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| Aufgabe | Beschreibe die folgenden räumlichen Abbildungen durch eine Matrix.
a) Orthogonalspiegelung an der Ebene E: x+y=0
b) Schrägspiegelung an der Ebene E: y+z=0
c) Orthogonalprojektion auf die Ebene E: x-y=0 |
Ich schätze ich muss hier einen beliebigen Vektor auswählen und dann versuchen eine lineare Abbildung zu erhalten und dann ist ja der Weg zur Matrix nicht schwer.
Nur ich bin mir nicht sicher ob das wirklich so funktioniert und fall es so funktioniert wüsste ich nicht wie ich weiter mache , nachdem ich mir einen Vektor ausgesucht habe.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1096021#post1096021
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> Beschreibe die folgenden räumlichen Abbildungen durch eine
> Matrix.
>
> a) Orthogonalspiegelung an der Ebene E: x+y=0
> b) Schrägspiegelung an der Ebene E: y+z=0
> c) Orthogonalprojektion auf die Ebene E: x-y=0
> Ich schätze ich muss hier einen beliebigen Vektor
> auswählen und dann versuchen eine lineare Abbildung zu
> erhalten und dann ist ja der Weg zur Matrix nicht schwer.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Fehlt bei b) nicht irgendwie eine Richtung für die Schrägspiegelung?
(Aber vielleicht weiß ich auch nicht so recht, was eine Schrägspiegelung ist.)
Fangen wir mit a) an.
E hat den Normalenvektor [mm] \vektor{1\\1\\0}, [/mm] und wird aufgespannt von [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{1\\-1\\0}.
[/mm]
Was passiert bei der Spiegelung? Die Vektoren parallel zu [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] "klappen um", die in Richtung [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{1\\-1\\0} [/mm] bleiben unverändert.
Wenn Du nun die Standardbasisvektoren des [mm] \IR^3 [/mm] jeweils als Linearkombination dieser drei Vektoren schreibst, dann kannst Du leicht ihr Bild bestimmen und hast damit die Einträge der gesuchten Matrix.
Bei den anderen Aufgaben geht das genauso: such Dir eine Basis, die gut zu dem Problem paßt, schreibe die Standardbasisvektoren als Linearkomination der neuen basisvektoren und bestimme ihr Bild.
Gruß v. Angela
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Also die beiden Spannvektoren haben sich aus x+y=0 ergeben und somit dann auch der Normalenvektor.
Das mit der Spiegelung in Richtung des Normalenvektors habe ich auch verstanden jedoch eine Sache nicht.
Soll ich jetzt die Basisvektoren als Linearkombination der zwei Spannvektoren und dem Normalenvektor darstellen , oder soll ich den gespiegelten Basisvektor als Linearkombination der zwei Spannvektoren etc. darstellen.
Oder nichts von beidem ?
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> Also die beiden Spannvektoren haben sich aus x+y=0 ergeben
> und somit dann auch der Normalenvektor.
Hallo,
ja, und mit diesen drei Vektoren haben wir eine für die Abbildung sehr passende Basis des [mm] \IR^3 [/mm] gefunden.
>
> Das mit der Spiegelung in Richtung des Normalenvektors habe
> ich auch verstanden jedoch eine Sache nicht.
>
> Soll ich jetzt die Basisvektoren als Linearkombination der
> zwei Spannvektoren und dem Normalenvektor darstellen ,
Genau das.
Und dann auf diese Linearkombination die Spiegelung anwenden und die Linearität der Abbildung ausnutzen. Damit bekommst Du das Bild der Standardeinheitsvektoren unter der Spiegelung.
Gruß v. Angela
oder
> soll ich den gespiegelten Basisvektor als Linearkombination
> der zwei Spannvektoren etc. darstellen.
>
> Oder nichts von beidem ?
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