R als Q-Vektorraum < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Do 10.11.2005 | | Autor: | ttgirltt |
Die Aufgabe ist betrachten sie [mm] \IR [/mm] als [mm] \IQ [/mm] Vektorraum. Zeigen Sie, dass die reelen Zahlen 1, [mm] \wurzel{3} [/mm] , [mm] \wurzel{11} [/mm] linear unabhängig sind. Man darf verwenden das diese irrational sind.
So also was hat es für einen Sinn [mm] \IR [/mm] als [mm] \IQ [/mm] Vektorraum zu betrachten da würden bei [mm] \IQ [/mm] doch [mm] \wurzel{3} [/mm] , [mm] \wurzel{11} [/mm] rausfallen. Oder??
Naja und linear unabhängig zeigen nehm ich
[mm] \lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \in \IQ [/mm]
[mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} \wurzel{3} [/mm] + [mm] \lambda_{3} \wurzel{11} [/mm] =0
So und nun??? 1 [mm] \wurzel{3} [/mm] , [mm] \wurzel{11} [/mm] sind doch keine Vektoren,
Kann mir jemand helfen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Doch!! Die genannten reellen Zahlen sind Vektoren!! Schließlich betrachten wir [mm] $\IR$ [/mm] als Vektorraum über dem Körper [mm] $\IQ$ [/mm] (wobei die skalare Multiplikation einfach die auf [mm] $\IQ \times \IR$ [/mm] eingeschränkte Multiplikation von [mm] $\IR$ [/mm] ist).
Aus [mm] $\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \sqrt{3} [/mm] + [mm] \lambda_3 \sqrt{11}$
[/mm]
folgt:
$ [mm] \IQ \ni \lambda_1 [/mm] = - [mm] \lambda_2 \sqrt{3} [/mm] - [mm] \lamdba_3 \sqrt{11}$.
[/mm]
Nun ist aber das Produkt einer von $0$ verschiedenen rationalen Zahl mit einer irrationalen Zahl wieder irrational und die Summe zweier irrationaler Zahlen wieder irrational (wenn sie sich nicht gerade auslöschen).
Daher kann nur im Falle [mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3=0$
[/mm]
$- [mm] \lambda_2 \sqrt{3} [/mm] - [mm] \lamdba_3 \sqrt{11} \in \IQ$
[/mm]
gelten. Daraus folgt dann aber unmittelbar auch [mm] $\lamdba_1=0$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Do 10.11.2005 | | Autor: | ttgirltt |
Also sind sie linear unabhängig wenn =0 versteh ich das richtig
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
Und [mm] \IQ [/mm] als Vektorraum wenn ich mir das grafisch vorstelle sind das aber doch nur Punkte auf der x-Achse oder??
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Hi, ttgirltt,
> Also sind sie linear unabhängig wenn =0 versteh ich das
> richtig
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] = 0
Ja! Wenn alle Konstanten =0 sind! So lautet die Definition der linearen Unabhängigkeit!
> Und [mm]\IQ[/mm] als Vektorraum wenn ich mir das grafisch
> vorstelle sind das aber doch nur Punkte auf der x-Achse
> oder??
Also:
Erstens: Nicht [mm] \IQ [/mm] ist der Vektorraum, den Du betrachten sollst, sondern [mm] \IR. [/mm] Aus [mm] \IQ [/mm] stammen lediglich die Skalare, mit denen Du die "Vektoren" multiplizieren sollst!
Schau mal die Definition des Begriffes "Vektorraum" an:
Da brauchst Du ZWEI Mengen: eine Menge von "Dingen", die Du als "Vektoren" bezeichnest und einen Körper, aus dem die Zahlen stammen, mit denen Du die Vektoren multiplizierst.
Beides musst Du unterscheiden!
Zweitens: Mit der graphischen Darstellung der "Vektoren" wirst Du Dir hier schwer tun! Dazu müsstest Du ja erst mal eine "Basis" haben, mit deren Hilfe Du zu einem Koordinatensystem kommst.
Im Vektorraum der 2-Tupel (Anschaulich gesagt: Das, was man sich normalerweise unter "2-dimensionalen" Vektoren vorstellt),
wählt man als Basis meist [mm] \vec{e_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{e_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
und kann die Vektoren dann in einem x/y-Koordinatensystem eintragen.
Bloß: Wieviele Vektoren hat denn die Basis des von Dir betrachteten Vektorraums, wenn schon 2 irrationale Wurzeln linear unabhängig sind? Logisch weitergedacht sind dann ja immer beliebig viele verschiedene irrationale Wurzeln linear unabhängig. Und dann gibt's ja auch noch unendlich viele weitere irrationale Zahlen, wie z.B. "e" oder [mm] \pi, [/mm] ...!
Also: Das Koordinatensystem, in das Du diese Vektoren eintragen könntest, muss wohl noch "geboren" werden.
Dein "Vektorraum" ist ein rein rechnerisches Gebilde!
mfG!
Zwerglein
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