R ist eine Äquivalenzrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei R [mm] \subseteq [/mm] (ZxZ) x (ZxZ) definiert durch:
(x1,x2) R (y1,y2) genau dann wenn x1+y2 = x2+y1
Zeigen Sie: R ist eine Äquivalenzrelation. |
Hallo Matheraum,
dies ist meine erste Frage in diesem Forum.
Mich beschäftigt obige Aufgabe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ist mein Ansatz einigermaßen Ok oder mache ich hier einen Denkfehler?
Im Voraus vielen Dank!
1. Ist reflexiv, da wenn x1=x2=x und y1=y2=y [mm] \to [/mm] x+y = x+y
2. Ist symmetrisch, denn
(x1,x2)R(y1,y2): x1+y2 = x2+y1 [mm] \gdw [/mm] x1-x2=y1-y2
(y1,y2)R(x1,x2): y1+x2 = y2+x1 [mm] \gdw [/mm] x1-x2=y1-y2
3. Ist transitiv, denn
(x1,x2)R(y1,y2): x1+y2 = x2+y1 [mm] \gdw [/mm] x1-x2=y1-y2 (1)
(y1,y2)R(z1,z2): y1+z2 = y2+z1 [mm] \gdw [/mm] y1-y2=z1-z2 (2)
(x1,x2)R(z1,z2): x1+z2 = x2+z1 [mm] \gdw [/mm] x1-x2=z1-z2 (3)
jetzt kann aufgrund von (2) (z1-z2) ersetzt werden durch (y1-y2)
dann folgt:
x1-x2 = y1-y2 (4)
Da (4) = (1) ist damit transistiv begründet.
Gerade bei dieser Begründung bin ich mir aber unsicher.
Kann transitiv so begründet werden?
Viele Grüße und vielen Dank,
BugCrasher
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> Sei R [mm]\subseteq[/mm] (ZxZ) x (ZxZ) definiert durch:
> (x1,x2) R (y1,y2) genau dann wenn x1+y2 = x2+y1
>
> Zeigen Sie: R ist eine Äquivalenzrelation.
> Hallo Matheraum,
>
> dies ist meine erste Frage in diesem Forum.
>
> Mich beschäftigt obige Aufgabe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ist mein Ansatz einigermaßen Ok oder mache ich hier einen
> Denkfehler?
> Im Voraus vielen Dank!
>
> 1. Ist reflexiv, da wenn x1=x2=x und y1=y2=y [mm]\to[/mm] x+y = x+y
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Begründung für die Reflexivität stimmt nicht.
Du mußt hier zeigen, daß [mm] (x_1, x_2)R(x_1, x_2) [/mm] richtig ist für alle [mm] x:=(x_1, x_2)\in \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] .
> 2. Ist symmetrisch, denn
> (x1,x2)R(y1,y2): x1+y2 = x2+y1 [mm]\gdw[/mm] x1-x2=y1-y2
> (y1,y2)R(x1,x2): y1+x2 = y2+x1 [mm]\gdw[/mm] x1-x2=y1-y2
Ja, so kannst Du es machen. Aufs Subtrahieren könntest Du auch verzichten, indem Du verwendest, daß man beim Addieren die Elemente vertauschen kann.
>
> 3. Ist transitiv, denn
> (x1,x2)R(y1,y2): x1+y2 = x2+y1 [mm]\gdw[/mm] x1-x2=y1-y2 (1)
> (y1,y2)R(z1,z2): y1+z2 = y2+z1 [mm]\gdw[/mm] y1-y2=z1-z2 (2)
>
> (x1,x2)R(z1,z2): x1+z2 = x2+z1 [mm]\gdw[/mm] x1-x2=z1-z2 (3)
> jetzt kann aufgrund von (2) (z1-z2) ersetzt werden durch
> (y1-y2)
> dann folgt:
> x1-x2 = y1-y2
Hallo, das ist nichts neues, daß weiß man ja schon
Aber aus [mm] x_1-x_2=y_1-y_2 [/mm] und [mm] y_1-y_2=z_1-z_2 [/mm] erhält man [mm] x_1-x_2=z_1-z_2
[/mm]
und somit [mm] x_1+z_2=z_1+x_2 [/mm] , woraus folgt ????
