Rätselhafte Pendel-Gleichung < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seht bitte meine Rechnung an - die Aufgabe bestand darin, ein Zustandsraummodell aufzustellen wobei keine Dämpfung stattfindet.
Außerdem war gefragt, welche Signale den Zustand x bzw. die Eingangssignale u darstellen.
http://www.abload.de/image.php?img=aufgabeo7ov.jpg |
Liebe User,
In meiner Aufgabe geht es um ein Pendel, welches durch eine externe Kraft f(t) angeregt wird.
Die DGL sollte jedem ersichtlich und klar sein, nur was wir in unserer Übung gerechnet haben, geht über mein Verständnis ein wenig hinaus:
Das φ und (φ)' als Zustandsvektor benutzt werden erscheint mir noch logisch, allerdings verstehe ich nicht, warum in unserer Gruppenrechnung auf einmal das m*l*(φ)'' auftaucht (so eine Gleichung habe ich noch nie gesehen - Herleitung wünschenswert) weiß ich nicht --> Bitte um Hilfe.
Außerdem erscheint es mir nicht ganz logisch, weshalb man [mm] x_{2} [/mm] einführt. Kann mir jemand erklären was im oberen Drittel des beigefügten Blattes genau gerechnet wird? Warum dieses [mm] x_{2}? [/mm]
EDIT: Hier die scharfe Version
http://www.abload.de/image.php?img=aufgmkzx.jpg
LG,
Denis
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Nabend,
dein Scan (oder Foto) ist im oberen Drittel recht unscharf....
in deinem Kraftgleichgewicht: F(t) = ...Komponente der Gewichtskraft + Trägheitskraft
Die Trägheitskraft ist Masse x Beschleunigung; da in diesem Fall nicht die Winkelbeschleunigung [mm] \alpha [/mm] = [mm] \ddot{\varphi} [/mm] sondern die Tangentialbeschleunigung [mm] a_T [/mm] = [mm] l*\alpha [/mm] benötigt wird kommt man auf die Gleichung [mm] F_T [/mm] = [mm] m*l*\ddot{\varphi} [/mm]
Gruß Christian
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Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort!
Ja - also ich stelle gleich mal ein schärferes Bild rein OK ?
Aber wieso verwendet man hier die tangentielle Beschleunigungskomponente und nicht wie gewohnt?
EDIT: Hier nochmal die scharfe Version:
http://www.abload.de/image.php?img=aufgmkzx.jpg
LG,
Denis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:04 So 15.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Denis,
durch die Bewegung des Massenpunktes um seinen Aufhängepunkt entsteht ein Drehmoment, in dem die Winkelgeschwindigkeitsänderung auftaucht. Man bekommt
[mm] D = \Theta \dot{\omega} [/mm]
Dies ist das Pendant zur translatorischen Bewegung mit [mm] F = m \dot{v} [/mm].
Das Theta gibt das Trägheitsmoment des Körpers an und hier taucht der Abstand des Massepunktes zum Aufhängepunkt im Quadrat auf, so dass ich eigentlich ein [mm] m l^2 [/mm] hier erwarten würde. Dies in die obige Gleichung eingesetzt, ergäbe dann
[mm] D = m l^2 \ddot{\varphi} [/mm]
Gucke doch bitte noch mal nach, wohin das Quadrat entschwunden sein könnte.
Viele Grüße,
Infinit
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Hi,
konnte mich nicht früher melden. Nehmen wir an, es sei nun das Drehmoment (und ich weiß nicht wohin das l verschwunden ist) dann verstehe ich auch die DGL.
Nur was hat das [mm] x_{2} [/mm] zu bedeuten?
LG,
Denis
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Hi KGB Spion,
von der Zustandsraumdarstellung hast du schon mal gehört? Man nutzt neue Variablen (Vektor x) um eine DGL 2.Ordnung in ein DGL-System von 2 Gleichungen 1.Ordnung zu überführen.
Man führt ein: [mm] x_1 [/mm] = [mm] \varphi, [/mm] damit ist dann [mm] \dot{x_1} [/mm] = [mm] \dot{\varphi} [/mm]
man führt wieder ein [mm] x_2 [/mm] = [mm] \dot{x_1} [/mm] und damit ist dann schliesslich [mm] \ddot{\varphi} [/mm] = [mm] \ddot{x_1} [/mm] = [mm] \dot{x_2}
[/mm]
etwas klarer jetzt? Das Stichwort heisst Zustandsraum...
Gruß Christian
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Oh vielen Dank! Ja - das Zustandsraummodell ist mir geläufig, nur habe ich es eine Zeit lang nicht ganz kapiert wie man solche Gleichungen aufstellt :-(
Und warum genau gibt es nun keine 2x2 Matrix, sondern nur einen Vektor?
