Radon-Nikodym Ableitung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Sa 14.01.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Ich habe gerade Radon-Nikydom gelernt und habe nun eine Frage dazu: Wenn wir nach dem Bsp von ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia gehen, dann haben wir ja
$$ [mm] \nu [/mm] (A) = [mm] \int_A [/mm] f [mm] d\mu$$
[/mm]
Mich würde nun interessieren ob folgendes gilt: für eine Zufallsvariable $ X $
$$ [mm] \int_A [/mm] X [mm] d\nu [/mm] = [mm] \int_A [/mm] f X [mm] d\mu [/mm] $$
oder etwas ähnliches? Wenn ja, wo kann ich einen Beweis davon finden.
Wie immer, danke für die HIlfe
greetz
hula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 15.01.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen Felix
Super, das konnte ich mit deiner Hilfe beweisen! Jetzt noch eine Anschlussfrage. Wenn [mm] $\nu$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] zwei Dichten [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] haben, also z.B. $ [mm] \mu [/mm] (A) [mm] =\int_A f_2 d\mu$. [/mm] Wieso gilt:
$$ [mm] \bruch{d\nu}{d\mu} [/mm] = [mm] \bruch{f_1}{f_2}$$?
[/mm]
greetz
hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin hula!
> Super, das konnte ich mit deiner Hilfe beweisen! Jetzt noch
> eine Anschlussfrage. Wenn [mm]\nu[/mm] und [mm]\mu[/mm] zwei Dichten [mm]f_1[/mm] und
> [mm]f_2[/mm] haben, also z.B. [mm]\mu (A) =\int_A f_2 d\mu[/mm]. Wieso gilt:
>
> [mm]\bruch{d\nu}{d\mu} = \bruch{f_1}{f_2}[/mm]?
Jetzt hast du Buchstaben doppelt verwendet. Sind [mm] $\nu$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] Masse, die mit einre Dichte bzgl. eines dritten Masses (etwa [mm] $\lambda$) [/mm] gegeben sind? Also [mm] $\nu(A) [/mm] = [mm] \int_A f_1 d\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu(A) [/mm] = [mm] \int_A f_2 d\lambda$?
[/mm]
Und du nimmst vermutlich an, dass [mm] $\frac{d\nu}{d\mu}$ [/mm] ueberhaupt existiert, oder? Also das [mm] $\mu(A) [/mm] = 0$ bereits [mm] $\nu(A) [/mm] = 0$ impliziert?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Mo 16.01.2012 | | Autor: | hula |
Hallo Felix
Entschuldige für das Durcheinander. Hier die korrekte Frage:
Nehmen wir an, dass [mm] $\mu$ [/mm] absolut stetig bezüglich [mm] $\nu$ [/mm] ist. Nach Radon-Nikodym existiert dann eine Dichtefunktion [mm] $\bruch{d\nu}{d\mu}$ [/mm] mit der Eigenschaft
$$ [mm] \nu [/mm] (A) = [mm] \int_A \bruch{d\nu}{d\mu} d\mu [/mm] $$
Hier habe ich nur die Notation von Wikipedia verwendet, da die Dichtefunktion manchmal als "Differential" geschrieben wird. Nun soweit ist alles klar. Ich bin nun in einem Fall, wo [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] Wahrscheinlihckeitsmasse sind. Diese Masse besitzen eine Dichtefunktion [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$. [/mm] Wieso gilt dann, dass [mm] $\bruch{d\nu}{d\mu}=\bruch{f_1}{f_2}$. [/mm]
Also wenn ich zwei Wahrscheinlichkeitsmasse habe, die beide eine Dichte besitzen und die eine ist absolut stetig bzgl. dem anderen, wieso hat dann die nach Radon-Nikodym existierende Funktion gerade die Form des Quotienten der beiden Dichten?
Ich hoffe nun ist klar, was ich fragen möchte.
greetz
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mo 16.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin hula!
> Entschuldige für das Durcheinander. Hier die korrekte
> Frage:
>
> Nehmen wir an, dass [mm]\mu[/mm] absolut stetig bezüglich [mm]\nu[/mm] ist.
> Nach Radon-Nikodym existiert dann eine Dichtefunktion
> [mm]\bruch{d\nu}{d\mu}[/mm] mit der Eigenschaft
>
> [mm]\nu (A) = \int_A \bruch{d\nu}{d\mu} d\mu[/mm]
>
> Hier habe ich nur die Notation von Wikipedia verwendet, da
> die Dichtefunktion manchmal als "Differential" geschrieben
> wird. Nun soweit ist alles klar. Ich bin nun in einem Fall,
> wo [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] Wahrscheinlihckeitsmasse sind. Diese Masse
> besitzen eine Dichtefunktion [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm]. Wieso gilt dann,
> dass [mm]\bruch{d\nu}{d\mu}=\bruch{f_1}{f_2}[/mm].
Ist [mm] $\lambda$ [/mm] das Lebesgue-Mass (bzgl. dem die Dichten [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] sind), und ignoriert man fuer einen Moment mal alle Fragen der Messbarkeit etc., dann ist doch [mm] $\int_A \frac{f_1}{f_2} d\mu [/mm] = [mm] \int_A \frac{f_1}{f_2} f_2 d\lambda [/mm] = [mm] \int_A f_1 d\lambda [/mm] = [mm] \nu(A) [/mm] = [mm] \int_A \frac{d\nu}{d\mu} d\mu$. [/mm] Da $A$ beliebig ist, folgt dass [mm] $\frac{f_1}{f_2} [/mm] = [mm] \frac{d\nu}{d\mu}$ [/mm] ist, und zwar [mm] $\mu$-fast [/mm] sicher (was nicht ueberrascht, da dies grob gesagt dort der Fall ist wo [mm] $f_2 \neq [/mm] 0$ ist, insbesondere wenn [mm] $f_2$ [/mm] stetig ist).
LG Felix
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