Radikalerweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mi 04.06.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | | Ist [mm] \IQ \subset \IQ(\wurzel[3]{2},\zeta_{3}), [/mm] mit [mm] \zeta_{3} [/mm] = [mm] exp(\bruch{2\pi*i}{3}), [/mm] eine Radikalerweiterung? |
Hallo,
gehe grad nochmal das Thema Radikalerweiterungen durch und bin dabei mir Beispiele zu überlegen.
Wie wäre es hier?
Also wir haben folgende Kette: [mm] \IQ \subset \IQ(\wurzel[3]{2}) \subset \IQ(\wurzel[3]{2},\zeta)
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{2} [/mm] ist Nullstelle von [mm] x^{3}-2, [/mm] ein reines Polynom
und nun die Frage mit [mm] \zeta [/mm] : Muss das reine Polynom irreduzibel über [mm] \IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] sein? Dann wäre [mm] \zeta [/mm] Nullstelle von [mm] x^{2}+x+1 [/mm] und somit keine Radikalerweiterung. Oder ist die Irreduzibelitaet egal, dann wäre [mm] \zeta [/mm] auch Nullstelle von [mm] x^{3}-1 [/mm] und somit würde eine Radikalerweiterung vorliegen.
Was wäre denn ansonsten ein Beispiel einer Nicht-Radikalerweiterung?
LG
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Hallo,
> Ist [mm]\IQ \subset \IQ(\wurzel[3]{2},\zeta_{3}),[/mm] mit [mm]\zeta_{3}[/mm]
> = [mm]exp(\bruch{2\pi*i}{3}),[/mm] eine Radikalerweiterung?
> Hallo,
>
> gehe grad nochmal das Thema Radikalerweiterungen durch und
> bin dabei mir Beispiele zu überlegen.
>
> Wie wäre es hier?
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> Also wir haben folgende Kette: [mm]\IQ \subset \IQ(\wurzel[3]{2}) \subset \IQ(\wurzel[3]{2},\zeta)[/mm]
>
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] ist Nullstelle von [mm]x^{3}-2,[/mm] ein reines
> Polynom
Was ist ein "reines" Polynom?
> und nun die Frage mit [mm]\zeta[/mm] : Muss das reine Polynom
> irreduzibel über [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] sein? Dann wäre
> [mm]\zeta[/mm] Nullstelle von [mm]x^{2}+x+1[/mm] und somit keine
> Radikalerweiterung. Oder ist die Irreduzibelitaet egal,
> dann wäre [mm]\zeta[/mm] auch Nullstelle von [mm]x^{3}-1[/mm] und somit
> würde eine Radikalerweiterung vorliegen.
Wenn man deinem Einwand zu Ende denken würde, wären fast alle Kreisteilungskörper über [mm] $\mathbb [/mm] Q$ keine Radikalerweiterungen, was keine so gute Idee ist.
Also nein, Irreduzibiltät ist nicht nötig.
> Was wäre denn ansonsten ein Beispiel einer
> Nicht-Radikalerweiterung?
Irgendwas mit Galois-Gruppe [mm] $S_5$ [/mm] zum Beispiel.
> LG
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