R als Q-vektorraum... < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 So 20.11.2005 | | Autor: | bibi82 |
Hallo!
Ich komme mit dieser Aufgabe von dem Übungsblatt einfach nicht klar! In der Vorlesung haben wir nichts darüber gemacht und mit dem Buch was uns unser professor empfohlen hat, kommt man auch nicht weiter...
Ich habe bisher immer nur die lineare unabhängigkeit von vektoren gezeigt...
wär klasse, wenn mir jemand helfen könnte!
HIer die Aufgabe:
Betrachten Sie R als Q-Vektorraum und zeigen sie: [mm]\wurzel{2}[/mm], [mm]\wurzel{3}[/mm], [mm]\wurzel{5}[/mm] sind linear unabhängig.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
aber Zahlen sind doch auch Vektoren...!
Nimm sie dir einfach als Vektoren mit 1 Zeile und 1 Spalte.
Dann kommst du auch zum Ziel. Wichtig ist hierbei, dass es sich um einen [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] handelt. Im [mm] \IR-VR [/mm] wäre die Sache anders.
Du musst einfach die Definition benutzen und einsetzen.
VG Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 So 20.11.2005 | | Autor: | bibi82 |
Danke für deine Antwort!
Aber du hälst mich jetzt bestimmt für besonders dumm, aber leider hab ich den zweiten teil deiner Antwort nicht verstanden. Ok, es ist klar, dass ich die zahlen auch als vektoren betrachten kann, aber was genau ist zu beachten, wenn ich statt einem R-vektorraum auf einmal einen Q-Vektorraum betrachte?
In der vorlesung redet er als nur K-Vektorräumen. Bei beweisen schreibt er teilweise nur "klar" hin und geht gar nicht weiter drauf ein. Zu hause sitzt du dann da und weißt überhaupt nicht weiter...Mich berühigt immer nur, dass ich nicht die einzigste bin, der das so geht, denn egal wen ich frage, es kann mir keiner weiterhelfen.
kannst du mir vielleicht auch noch einen Buchtip zum Thema geben? Wie gesagt, mit hilfe der Vorlesung und seinem emphfohlenen Buch kommt man nicht weiter...
Wär echt klasse, wenn du mir nochmal weiterhelfen könntest!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:35 So 20.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo bibi,
Lass dich nicht ins Boxhorn jagen. Wie Daniel schon sagte, ist es wirklich nicht wesentlich anders als bei deinen sonstigen Rechnungen.
[mm] \Q [/mm] - Vektorraum heißt, dass die Skalare, mit denen du deine Vektoren multiplizierst, rationale Zahlen sind.
Also:
[mm] r\ \wurzel{2} + s\ \wurzel{3} + t\ \wurzel{5} = 0 [/mm]
Jetzt steht auf der rechten Seite 0, also eine rationale Zahl. Andererseits gilt, dass das Produkt aus einer von 0 verschiedenen rationalen und einer irrationalen Zahl stets irrational ist. Außerdem ist die Summe zweier irrationaler Zahlen stets irrational. Wenn also
[mm] r \not= 0 \vee s \not= 0 \vee t\not= 0 [/mm] ,
dann stände auf der linken Seite eine irrationale Zahl, die nicht gleich 0 sein könnte.
Also folgt
[mm] r = s = t = 0 [/mm]
und damit sind deine Vektoren linear unabhängig. Du siehst auch, wie Daniel ja schon geschrieben, dass die Argumentation nur funktioniert, weil du einen [mm] \Q [/mm] - Vektorraum und keinen [mm] \IR [/mm] - Vektorraum hast.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 So 20.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Jetzt steht auf der rechten Seite 0, also eine rationale
> Zahl. Andererseits gilt, dass das Produkt aus einer von 0
> verschiedenen rationalen und einer irrationalen Zahl stets
> irrational ist.
Ja.
> Außerdem ist die Summe zweier irrationaler
> Zahlen stets irrational.
Grober Unfug! Was ist mit [m]\sqrt{2}[/m] und [m]2-\sqrt{2}[/m]? Die sind beide irrational, deren summe aber rational.
> Wenn also
> [mm]r \not= 0 \vee s \not= 0 \vee t\not= 0[/mm] ,
> dann stände auf der linken Seite eine irrationale Zahl, die
> nicht gleich 0 sein könnte.
Das muss man anders machen! Erst mal die Gleichung mit eienr der Wurzeln multiplizieren, dann den neu entstehenden rationalen Teil nach rechts schaufeln und dann quadrieren.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 So 20.11.2005 | | Autor: | bibi82 |
Ich danke euch allen, denn jetzt hab ich schon mal eine Vorstellung, wie ich hier weiterkomme!
wünsche allen noch einen schönen abend
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