganz großer.
Ich mache mal A vor:
Sei [mm](x,y)\in A[/mm] und [mm]%5Clambda%5Cin%5CIR[/mm]
Dann gilt wegen [mm](x,y)\in A[/mm] doch: [mm]x+y=0[/mm]
Nun ist [mm]\lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda y)[/mm]
Nun müssen wir zeigen, dass das gefälligst in A ist, dass also [mm]\lambda x+\lambda y=0[/mm] ist
Aber das ist doch schnell ersichtlich wegen [mm]\lambda x+\lambda y=\lambda \underbrace{(x+y)}_{=0 \ \text{da} \ (x,y)\in A}[/mm]
Also [mm] $\lambda (x+y)\in [/mm] A$
>
> B) (2x-7y=0)
> Sei x=7 und y=2 und [mm]\lambda=2[/mm]
>
> Dann gilt [mm]\lambda*(x,y)[/mm] was 2*(7,2)=(14,4) ist und das ist
> im Unterraum, denn 2*14-7*4=0
>
> E) [mm](x^{2}+y^{2}=0)[/mm]
> Sei x=0 und y=0
>
> Dann gilt [mm]\lambda*(x,y)[/mm] was 2*(0,0)=(0,0) ist und das ist
> im Unterraum, denn [mm]0^{2}+0^{2}=0[/mm]
>
Das musst du allgemein rechnen, orientiere dich an der Beweisstruktur von A ...
Gruß
schachuzipus
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Für B)
B= { [mm] (x,y)=\varepsilon \IR^{2}|2x-7y=0 [/mm] }
Seien a,b [mm] \in [/mm] B, dann ist (a+b) [mm] \in [/mm] B
[mm] (a+b)=(2x_{1}-7y_{1}+2x_{2}-7y_{2})
[/mm]
Sei (x,y) [mm] \in [/mm] B und [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
Dann ist [mm] \lambda*(x,y)=\lambda*2x-\lambda*7y=\lambda*(2x-7y) \B
[/mm]
Wie beweise ich, dass (a+b) und [mm] \lambda*(x,y) \in [/mm] B sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Für B)
>
> B= { [mm](x,y)=\varepsilon \IR^{2}|2x-7y=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Seien a,b [mm]\in[/mm] B, dann ist (a+b) [mm]\in[/mm] B
>
> [mm](a+b)=(2x_{1}-7y_{1}+2x_{2}-7y_{2})[/mm]
Das ist doch Quatsch !
>
> Sei (x,y) [mm]\in[/mm] B und [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> Dann ist
> [mm]\lambda*(x,y)=\lambda*2x-\lambda*7y=\lambda*(2x-7y) \B[/mm]
>
> Wie beweise ich, dass (a+b) und [mm]\lambda*(x,y) \in[/mm] B sind?
>
>
Seien a,b [mm] \in [/mm] B . Dann ist a=(x,y) und b=(u,v) mit
2x-7y=0 und 2u-7v=0.
Weiter ist a+b=(x+u,y+v)
zeige nun:
2(x+u)-7(y+v)=0.
Dann hast Du a+b [mm] \in [/mm] B.
FRED
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> 2(x+u)-7(y+v)=0.
>
> Dann hast Du a+b [mm]\in[/mm] B.
Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn 2(x+u)=7(y+v)
Wenn x,u,y,v diese Gleichung erfüllen, ist a+b [mm] \in [/mm] B, oder?
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Hallo MatheDell,
> > 2(x+u)-7(y+v)=0.
> >
> > Dann hast Du a+b [mm]\in[/mm] B.
>
> Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn 2(x+u)=7(y+v)
Ja, aber das ist doch das gleiche wie oben.
> Wenn x,u,y,v diese Gleichung erfüllen, ist a+b [mm]\in[/mm] B,
> oder?
So hat es Fred gesagt, und so ist es...
Die Frage ist doch aber: erfüllen u,v,x,y diese Gleichung oder nicht?
Grüße
reverend
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> Hallo MatheDell,
>
> > > 2(x+u)-7(y+v)=0.
> > >
> > > Dann hast Du a+b [mm]\in[/mm] B.
> >
> > Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn
> 2(x+u)=7(y+v)
>
> Ja, aber das ist doch das gleiche wie oben.
>
> > Wenn x,u,y,v diese Gleichung erfüllen, ist a+b [mm]\in[/mm] B,
> > oder?
