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| Aufgabe | Berechne die n-te Wurzel der folgenden komplexen Zahlen:
a) [mm] \wurzel[6]{-1}
[/mm]
b) [mm] \wurzel[5]{-16-16i}
[/mm]
c) [mm] \wurzel{-3+4i} [/mm] |
Kann mir jemand bei der Lösung der Aufgaben helfen? Ich habe gerade mein Physikstudium begonnen und kämpfe im Moment mit Mathe. Soweit ich verstanden habe, muss ich, um die Wurzel einer komplexen zahl zu berechnen, diese in exponentialform umschreiben. ich weiss aber nicht genau, wie das geht und was man danch machen muss.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo bluescience,
für komplexe Zahlen gibt es zwei Darstellungsmöglichkeiten, einmal mit Hilfe kartesischer Koordinaten und dann mit der Hilfe von Polarkoordinaten.
Bei kartesischen Koordinaten gilt:
$$ z = x + iyß, , $$ bei Polarkoordinaten
$$ z = r [mm] \cdot {\rm e}^{j \varphi} [/mm] = r [mm] \cdot [/mm] ( [mm] \cos \varphi [/mm] + j [mm] \sin \varphi [/mm] ) [mm] \, [/mm] . $$
Die Zusammenhänge lauten:
$$ r = [mm] \wurzel{x^2 + y^2}\, [/mm] ; [mm] \varphi [/mm] = [mm] \arctan{(\bruch{y}{x}}) \, [/mm] . $$
Für das Wurzelziehen formt man die kompexe Zahl in Polarkoordinaten um und muss nur noch berücksichtigen, dass der Winkel der Ergebnisse mehrdeutig ist.
$$ [mm] \wurzel[n]{z}=r^{\bruch{1}{n}} \cdot [/mm] ( [mm] \cos (\bruch{\varphi}{n} [/mm] + k [mm] \bruch{2 \pi}{n} [/mm] ) + j [mm] \sin (\bruch{\varphi}{n} [/mm] + k [mm] \bruch{2 \pi}{n} [/mm] ) ) $$ mit k = 0 , ..., n-1. Eine komplexe Wurzel n-ten Grades hat also n Lösungen, die auf einem Kreis mit dem Radius [mm] r^{\bruch{1}{n}} [/mm] liegen.
Viel Spaß beim Rechnen,
Infinit
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Hi Infinit,
danke für deine Hilfe.
ich habe dementsprechend folgende Lösungen erhalten:
a) [mm] z_0 [/mm] = 1 cis 0°
[mm] z_1 [/mm] = 1 cis 60°
[mm] z_2 [/mm] = 1 cis 120°
[mm] z_3 [/mm] = 1 cis 180°
[mm] z_4 [/mm] = 1 cis 240°
[mm] z_5 [/mm] = 1 cis 300°
b) [mm] z_0 [/mm] = 1,866 cis 9°
[mm] z_1 [/mm] = 1,866 cis 81°
[mm] z_2 [/mm] = 1,866 cis 153°
[mm] z_3 [/mm] = 1,855 cis 225°
[mm] z_4 [/mm] = 1,866 cis 297°
c) [mm] z_0 [/mm] = [mm] \wurzel{5} [/mm] cis 26,565°
[mm] z_1 [/mm] = [mm] \wurzel{5} [/mm] cis 206,565°
ich bin mir aber nicht sicher, ob das wirklich stimmt oder ob ich das Prinzip doch nicht richtig verstanden habe. Könntest du mir sagen, ob das ungefähr hinkommt?
darf man die Werte so angeben wenn in der Aufgabenstellung nichts weiter dazu steht, oder müssen die umgeschrieben werden (z.B. in Exponentialform)?
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Hallo bluescience!
Da ist aber so einiges im argen. Ich zeige Dir das mal am Beispiel der 1. Aufgabe mit [mm] $\wurzel[6]{-1}$ [/mm] .
Zunächst die "Vorwerte":
$$|-1| \ = \ |-1+0*j| \ = \ [mm] \wurzel{(-1)^2+0^2} [/mm] \ = \ 1$$
[mm] $$\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{-1} [/mm] \ = \ 0 \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] \varphi [/mm] \ = \ 180° \ [mm] \hat= [/mm] \ [mm] \pi$$
[/mm]
(Den Winkel auch immer anhand der Gauß'schen Zahlenebene klarmachen!).
[mm] $$\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] z^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] r^{\bruch{1}{n}}*\left[\sin\left(\bruch{\varphi+k*360°}{n}\right)+j*\cos\left(\bruch{\varphi+k*360°}{n}\right)\right]$$
[/mm]
[mm] $$z_0 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[6]{1}*\left[\sin\left(\bruch{180°+0*360°}{6}\right)+j*\cos\left(\bruch{180°+0*360°}{6}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] 1*\left[\sin\left(30°\right)+j*\cos\left(30°\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+j*\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.5+0.866*j$$
[mm] $$z_1 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[6]{1}*\left[\sin\left(\bruch{180°+1*360°}{6}\right)+j*\cos\left(\bruch{180°+1*360°}{6}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] 1*\left[\sin\left(90°\right)+j*\cos\left(90°\right)\right] [/mm] \ = \ 1+j*0 \ = \ 1$$
usw.
Auch bei den anderen Aufgaben mal den jeweiligen Betrag $r_$ überprüfen ...
Gruß vom
Roadrunner
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