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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Radikal Ideale
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Radikal Ideale: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 So 17.03.2013
Autor: Pauli85

Aufgabe
[mm] I:= \subset \IC. [/mm] Bestimme [mm] \wurzel{I}. [/mm]

Hallo,
ich möchte das Radikal von I bestimmen. Allgemein kenne ich diese Definition eines Ideals:
Sei A [mm] \subset [/mm] R, wobei R ein Ring ist. Das von A erzeugte Ideal <A> besteht aus allen endlichen Summen [mm] r_{1}*f_{1}+...+r_{s}*f_{s}, [/mm] wobei [mm] r_{i} \in [/mm] R und [mm] f_{i} \in [/mm] A. Also: [mm] ==\{r_{1}*f_{1}+...+r_{s}*f_{s} | r_{i} \in R\}. [/mm]
Die Definition des Radikals:
[mm] \wurzel{I} [/mm] := [mm] \{f \in R | \exists n \in \IN: f^n \in I\}. [/mm]

Nun sagte man mir, dass in obiger Aufgabe gilt: [mm] \wurzel{I}=. [/mm] Doch wieso nur das x? [mm] y^n [/mm] liegt doch auch in I:
0 * [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^{-2}*y^{n-1} [/mm] * [mm] x^2*y [/mm] = [mm] y^n. [/mm]
Demnach müsste ja [mm] \wurzel{I}= [/mm] gelten.

Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt? Offensichtlich verstehe ich hier irgendetwas falsch.

Grüße

        
Bezug
Radikal Ideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 So 17.03.2013
Autor: hippias


> [mm]I:= \subset \IC.[/mm] Bestimme [mm]\wurzel{I}.[/mm]
>  Hallo,
>  ich möchte das Radikal von I bestimmen. Allgemein kenne
> ich diese Definition eines Ideals:
>  Sei A [mm]\subset[/mm] R, wobei R ein Ring ist. Das von A erzeugte
> Ideal <A> besteht aus allen endlichen Summen
> [mm]r_{1}*f_{1}+...+r_{s}*f_{s},[/mm] wobei [mm]r_{i} \in[/mm] R und [mm]f_{i} \in[/mm]
> A. Also:
> [mm]==\{r_{1}*f_{1}+...+r_{s}*f_{s} | r_{i} \in R\}.[/mm]
>  
> Die Definition des Radikals:
>  [mm]\wurzel{I}[/mm] := [mm]\{f \in R | \exists n \in \IN: f^n \in I\}.[/mm]
>  
> Nun sagte man mir, dass in obiger Aufgabe gilt:
> [mm]\wurzel{I}=.[/mm] Doch wieso nur das x? [mm]y^n[/mm] liegt doch auch
> in I:
>  0 * [mm]x^3[/mm] + [mm]x^{-2}*y^{n-1}[/mm] * [mm]x^2*y[/mm] = [mm]y^n.[/mm]
> Demnach müsste ja [mm]\wurzel{I}=[/mm] gelten.
>  
> Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt? Offensichtlich
> verstehe ich hier irgendetwas falsch.

In der Tat: Du hast die Aufgabe nicht richtig wiedergegeben, denn das Ideal wird sicher in dem Polynomring [mm] $\IC[x,y]$ [/mm] betrachtet und nicht in dem Koerper [mm] $\IC$. [/mm] In dem Ring existiert [mm] $x^{-2}$ [/mm] nicht.
>  
> Grüße
>  

Bezug
                
Bezug
Radikal Ideale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 So 17.03.2013
Autor: Pauli85

Hallo,
du hast natürlich Recht, da habe ich einen Fehler beim tippen gemacht, es muss natürlich [mm] \IC[x,y] [/mm] heißen.
Und auch an das nicht existieren der multiplikativen Inversen habe ich nicht gedacht! Danke!

Kannst du mir dann noch kurz erläutern, wie man aus [mm] [/mm] das Element [mm] x^2 [/mm] erzeugt? Allgemein muss ja [mm] x^n [/mm] in I liegen (für alle n), da <x> das Radikal ist. Für [mm] x^s [/mm] mit s >= 3 sehe ich das noch, da ich dann ja immer [mm] x^k [/mm] * [mm] x^3 [/mm] rechnen kann mit k = s-3.
Aber wie komme ich dann ohne Inverse auf [mm] x^2? [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Radikal Ideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 So 17.03.2013
Autor: hippias


> Hallo,
>  du hast natürlich Recht, da habe ich einen Fehler beim
> tippen gemacht, es muss natürlich [mm]\IC[x,y][/mm] heißen.
>  Und auch an das nicht existieren der multiplikativen
> Inversen habe ich nicht gedacht! Danke!
>  
> Kannst du mir dann noch kurz erläutern, wie man aus
> [mm][/mm] das Element [mm]x^2[/mm] erzeugt? Allgemein muss ja [mm]x^n[/mm]
> in I liegen (für alle n),

Nein, das ist nicht die Definition des Radikals.
> da <x> das Radikal ist. Für [mm]x^s[/mm]
> mit s >= 3 sehe ich das noch, da ich dann ja immer [mm]x^k[/mm] *
> [mm]x^3[/mm] rechnen kann mit k = s-3.
> Aber wie komme ich dann ohne Inverse auf [mm]x^2?[/mm]  

Bezug
                                
Bezug
Radikal Ideale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 So 17.03.2013
Autor: Pauli85

Ach natürlich, es muss nur ein n existieren... Da hatte ich gerade etwas verwechelt. Danke.

Bezug
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