>
> So hat es Fred gesagt, und so ist es...
> Die Frage ist doch aber: erfüllen u,v,x,y diese Gleichung
> oder nicht?
>
> Grüße
> reverend
Laut der Voraussetzung erfüllen alle x,y,u,v des Raumes B die Gleichung 2x-7y=0=2u-7v | -(2u-7v )
Dies kann man umformen, sodass man
2x-7y-2u+7v=0 stehen hat
(=)2(x-u)-7(y-v)) und das ist [mm] \not=2(x+u)-7(y+v)
[/mm]
So richtig? Also ist ist a+b nicht in der Menge B
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Hallo nochmal,
> > Hallo MatheDell,
> >
> > > > 2(x+u)-7(y+v)=0.
> > > >
> > > > Dann hast Du a+b [mm]\in[/mm] B.
> > >
> > > Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn
> > 2(x+u)=7(y+v)
> >
> > Ja, aber das ist doch das gleiche wie oben.
> >
> > > Wenn x,u,y,v diese Gleichung erfüllen, ist a+b [mm]\in[/mm] B,
> > > oder?
> >
> > So hat es Fred gesagt, und so ist es...
> > Die Frage ist doch aber: erfüllen u,v,x,y diese
> Gleichung
> > oder nicht?
> >
> > Grüße
> > reverend
>
> Laut der Voraussetzung erfüllen alle x,y,u,v des Raumes B
> die Gleichung 2x-7y=0=2u-7v | -(2u-7v )
Das ist zwar richtig, die Umformung ist aber nicht zielführend.
Du willst doch linkerhand [mm](2x+2u)-(7y+7v)[/mm] stehen haben.
Addiere auf beiden Seiten mal [mm]2u-7v[/mm] ...
Dann hast du:
[mm]2x-7y=2u-7v \ \ \mid +2u-7v[/mm]
[mm]%5CRightarrow%202(x%2By)-7(y%2Bv)%3D2(2u-7v)%3D2%5Ccdot%7B%7D0%3D0[/mm]
> Dies kann man umformen, sodass man
> 2x-7y-2u+7v=0 stehen hat
> (=)2(x-u)-7(y-v)) und das ist [mm]\not=2(x+u)-7(y+v)[/mm]
>
> So richtig? Also ist ist a+b nicht in der Menge B
Falsch, [mm]B[/mm] ist ein Vektorraum, also sollte die Summe zweier Vektoren aus B wieder in B sein ...
Wenn du "andersherum" rechnest, wird es doch sofort deutlich - das ist doch immer derselbe Weg, ich weiß nicht, warum du das immer so kompliziert und um 3 Ecken angehst:
zz. [mm]a+b=(x+u,y+v)\in B[/mm] mit [mm]a%3D(x%2Cy)%2C%20b%3D(u%2Cv)[/mm]
Schauen wir uns das an:
[mm]2(x+u)-7(y+v)=\underbrace{(2x-7y)}_{=0, da a=(x,y)\in B}+\underbrace{(2u-7v)}_{=0, da b=(u,v)\in B}=0+0=0[/mm] - passt!
Das ist doch geradeheraus und direkt zielführend ...
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
>
> > > Hallo MatheDell,
> > >
> > > > > 2(x+u)-7(y+v)=0.
> > > > >
> > > > > Dann hast Du a+b [mm]\in[/mm] B.
> > > >
> > > > Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn
> > > 2(x+u)=7(y+v)
> > >
> > > Ja, aber das ist doch das gleiche wie oben.
> > >
> > > > Wenn x,u,y,v diese Gleichung erfüllen, ist a+b [mm]\in[/mm]
> B,
> > > > oder?
> > >
> > > So hat es Fred gesagt, und so ist es...
> > > Die Frage ist doch aber: erfüllen u,v,x,y diese
> > Gleichung
> > > oder nicht?
> > >
> > > Grüße
> > > reverend
> >
> > Laut der Voraussetzung erfüllen alle x,y,u,v des Raumes
> B
> > die Gleichung 2x-7y=0=2u-7v | -(2u-7v )
>
> Das ist zwar richtig, die Umformung ist aber nicht
> zielführend.
>
>
> Du willst doch linkerhand [mm](2x+2u)-(7y+7v)[/mm] stehen haben.
>
> Addiere auf beiden Seiten mal [mm]2u-7v[/mm] ...
