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| Aufgabe | [mm] Q(\wurzel{2},\wurzel[3]{1+\wurzel{2}})/Q [/mm] ist eine Radikalerweiterung, es ist nämlich
Q [mm] \subset Q(\wurzel{2}) \subset Q(\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}),
[/mm]
wobei [mm] Q(\wurzel{2})/Q [/mm] eine einfache 2-Radikalerweiterung, und
[mm] Q(\wurzel[3]{1+\wurzel{2}})/ Q(\wurzel{2})
[/mm]
eine einfache 3-Radikalerweiterung ist. |
Hallo zusammen,
habe ein Beispiel für Radikalerweiterung gelesen, aber habe nicht ganz versanden. Nach der Definition weiß ich:
[mm] \wurzel{2} \in Q(\wurzel{2}) [/mm] und
( [mm] \wurzel{2} )^{2} \in [/mm] Q
[mm] D.h.:Q(\wurzel{2})/Q [/mm] ist einfache 2-Radikalerweiterung.
Aber wieso ist [mm] Q(\wurzel{2},\wurzel[3]{1+\wurzel{2}})/Q(\wurzel{2}) [/mm] eine einfache 3-Radikalerweiterung??
( [mm] \wurzel{2}+ \wurzel[3]{1+ \wurzel{2}} )^{3} \not\in [/mm]
[mm] Q(\wurzel{2}) [/mm] oder?!
Kann Jemand mir erklären?! Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:58 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
moin!
> [mm]Q(\wurzel{2},\wurzel[3]{1+\wurzel{2}})/Q[/mm] ist eine
> Radikalerweiterung, es ist nämlich
> Q [mm]\subset Q(\wurzel{2}) \subset Q(\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}),[/mm]
>
> wobei [mm]Q(\wurzel{2})/Q[/mm] eine einfache 2-Radikalerweiterung,
> und
> [mm]Q(\wurzel[3]{1+\wurzel{2}})/ Q(\wurzel{2})[/mm]
> eine einfache 3-Radikalerweiterung ist.
>
> Hallo zusammen,
>
> habe ein Beispiel für Radikalerweiterung gelesen, aber
> habe nicht ganz versanden. Nach der Definition weiß ich:
> [mm]\wurzel{2} \in Q(\wurzel{2})[/mm] und
> ( [mm]\wurzel{2} )^{2} \in[/mm] Q
> [mm]D.h.:Q(\wurzel{2})/Q[/mm] ist einfache 2-Radikalerweiterung.
> Aber wieso ist
> [mm]Q(\wurzel{2},\wurzel[3]{1+\wurzel{2}})/Q(\wurzel{2})[/mm] eine
> einfache 3-Radikalerweiterung??
Mit $K = [mm] \IQ(\sqrt{2})$ [/mm] ist doch [mm] $\IQ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}) [/mm] = [mm] K(\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}})$, [/mm] d.h. du musst [mm] $\bigl( \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}} \bigr)^n \in [/mm] K$ haben fuer passendes $n$ (hier: $n = 3$).
LG Felix
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> moin!
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> > [mm]Q(\wurzel{2},\wurzel[3]{1+\wurzel{2}})/Q[/mm] ist eine
> > Radikalerweiterung, es ist nämlich
> > Q [mm]\subset Q(\wurzel{2}) \subset Q(\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}),[/mm]
>
> >
> > wobei [mm]Q(\wurzel{2})/Q[/mm] eine einfache 2-Radikalerweiterung,
> > und
> > [mm]Q(\wurzel[3]{1+\wurzel{2}})/ Q(\wurzel{2})[/mm]
> > eine
> einfache 3-Radikalerweiterung ist.
> >
> > Hallo zusammen,
> >
> > habe ein Beispiel für Radikalerweiterung gelesen, aber
> > habe nicht ganz versanden. Nach der Definition weiß ich:
> > [mm]\wurzel{2} \in Q(\wurzel{2})[/mm] und
> > ( [mm]\wurzel{2} )^{2} \in[/mm] Q
> > [mm]D.h.:Q(\wurzel{2})/Q[/mm] ist einfache
> 2-Radikalerweiterung.
> > Aber wieso ist
> > [mm]Q(\wurzel{2},\wurzel[3]{1+\wurzel{2}})/Q(\wurzel{2})[/mm] eine
> > einfache 3-Radikalerweiterung??
>
> Mit [mm]K = \IQ(\sqrt{2})[/mm] ist doch [mm]\IQ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}) = K(\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}})[/mm],
> d.h. du musst [mm]\bigl( \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}} \bigr)^n \in K[/mm]
> haben fuer passendes [mm]n[/mm] (hier: [mm]n = 3[/mm]).
>
> LG Felix
> moin!!
Vielen Dank, dass du erklärt hast!! Aber ich verstehe immer noch nicht so ganz!! D.h. Wenn L/K eine Körpererweiterung ist, muss jedes Element [mm] \alpha \in [/mm] L überprüft werden, ob es ein n [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass
[mm] (\alpha)^{n} \in [/mm] K liegt. So hast du gemeint, oder?! Aber
wieso braucht das [mm] Element(\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}) [/mm] nicht zu überprüfen?! [mm] \wurzel[3]{1+\wurzel{2}} [/mm] liegt doch in [mm] Q(\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}), [/mm] oder?!
Kannst du noch kurz erklären?!
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:33 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Vielen Dank, dass du erklärt hast!! Aber ich verstehe
> immer noch nicht so ganz!! D.h. Wenn L/K eine
> Körpererweiterung ist, muss jedes Element [mm]\alpha \in[/mm] L
> überprüft werden, ob es ein n [mm]\in \IN[/mm] gibt, so dass
> [mm](\alpha)^{n} \in[/mm] K liegt.
Nein, eben nicht. Wenn das so waere, wuerde es (fast gar?) keine Radikalerweiterungen geben!
Zum Beispiel ist $(1 + [mm] \sqrt{2})^n$ [/mm] niemals in [mm] $\IQ$ [/mm] (ausser trivialerweise fuer $n = 0$), obwohl $1 + [mm] \sqrt{2} \in \IQ(\sqrt{2})$ [/mm] liegt und [mm] $\IQ(\sqrt{2}) [/mm] / [mm] \IQ$ [/mm] eine Radikalerweiterung ist!
> So hast du gemeint, oder?! Aber
> wieso braucht das [mm]Element(\wurzel[3]{1+\wurzel{2}})[/mm] nicht
> zu überprüfen?! [mm]\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}[/mm] liegt doch in
> [mm]Q(\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}),[/mm] oder?!
> Kannst du noch kurz erklären?!
Wenn du eine Erweiterung $L = [mm] K(\alpha)$ [/mm] ueber $K$ hast, musst du nur [mm] $\alpha$ [/mm] ueberpruefen. Nicht irgendwelche andere Elemente aus $L$. (Wie oben gesehen muss gar keine Potenz davon in $K$ liegen.)
Du musst nur den Erzeuger [mm] $\alpha$ [/mm] ueberpruefen. Und der ist hier [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}$.
[/mm]
LG Felix
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Moin,
habe verstanden!!! Vielen Dank nochmal, und wünsche dir ein schönes
Wochenende!! :)
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