Räuber-Beute-Gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mo 02.07.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | $x$ ist die Anzahl der Beutetiere [mm] \\
[/mm]
$y$ ist die Anzahl der Raubtiere [mm] \\
[/mm]
$x'$ und $y'$ sind die Zeitableitungen [mm] \\
[/mm]
$x' = ax - bxy$ [mm] \\
[/mm]
$y' = -cy + dxy$ [mm] \\
[/mm]
mit $a, b, c, d > 0$ [mm] \\
[/mm]
Zeige: Für jede Wahl von $a,b,c,d$ gibt es eine Anfangsbedingung $x(0) = [mm] x_{0}, [/mm] y(0) = [mm] y_{0}$ [/mm] mit [mm] $x_{0}, y_{0} [/mm] > 0$, so dass die Lösung der Räuber-Beute-Gleichung konstant ist. [mm] \\ [/mm] |
1.Gleichung: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\dfrac{dx}{dy} [/mm] = ax - bxy$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\dfrac{dx}{dy} [/mm] = x(a-by)$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\dfrac{dx}{x} [/mm] = (a-by)dy$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $x^{-1}dx [/mm] = (a-by)dy$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} x^{-1}dx [/mm] = [mm] \int_{}^{} [/mm] (a-by)dy$ [mm] \\
[/mm]
$ln(x) = ay - [mm] \dfrac{1}{2}by^{2} [/mm] + C$ [mm] \\
[/mm]
$x = [mm] e^{ay} [/mm] - [mm] e^{\frac{1}{2}by^{2}} [/mm] + [mm] e^{C}$ \\ \\
[/mm]
2.Gleichung: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\dfrac{dy}{dx} [/mm] = cy - dyx$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\dfrac{dy}{dx} [/mm] = y(c-dx)$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\dfrac{dy}{y} [/mm] = (c-dx)dx$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $y^{-1}dy [/mm] = (c-dx)dx$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} y^{-1}dy [/mm] = [mm] \int_{}^{} [/mm] (c-dx)dx$ [mm] \\
[/mm]
$ln(y) = cx - [mm] \dfrac{1}{2}dx^{2} [/mm] + C$ [mm] \\
[/mm]
$y = [mm] e^{cx} [/mm] - [mm] e^{\frac{1}{2}dx^{2}} [/mm] + [mm] e^{C}$ \\ \\
[/mm]
Ich würde jetzt zeigen, dass es für alle $a,b,c,d > 0$ gilt, weil beide Gleichungen für $y = 0$ bzw. $x = 0$, nur noch von [mm] $e^{C}$ [/mm] abhängen, aber das wäre irgendwie zu einfach...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da schreibst du doch selbst: x',y' sind die Zeitableitungen, dann rechnest du als wäre x'=dx(dy, das ist Unsinn.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 02.07.2012 | | Autor: | ggT |
Hm, glaub der Begriff Zeitableitung sagt mir nicht soviel, daher hab ich das gemacht wie sonst auch. Heißt das ich muss einfach [mm] $\dfrac{dx}{dt}$ [/mm] statt [mm] $\dfrac{dx}{dy}$ [/mm] schreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Di 03.07.2012 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
im Prinzip ja. Aber dahinter steckt, dass die Population
$x$ und $y$ ja eine Funktion der Zeit ist, also
$x=x(t)$ und $y=y(t)$. Denn diese Funktionen beantworten
ja die Frage: "Wie viele Tiere gibt es zum Zeitpunkt [mm] $t=1\,\text{min}$", [/mm] zum Beispiel.
Was du aber gemacht hast ist, die Anzahl der Beutetiere
nach der Anzahl der Raubtiere abzuleiten. Du fragst
dich also: Wie gross ist die Aenderung der Beutetiere, wenn
ich die Anzahl der Raubtiere aenderen. Das macht nur dann
Sinn, wenn man $x$ als Funktion von $y$ kennt....
Die Differentialgleichungen, die du aber hast, sagen dir ja:
Wie gross ist die Momentane Aenderungsrate der Anzahl der Beute- und
Raubtiere (also [mm] $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ [/mm] und [mm] $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t$),
[/mm]
denn wie du schon richtig sagtest, meint hier das $x'$ die Ableitung
von $x$ nach der Zeit, also [mm] $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$. [/mm]
LG
Kroni
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