>
> Dann hast du:
>
> [mm]2x-7y=2u-7v \ \ \mid +2u-7v[/mm]
>
> [mm]%5CRightarrow%202(x%2By)-7(y%2Bv)%3D2(2u-7v)%3D2%5Ccdot%7B%7D0%3D0[/mm]
>
>
> > Dies kann man umformen, sodass man
> > 2x-7y-2u+7v=0 stehen hat
> > (=)2(x-u)-7(y-v)) und das ist [mm]\not=2(x+u)-7(y+v)[/mm]
> >
> > So richtig? Also ist ist a+b nicht in der Menge B
>
> Falsch, [mm]B[/mm] ist ein Vektorraum, also sollte die Summe zweier
> Vektoren aus B wieder in B sein ...
>
>
> Wenn du "andersherum" rechnest, wird es doch sofort
> deutlich - das ist doch immer derselbe Weg, ich weiß
> nicht, warum du das immer so kompliziert und um 3 Ecken
> angehst:
>
> zz. [mm]a+b=(x+u,y+v)\in B[/mm] mit [mm]a%3D(x%2Cy)%2C%20b%3D(u%2Cv)[/mm]
>
> Schauen wir uns das an:
>
> [mm]2(x+u)-7(y+v)=\underbrace{(2x-7y)}_{=0, da a=(x,y)\in B}+\underbrace{(2u-7v)}_{=0, da b=(u,v)\in B}=0+0=0[/mm]
> - passt!
>
> Das ist doch geradeheraus und direkt zielführend ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Also muss man die Gleichung immer so umformen, dass dann die Vorrausetzung in der Gleichung steht?
Und die dritte Bedingung wäre dann so bewiesen:
Sei x [mm] \in [/mm] B und [mm] \lambda \in \IR,
[/mm]
dann ist [mm] x*\lambda \in [/mm] B, weil [mm] \lambda*\underbrace{(2x-7y)}_{=0}=0
[/mm]
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Hallo nochmal,
> > Hallo nochmal,
> >
> >
> > > > Hallo MatheDell,
> > > >
> > > > > > 2(x+u)-7(y+v)=0.
> > > > > >
> > > > > > Dann hast Du a+b [mm]\in[/mm] B.
> > > > >
> > > > > Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn
> > > > 2(x+u)=7(y+v)
> > > >
> > > > Ja, aber das ist doch das gleiche wie oben.
> > > >
> > > > > Wenn x,u,y,v diese Gleichung erfüllen, ist a+b
> [mm]\in[/mm]
> > B,
> > > > > oder?
> > > >
> > > > So hat es Fred gesagt, und so ist es...
> > > > Die Frage ist doch aber: erfüllen u,v,x,y diese
> > > Gleichung
> > > > oder nicht?
> > > >
> > > > Grüße
> > > > reverend
> > >
> > > Laut der Voraussetzung erfüllen alle x,y,u,v des
> Raumes
> > B
> > > die Gleichung 2x-7y=0=2u-7v | -(2u-7v )
> >
> > Das ist zwar richtig, die Umformung ist aber nicht
> > zielführend.
> >
> >
> > Du willst doch linkerhand [mm](2x+2u)-(7y+7v)[/mm] stehen haben.
> >
> > Addiere auf beiden Seiten mal [mm]2u-7v[/mm] ...
> >
> > Dann hast du:
> >
> > [mm]2x-7y=2u-7v \ \ \mid +2u-7v[/mm]
> >
> >
> [mm]%2525255CRightarrow%252525202(x%2525252By)-7(y%2525252Bv)%2525253D2(2u-7v)%2525253D2%2525255Ccdot%2525257B%2525257D0%2525253D0[/mm]
> >
> >
> > > Dies kann man umformen, sodass man
> > > 2x-7y-2u+7v=0 stehen hat
> > > (=)2(x-u)-7(y-v)) und das ist [mm]\not=2(x+u)-7(y+v)[/mm]
> > >
> > > So richtig? Also ist ist a+b nicht in der Menge B
> >
> > Falsch, [mm]B[/mm] ist ein Vektorraum, also sollte die Summe zweier
> > Vektoren aus B wieder in B sein ...
