Räume mit abzählb.Basis < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
was für Räume haben denn alles eine abzählbare Basis? (in dem Sinn, dass der Abschluss der Linearkombination gerade den ganzen Raum ergibt).
Separable Räume haben natürlich eine abzählbare Basis. Und ich glaub auch Hilberträume (unsicher).
Aber findet man auch schon zu Banachräumen eine abzählbare Basis?
Und wie sieht das mit z.B. mit gleichmäßig konvexen Räumen aus?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 So 03.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
für Banachräume allgemein heißt, was Du suchst, Schauderbasis. Zitat Wikipedia:
Sei $(X, [mm] \left\|\cdot\right\|)$ [/mm] ein Banachraum über dem Grundkörper [mm] $\mathbb{K} [/mm] = [mm] \mathbb{R}$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{C}$. [/mm] Eine Folge [mm] $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] in X heißt Schauderbasis, falls jedes $x [mm] \in [/mm] X$ eindeutig als konvergente Reihe [mm] $\textstyle [/mm] x = [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \xi_n \cdot b_n, \; \xi_n \in \mathbb{K}$, [/mm] dargestellt werden kann.
Nicht jeder separable Banachraum hat eine Schauderbasis.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> für Banachräume allgemein heißt, was Du suchst,
> Schauderbasis. Zitat Wikipedia:
>
>
>
> Sei [mm](X, \left\|\cdot\right\|)[/mm] ein Banachraum über dem
> Grundkörper [mm]\mathbb{K} = \mathbb{R}[/mm] oder [mm]\mathbb{C}[/mm]. Eine
> Folge [mm](b_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] in X heißt Schauderbasis,
> falls jedes [mm]x \in X[/mm] eindeutig als konvergente Reihe
> [mm]\textstyle x = \sum_{n=1}^{\infty} \xi_n \cdot b_n, \; \xi_n \in \mathbb{K}[/mm],
> dargestellt werden kann.
>
>
>
> Nicht jeder separable Banachraum hat eine Schauderbasis.
etwas mehr Informationen kann man noch in ![[]](/images/popup.gif) diesen Diskussionen finden. Bei allgemeinen Banachraeumen impliziert die Existenz einer Schauder-Basis, dass der Raum separabel ist. Aber nicht jeder separable Banach-Raum hat eine Schauder-Basis; es hat allerdings 40 Jahre gedauert, bis jemand ein Beispiel fuer einen solchen separablen Banachraum ohne Schauder-Basis gefunden hat gefunden hat.
Weiterhin gibt es auf planetmath.org einen einfachen Beweis, dass jeder normierte Vektorraum mit einer Schauderbasis bereits separabel ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Di 05.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