Aus meinem Script gehen zwei Dinge hervor:
1. Allgemeines Zustandsraummodell für ein System:
x' = A x(t) + b u(t) => A=Systemmatrix; b=Steuervektor; u=Steuergröße;
Aber es gilt auch y(t) = [mm] c^{T} [/mm] x(t) + d u(t) mit d=Durchgriff.
OK - also so ein Ding haben wir hier schonmal nicht da wir ja nur eine einzige Veränderliche Größe haben.
Ferner habe ich noch die Methode zur direkten Bestimmung eines Zustandsvektors aus einer DGL n-ter Ordnung, indem ich folgende Methoden mache:
[mm] (x_{n} [/mm] )'= [mm] 1/b_{0} d^{n}/dt [/mm] y(t) - aber diese Formel verstehe ich nicht ganz :-(
Wie wendet man sie bei einer DGL 2.ter Ordnung an? Mann nennt diese Gleichung auch die Frobeniusform oder Regelungsnormalform)
EDIT: Liege ich damit richtig, dass man zuerst die DGL Lösen muss, also auch den partikulieren Ansatz und anschließend das y der gelösten DGL mehrmals für den Vektor ableitet?
Was wurde speziell in unserer Aufgabe verwendet?
LG,
Denis
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> Oh vielen Dank! Ja - das Zustandsraummodell ist mir
> geläufig, nur habe ich es eine Zeit lang nicht ganz
> kapiert wie man solche Gleichungen aufstellt :-(
>
>
> Und warum genau gibt es nun keine 2x2 Matrix, sondern nur
> einen Vektor?
Du hast hier ein nichtlineares Zustandsraummodell, da gibts diese Matrizen i.A. nicht.
Das System sieht etwa so aus: [mm] \dot{x} [/mm] = f(x) + g(u) mit Vektor x = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
und y = c(x) + d(u)
in deinem Fall hast du: [mm] \dot{x_1} [/mm] = [mm] f_1(x) [/mm] + [mm] g_1(u)= x_2 [/mm] + 0u
[mm] \dot{x_2} [/mm] = [mm] f_2(x) [/mm] + [mm] g_2(u) [/mm] = [mm] -\frac{g}{l}*sin(x_1) [/mm] + [mm] \frac{1}{ml}*u
[/mm]
Nach dem linearisieren sieht das ganze anders aus, da solltest du dann eine 2x2 Matrix für A herausfinden...
>
> Aus meinem Script gehen zwei Dinge hervor:
>
> 1. Allgemeines Zustandsraummodell für ein System:
>
> x' = A x(t) + b u(t) => A=Systemmatrix; b=Steuervektor;
> u=Steuergröße;
genau
>
> Aber es gilt auch y(t) = [mm]c^{T}[/mm] x(t) + d u(t) mit
> d=Durchgriff.
>
> OK - also so ein Ding haben wir hier schonmal nicht da wir
> ja nur eine einzige Veränderliche Größe haben.
>
> Ferner habe ich noch die Methode zur direkten Bestimmung
> eines Zustandsvektors aus einer DGL n-ter Ordnung, indem
> ich folgende Methoden mache:
>
> [mm](x_{n}[/mm] )'= [mm]1/b_{0} d^{n}/dt[/mm] y(t) - aber diese Formel
> verstehe ich nicht ganz :-(
die Formel sagt mir in der Form jetzt auch nichts
> Wie wendet man sie bei einer DGL 2.ter Ordnung an? Mann
> nennt diese Gleichung auch die Frobeniusform oder
> Regelungsnormalform)
>
> EDIT: Liege ich damit richtig, dass man zuerst die DGL
> Lösen muss, also auch den partikulieren Ansatz und
> anschließend das y der gelösten DGL mehrmals für den
> Vektor ableitet?
Äh, nein. Der x-Vektor wird einfach neu eingeführt, z.B. mit [mm] x_1=\varphi [/mm] legst du selber so fest! Damit ist dann natürlich [mm] \dot{x_1} [/mm] = [mm] \dot{\varphi}; [/mm] Als zweite Zustandsvariable [mm] x_2 [/mm] legst du wiederum fest: [mm] x_2 [/mm] = [mm] \dot{x_1} [/mm] = [mm] \dot{\varphi}
[/mm]
Dann hast du noch die Ausgangsgleichung y = g(x) (vor dem linearisieren). Da uns der Winkel [mm] \varphi [/mm] interessiert, ist y = [mm] \varphi [/mm] = [mm] x_1
[/mm]
>
> Was wurde speziell in unserer Aufgabe verwendet?
>
>
> LG,
> Denis
Grüße Christian
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Hallo Liebe Helfer,
ich bedanke mich noch einmal für die ganz nette Hilfe, welche Ihr mir anbietet.
Ich komme beim linearisieren der DGL jedoch nicht ganz weiter :-( Ich weiß dass die Aufgabe "ausgelutscht" sei, jedoch kann ich nicht einfach so einen solch wichtigen Schritt außer Acht lassen.