> >
> >
> > Wenn du "andersherum" rechnest, wird es doch sofort
> > deutlich - das ist doch immer derselbe Weg, ich weiß
> > nicht, warum du das immer so kompliziert und um 3 Ecken
> > angehst:
> >
> > zz. [mm]a+b=(x+u,y+v)\in B[/mm] mit [mm]a%2525253D(x%2525252Cy)%2525252C%25252520b%2525253D(u%2525252Cv)[/mm]
> >
> > Schauen wir uns das an:
> >
> > [mm]2(x+u)-7(y+v)=\underbrace{(2x-7y)}_{=0, da a=(x,y)\in B}+\underbrace{(2u-7v)}_{=0, da b=(u,v)\in B}=0+0=0[/mm]
> > - passt!
> >
> > Das ist doch geradeheraus und direkt zielführend ...
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
>
> Also muss man die Gleichung immer so umformen, dass dann
> die Vorrausetzung
Voraussetzung mit einem "r" !!
> in der Gleichung steht?
Du musst nicht, aber du musst ja irgendwas ausnutzen. Außer der Bedingung an die Elemente, die dir [mm]B[/mm] liefert, hast du ja nix, was du verwenden könntest.
Aber darauf läuft es eigentlich immer hinaus ...
> Und die dritte Bedingung wäre dann so bewiesen:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] B und [mm]\lambda \in \IR,[/mm]
> dann ist zu zeigen: [mm]x*\lambda \in[/mm] B,
Wie habt ihr denn die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar definiert?
Ich kenne das aus der Vektorraumdefinition nur als Multiplikation von links, also [mm] $\lambda\cdot{}x$
[/mm]
> Das ist so, weil [mm]\lambda*\underbrace{(2x-7y)}_{=0}=0[/mm]
Ganz genau! Da solltest du aber den ein oder anderen Rechenschritt dazwischenklemmen.
Aber so wirklich schwer ist das nicht, oder?
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
>
> > > Hallo nochmal,
> > >
> > >
> > > > > Hallo MatheDell,
> > > > >
> > > > > > > 2(x+u)-7(y+v)=0.
> > > > > > >
> > > > > > > Dann hast Du a+b [mm]\in[/mm] B.
> > > > > >
> > > > > > Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn
> > > > > 2(x+u)=7(y+v)
> > > > >
> > > > > Ja, aber das ist doch das gleiche wie oben.
> > > > >
> > > > > > Wenn x,u,y,v diese Gleichung erfüllen, ist a+b
> > [mm]\in[/mm]
> > > B,
> > > > > > oder?
> > > > >
> > > > > So hat es Fred gesagt, und so ist es...
> > > > > Die Frage ist doch aber: erfüllen u,v,x,y diese
> > > > Gleichung
> > > > > oder nicht?
> > > > >
> > > > > Grüße
> > > > > reverend
> > > >
> > > > Laut der Voraussetzung erfüllen alle x,y,u,v des
> > Raumes
> > > B
> > > > die Gleichung 2x-7y=0=2u-7v | -(2u-7v )
> > >
> > > Das ist zwar richtig, die Umformung ist aber nicht
> > > zielführend.
> > >
> > >
> > > Du willst doch linkerhand [mm](2x+2u)-(7y+7v)[/mm] stehen
> haben.
> > >
> > > Addiere auf beiden Seiten mal [mm]2u-7v[/mm] ...
> > >
> > > Dann hast du:
> > >
> > > [mm]2x-7y=2u-7v \ \ \mid +2u-7v[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]%2525255CRightarrow%252525202(x%2525252By)-7(y%2525252Bv)%2525253D2(2u-7v)%2525253D2%2525255Ccdot%2525257B%2525257D0%2525253D0[/mm]
> > >
> > >
> > > > Dies kann man umformen, sodass man
> > > > 2x-7y-2u+7v=0 stehen hat
> > > > (=)2(x-u)-7(y-v)) und das ist [mm]\not=2(x+u)-7(y+v)[/mm]
> > > >
> > > > So richtig? Also ist ist a+b nicht in der Menge B
> > >
> > > Falsch, [mm]B[/mm] ist ein Vektorraum, also sollte die Summe
> zweier
> > > Vektoren aus B wieder in B sein ...
> > >
> > >
> > > Wenn du "andersherum" rechnest, wird es doch sofort
> > > deutlich - das ist doch immer derselbe Weg, ich weiß
> > > nicht, warum du das immer so kompliziert und um 3
> Ecken
> > > angehst:
> > >
> > > zz. [mm]a+b=(x+u,y+v)\in B[/mm] mit
> [mm]a%2525253D(x%2525252Cy)%2525252C%25252520b%2525253D(u%2525252Cv)[/mm]
> > >
> > > Schauen wir uns das an:
> > >
> > > [mm]2(x+u)-7(y+v)=\underbrace{(2x-7y)}_{=0, da a=(x,y)\in B}+\underbrace{(2u-7v)}_{=0, da b=(u,v)\in B}=0+0=0[/mm]
>
> > > - passt!