Gruß v. Angela
(4)
>
> Da (4) = (1) ist damit transistiv begründet.
>
> Gerade bei dieser Begründung bin ich mir aber unsicher.
> Kann transitiv so begründet werden?
>
> Viele Grüße und vielen Dank,
> BugCrasher
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Hallo Angela,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe.
Jetzt bin ich doch etwas verwirrt.
Ich versuche es aber nochmal.
Hoffentlich hast Du noch etwas Geduld mit mir...
1. Beweis der Reflexivität:
Wenn ich das richtig verstehe, muss ich y1 durch x1 und y2 durch x2 ersetzen, dann folgt:
x1 + x2 = x2 + x1
Da rechts und links x1 + x2 steht, ist die Gleichung erfüllt und damit die Reflexivität bewiesen.
Kann man dies so machen?
2. Beweis der Transitivität
Ich befürchte, dies habe ich noch nicht verstanden.
[0] x1 + y2 = x2 + y1 (Aufgabenstellung)
[1] x1 - x2 = y1 - y2 (Relation x und y)
[2] y1 - y2 = z1 - z2 (Relation y und z)
Aus (1) und (2) folgt
[3] x1 - x2 = z1 - z2
Und daraus folgt
[4] x1 + z2 = z1 + x2
Bis hierhin ist alles klar 
Wenn man jetzt in [0] y1 durch z1 und y2 durch z2 ersetzt, bekommt man auch [4]
Ist dies als Beweis ausreichend?
Alternativ könnte man auch so argumentieren:
1. wenn x1 - x2 gleich y1 - y2 ist, und
2. z1 - z2 auch gleich y1 - y2 ist, dann muss auch
3. x1 - x2 gleich z1 - z2 sein, und dann ist damit auch die Eigenschaft transitiv bewiesen.??
Vielen Dank im Voraus,
Viele Grüße,
BugCrasher
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Hallo,
zunächst nochmal zur definition deiner Äquivalenzrelation.
Die Elemente, die Hier betrachtet werden, sind Zahlenpaare. Das ist am Anfang etwas verwirrend.
Wie ist nun die Relation R definiert? So:
Zwei Zahlenpaare sind gleich, wenn jeweils die Summe aus der ersten Komponente des einen und der zweiten des anderen Zahlenpaares übereinstimmt.
Es sind z.B. (7, -3) und (23 , 13) äquivalent, denn es ist 7+13= -3 + 23.
Soviel vorweg.
Beispielsweise sind
> 1. Beweis der Reflexivität:
>
> Wenn ich das richtig verstehe, muss ich y1 durch x1 und y2
> durch x2 ersetzen,
Hier geht es ja darum, daß jedes Element zu sich selbst in relation steht.
Also ist zu zeigen: Für alle [mm] x:=(x_1, x_2)\in \\IZ x\IZ [/mm] gilt: [mm] :(x_1, x_2)R:(x_1, x_2)
[/mm]
Nun prüfen wir das:
Sei [mm] (x_1, x_2)\in \\IZ x\IZ.
[/mm]
> dann folgt:
>
> x1 + x2 = x2 + x1
>
> Da rechts und links x1 + x2 steht, ist die Gleichung
> erfüllt ,
also ist
[mm] (x_1, x_2)R(x_1, x_2),
[/mm]
> und damit die Reflexivität bewiesen.
>
> Kann man dies so machen?
ja.
>
>
>
> 2. Beweis der Transitivität
>
> Ich befürchte, dies habe ich noch nicht verstanden.
>
> [0] x1 + y2 = x2 + y1 (Aufgabenstellung)
Ich weiß nicht recht, was Du mit Aufgabenstllung meinst. Vielleicht die Definition?
R ist wie folgt definiert :
Seien [mm] (x_1, x_2), (y_1, y_2) \in \\IZ x\IZ
[/mm]
[mm] (x_1, x_2)R(y_1, y_2) [/mm] :<==> [mm] x_1+y_2=x_2+y_1.