So wie ich es verstanden habe, kann man aus der Telaufgabe entnehmen, dass d/dt = 0 ist, da sich das System im stationären Gleichgewicht (Stand so in der Aufgabe) befindet.
Wie Metallschulze bereits richtig geschrieben hat, brauchen wir y(t) = [mm] x_{1}(t) [/mm] als Ausgangsgleichung, da wir uns ja für das [mm] \fi [/mm] interessieren.
Nun - als erstes nutze ich die stationäre Tatsache, um aus der Gleichung (Ausgangsgleichung) m*l*(φ)" + m*g*sinφ = f(t) an den ersten "Nullpunkt" zu kommen? Denn es muss ja gelten: 0=f(x_,u_) und y_ = g(x_,u_)
Nur die weiteren Schritte sind mir nicht ganz geläufig. Kann mir bitte jemand die Musterlösung kommentieren? Besonders die Matrix-Aufstellen bereitet mir Kopfweh.
Lg,
Denis
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> Hallo Liebe Helfer,
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> ich bedanke mich noch einmal für die ganz nette Hilfe,
> welche Ihr mir anbietet.
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> Ich komme beim linearisieren der DGL jedoch nicht ganz
> weiter :-( Ich weiß dass die Aufgabe "ausgelutscht" sei,
> jedoch kann ich nicht einfach so einen solch wichtigen
> Schritt außer Acht lassen.
>
> So wie ich es verstanden habe, kann man aus der Telaufgabe
> entnehmen, dass d/dt = 0 ist, da sich das System im
> stationären Gleichgewicht (Stand so in der Aufgabe)
> befindet.
Ein System wird ja linearisiert, damit man es leichter berechnen kann. Nun gilt eine Linearisierung aber immer nur für kleine! Änderungen in der Nähe eines Arbeitspunktes. Den Arbeitspunkt kannst du dir mehr oder weniger aussuchen, jedoch ist auf halber Höhe die Änderung des Sinus-Teils sehr stark, weshalb das nicht sonderlich sinnvoll ist. Deshalb nimmt man erstmal die Ruhelage des Systems für einen gegebenen Eingang. Der Eingang ist hier F, und in der Ruhelage gilt: [mm] \dot{x} [/mm] = 0, sonst wäre es ja keine Ruhelage. Jetzt das Gleichungssystem lösen (0 = f(x)) und du hast [mm] x_S [/mm] in Abhängigkeit von [mm] U_S [/mm] (also in diesem Fall der Kraft F).
Als nächstes folgt die eigentliche Linearisierung, man nehme eine Taylorreihen-Entwicklung um! den Arbeitspunkt, und breche nach dem ersten (linearen) Glied ab. In die partiellen Ableitungen [mm] (\frac{\partial{f_i(x)}}{\partial{...}}) [/mm] die du erhältst musst du dann gegebenenfalls noch deine [mm] x_S [/mm] und [mm] U_S [/mm] einsetzen.
>
> Wie Metallschulze bereits richtig geschrieben hat, brauchen
> wir y(t) = [mm]x_{1}(t)[/mm] als Ausgangsgleichung, da wir uns ja
> für das [mm]\fi[/mm] interessieren.
>
> Nun - als erstes nutze ich die stationäre Tatsache, um aus
> der Gleichung (Ausgangsgleichung) m*l*(φ)" + m*g*sinφ =
> f(t) an den ersten "Nullpunkt" zu kommen? Denn es muss ja
> gelten: 0=f(x_,u_) und y_ = g(x_,u_)
Vorsicht, nicht durcheinander schmeissen! Die Darstellung [mm] m*l*\ddot{\varphi} [/mm] + [mm] m*g*sin\varphi [/mm] = F(t) ist die sogenannte E/A-Darstellung. Die kannst du natürlich benutzen, aber wir waren ja schon weiter und benutzen die Zustandsraumdarstellung oder?
Also: [mm] \dot{x_1} [/mm] = 0 = [mm] x_2 \Rightarrow x_{2S} [/mm] = 0
und [mm] \dot{x_2} [/mm] = 0 = [mm] -\frac{g}{l}*sinx(x_{1S}) [/mm] + [mm] \frac{1}{m*l}*u_S [/mm] ...umstellen, arcsin usw.
>
> Nur die weiteren Schritte sind mir nicht ganz geläufig.
> Kann mir bitte jemand die Musterlösung kommentieren?
> Besonders die Matrix-Aufstellen bereitet mir Kopfweh.
Wieso? Die linearisierten Matrizen A,B,C und D werden genau so gebildet wie es auf dem Zettel steht, einfach stur nach Schema F abarbeiten und fertich...
>
> Lg,
> Denis
Gruß Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:33 Di 24.05.2011 | | Autor: | KGB-Spion |
Oh man - vielen lieben Dank! Ich habe nun diese verflixte Aufgabe endgültig so verstanden, dass ich das Hintergrundwissen nun auch auf andere Aufgaben solchen Typs übertragen kann.
VIELEN VIELEN LIEBEN DANK! ! !
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