> > >
> > > Das ist doch geradeheraus und direkt zielführend ...
> > >
> > > Gruß
> > >
> > > schachuzipus
> >
> > Also muss man die Gleichung immer so umformen, dass
> dann
> > die Vorrausetzung
>
> Voraussetzung mit einem "r" !!
>
> > in der Gleichung steht?
>
> Du musst nicht, aber du musst ja irgendwas ausnutzen.
> Außer der Bedingung an die Elemente, die dir [mm]B[/mm] liefert,
> hast du ja nix, was du verwenden könntest.
>
> Aber darauf läuft es eigentlich immer hinaus ...
>
> > Und die dritte Bedingung wäre dann so bewiesen:
> >
> > Sei x [mm]\in[/mm] B und [mm]\lambda \in \IR,[/mm]
> > dann ist zu zeigen:
> [mm]x*\lambda \in[/mm] B,
>
> Wie habt ihr denn die Multiplikation eines Vektors mit
> einem Skalar definiert?
>
> Ich kenne das aus der Vektorraumdefinition nur als
> Multiplikation von links, also [mm]\lambda\cdot{}x[/mm]
Ich dachte die Anordnung spielt nur bei Matrizen eine Rolle.
>
> > Das ist so, weil [mm]\lambda*\underbrace{(2x-7y)}_{=0}=0[/mm]
>
> Ganz genau! Da solltest du aber den ein oder anderen
> Rechenschritt dazwischenklemmen.
Gibt doch nur einen, der wäre: [mm] \lambda*\underbrace{(2x-7y)}_{=0}=\underbrace{(\lambda*2x-\lambda*7y)}_{=0}=0
[/mm]
>
> Aber so wirklich schwer ist das nicht, oder?
Für mich schon, wahrscheinlich implizierst du mit deiner Frage, dass noch sehr viel schwierigere Themen kommen werden.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
|
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Hallo nochmal,
meinen Hinweis mit dem vernünftigen Zitieren ignorierst du ja konsequent ...
Toll!
> > > Sei x [mm]\in[/mm] B und [mm]\lambda \in \IR,[/mm]
> > > dann ist zu
> [color=red]zeigen:[/color]
> > [mm]x*\lambda \in[/mm] B,
> >
> > Wie habt ihr denn die Multiplikation eines Vektors mit
> > einem Skalar definiert?
> >
> > Ich kenne das aus der Vektorraumdefinition nur als
> > Multiplikation von links, also [mm]\lambda\cdot{}x[/mm]
> Ich dachte die Anordnung spielt nur bei Matrizen eine
> Rolle.
Soso, Definitionen sind nicht deine Sache?!
Im Zweifel halte dich an die gegebene Definition, wenn dich dein Gefühl so trügt ...
> >
> > > Das ist so, weil [mm]\lambda*\underbrace{(2x-7y)}_{=0}=0[/mm]
> >
> > Ganz genau! Da solltest du aber den ein oder anderen
> > Rechenschritt dazwischenklemmen.
>
> Gibt doch nur einen, der wäre:
> [mm]\lambda*\underbrace{(2x-7y)}_{=0}=\underbrace{(\lambda*2x-\lambda*7y)}_{=0}=0[/mm]
Du fuddelst immer so rum. Ganz ohne Struktur.
Damit bekommst du weder für eine Übung noch für eine Klausur Punkte - allenfalls 0,5/4
Sei [mm] $(x,y)\in [/mm] B$ und [mm] $lambda\in\IR$ [/mm] beliebig.
Dann ist zu zeigen, dass auch [mm] $\lambda\cdot{}(x,y)\in [/mm] B$ ist.
Schreibe den Nachweis mal ganz strukturiert auf!
> >
> > Aber so wirklich schwer ist das nicht, oder?
>
> Für mich schon, wahrscheinlich implizierst du mit deiner
> Frage, dass noch sehr viel schwierigere Themen kommen
> werden.
Das ist in der Tat anzunehmen ...
Gruß
schachuzipus
>
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