[/mm]
Du möchtest nun die Transitivität zeigen.
Seien [mm] (x_1, x_2), (y_1, y_2),(z_1, z_2) \in \\IZ x\IZ [/mm] mit [mm] (x_1, x_2)R(y_1, y_2) [/mm] und [mm] (y_1, y_2)R(z_1, z_2)
[/mm]
Es folgt:
> [1] x1 - x2 = y1 - y2 (Relation x und y)
> [2] y1 - y2 = z1 - z2 (Relation y und z)
>
> Aus (1) und (2) folgt
>
> [3] x1 - x2 = z1 - z2
>
> Und daraus folgt
>
> [4] x1 + z2 = z1 + x2
>
> Bis hierhin ist alles klar
Gut.
Und nun kommt die Definition von R zum Zuge.
Du hast hier wieder: erste Komponente des einen + zweiten Komponente des anderen stimmen jeweils überein,
also stehen die beiden Zahlenpaare x und z in Relation.
Schreiben kannst Du einfach
<==> [mm] (x_1, x_2)R(z_1, z_2).
[/mm]
> Wenn man jetzt in [0] y1 durch z1 und y2 durch z2 ersetzt,
> bekommt man auch [4]
Das ist der Beweis. ich habe oben ja versucht, die Relation mal in Worte zu fassen. man muß gar nicht so an [mm] x_1, y_2 [/mm] usw. denken, als eher daran, was man tut.
Mach Dir doch mal ein paar konkrete Zahlenpaare, die in Relation zueinander stehen, ich glaube, daß Du die Sache mit der Relation dann besser verstehst.
>
> Ist dies als Beweis ausreichend?
>
> Alternativ könnte man auch so argumentieren:
>
> 1. wenn x1 - x2 gleich y1 - y2 ist, und
> 2. z1 - z2 auch gleich y1 - y2 ist, dann muss auch
> 3. x1 - x2 gleich z1 - z2 sein, und dann ist damit auch
> die Eigenschaft transitiv bewiesen.??
Du mußt unbedingt noch den Bogen zur Def. der Relation schlagen, aber der weg ist richtig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 So 15.03.2009 | | Autor: | BugCrasher |
Hallo Angela,
ich glaube jetzt hab ich es endlich verstanden.
Vielen Dank für Deine Hilfe - Du hast mit den Sonntag gerettet
Viele Grüße,
BugCrasher
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Cannae |
| Aufgabe | 2. Ist symmetrisch, denn
(x1,x2)R(y1,y2): x1+y2 = x2+y1 $ [mm] \gdw [/mm] $ x1-x2=y1-y2
(y1,y2)R(x1,x2): y1+x2 = y2+x1 $ [mm] \gdw [/mm] $ x1-x2=y1-y2
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Ist die Symmetrie nicht schon durch Aufstellen der Gleichungen:
(x1,x2)R(y1,y2): x1+y2 = x2+y1
(y1,y2)R(x1,x2): y1+x2 = y2+x1
bewiesen? Warum nochmal die Subtraktion, so wäre die Bedingung doch nicht erfüllt?
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> 2. Ist symmetrisch, denn
> (x1,x2)R(y1,y2): x1+y2 = x2+y1 [mm]\gdw[/mm] x1-x2=y1-y2
> (y1,y2)R(x1,x2): y1+x2 = y2+x1 [mm]\gdw[/mm] x1-x2=y1-y2
>
> Ist die Symmetrie nicht schon durch Aufstellen der
> Gleichungen:
> (x1,x2)R(y1,y2): x1+y2 = x2+y1
> (y1,y2)R(x1,x2): y1+x2 = y2+x1
>
> bewiesen?
Hallo,
man würde hier dann noch erwähnen, daß man bei der Addition vertauschen kann, und damit hat man's.
Subtrahierne muß man hier nicht, wie ich auch zuvor schon schrieb.
Gruß v. Angela
Warum nochmal die Subtraktion, so wäre die
> Bedingung doch nicht erfüllt?
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