Radizieren der imaginären Zahl < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:43 Di 14.06.2005 | | Autor: | Matze_V |
Guten Abend allerseits wünsche ich,
sitze jetzt schon eine ganze Weile an einem Problem mit imaginären Zahlen und komme einfach nicht weiter. Hab auch schon ein paar Artike im Forum zu diesem Thema gelesen, aber nicht in der konkreten Fragestellung. Also :
Eine Aufgabe lautet :
Geben sei :
[mm] \bruch{1}{ x^{4}+1} [/mm]
Gebe die Partialbruchzerlegung an.
Um dort hin zu gelangen brauche ich ja die 4 Nullstellen des Nennerpolynoms.
Also [mm] x^{4}+1=0
[/mm]
Ich Substituiere z = [mm] x^{2}
[/mm]
Bekomme [mm] z^{2}+1=0
[/mm]
Und erst mal die Lösungen
z= [mm] \wurzel{-1}= \wurzel{ i^{2}}
[/mm]
[mm] z_{1}=+i
[/mm]
[mm] z_{2}=-i
[/mm]
Durch Rücksubstitution (hab hier die Indizees einfach durchnummeriert weils ja 4 Lösungen ergeben muss bzw. sollte)
[mm] x_{1,2}^{2}=+i
[/mm]
[mm] x_{3,4}^{2}=-i
[/mm]
und daraus
[mm] x_{1}=+ \wurzel{+i}
[/mm]
[mm] x_{2}=- \wurzel{+i}
[/mm]
[mm] x_{3}=+ \wurzel{-i}
[/mm]
[mm] x_{4}=- \wurzel{-i}
[/mm]
Hier bekomme ich das Problem, dass ich mir nicht sicher bin, wie ich einen Wert bekomme, mit dem ich die Partialbruchzerlegung zuende führen kann.
Evtl. verwende ich auch nur die Formel zum Radizieren falsch, da mir das Ergebniss irgendwie Spanisch vorkommt.
So hab ich es gerechnet :
Ausgehend von :
[mm] \wurzel[n]{r}* x^{i* \bruch{ \alpha+k*2 \pi}{n}}
[/mm]
[mm] x_{1}=+ \wurzel[2]{+i}= \wurzel[2]{1}* e^{i* \bruch{0+0*2 \pi}{0}}=e^{i*0}= \wurzel[2]{1}*(cos(0)+i*sin(0))=1+i*0=1
[/mm]
[mm] x_{2}=- \wurzel[2]{+i}=- \wurzel[2]{1}* e^{i* \bruch{0+0*2 \pi}{0}}=e^{i*0}= -\wurzel[2]{1}*(cos(0)+i*sin(0))=-1-i*0=-1
[/mm]
Wenn ich die Lösung jetzt allerdings in das Nennerpolynom einsetze erhalte ich ja nie und nimmer Null. Für [mm] x_{3} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] bekomme ich über den selben Weg dieselben Ergebnisse, nur mit anderem Vorzeichen.
Für Ratschläge was ich falsch mache oder eine mögliche Lösung wäre ich echt dankbar,
Grüße Matze
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Di 14.06.2005 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Matze!
Dein Wurzelrechnungen kann ich leider nicht nachvollziehen, tut mir leid.
Richtig geht es jedenfalls so:
$\pm \sqrt{i} = \pm e^{\frac{\pi}{4}i} = \pm \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}4} \right) \right) = \pm \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \right)$
und
$\pm \sqrt{-i} = \pm e^{-\frac{\pi}{4}i} = \pm \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left(- \frac{\pi}4} \right) \right) = \pm \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i \right)$.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Di 14.06.2005 | | Autor: | Matze_V |
Vielen Dank Julius,
bin mit meiner Zerlegung weitergekommen, kann allerdings nicht nachvollziehen, wie du auf das Ergebniss kommst. Aber die Nullstellen sind es natürlich.
Wenn möglich wäre eine nähere Erläuterung echt nett.
Danke nochmal, Matze
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Hm, irgendwie habe ich die Antwort reserviert, aber kam nicht den Antwortbildschirm präsentiert und kann jetzt im Moment nicht noch eine Antwort schreiben....also auf diesem Wege:
Laut der Eulerformel gilt ja:
[mm] e^{ix}= [/mm] cos (x) + i sin (x)
für x = [mm] \pi/2 [/mm] erhalten wir damit
0 + i * 1 = i = [mm] e^{i\pi/2}
[/mm]
Damit bekommen wir:
[mm] \pm\wurzel{i}=\pm\wurzel{e^{i\pi/2}}=\pm e^{\pi/4}=\pm( cos(\pi/4)+i [/mm] sin [mm] (\pi/4)) [/mm] = [mm] \pm (\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] + [mm] i\bruch{\wurzel{2}}{2})
[/mm]
MfG
Tran
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