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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Emma23 |
| Aufgabe | Gegeben seien Teilmengen des [mm] \IR^{2}. [/mm] Geben Sie jeweils den Rand [mm] \partial \(M\), [/mm] das Innere [mm] M^{°}=M\backslash \partial\(M\) [/mm] und den Abschluss [mm] \overline{M}=M\cup \partial\(M\) [/mm] der Mengen an. Welche Mengen sind offen bzw. abgeschlossen?
i) [mm] M_{1}=\IN \times \IQ
[/mm]
ii) [mm] M_{2}=\overline{B_{1}}(0)\backslash \{0\}
[/mm]
iii) [mm] M_{3}= \bigcup_{n=1}^{\infty}([\bruch{1}{n+1}, \bruch{1}{n}) \times [/mm] (0,n)) |
Hallo! Ich bräuchte mal Hilfe bei der Aufgabe. So wirklich komme ich damit nicht klar.
Also hier mal das, was ich mir überlegt habe:
i) [mm] \{(x,y)|x\in\IN, y\in\IQ\}, [/mm] aber wie bringt mich das weiter?
ii) Hier haben wir ja den Einheitskreis, also müsste ja [mm] \partial\(M\)=\{(x,y)\in\IR|x^{2}+y^{2}=1\}, \overline{M}=\{(x,y)\in\IR|0
iii) gar keine Ahnung :(
Vielen Dank! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Sa 02.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib erstmal die definition von innerem Punkt und Randpunkt auf.
bei 2 beachte, dass die Kreisscheibe 0 nicht enthält
bei 3 nimm mal erst die ersten 3 bis vier der Vereinigung, und beachte, dass die Intervalle offen sind.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 03.05.2015 | | Autor: | Emma23 |
Für [mm] A\subset [/mm] X ist [mm] x\in [/mm] X ein Randpunkt von A, wenn
[mm] \forall\varepsilon>0: B_{\varepsilon}(x)\cap [/mm] A [mm] \not=\emptyset [/mm] und [mm] B_{\varepsilon}(x)\cap [/mm] (X \ A) [mm] \not=\emptyset. [/mm] Die Menge der Randpunkte von A heißt Rand von A und wir schreiben [mm] \partial [/mm] A dafür.
Zu [mm] A\in [/mm] X ist [mm] x\in [/mm] A ein innerer Punkt von A, wenn x eine Umgebung U mit [mm] U\subset [/mm] A hat. Das Innere von A, geschrieben A°, ist die Menge der inneren Punkte von A.
Der Abschluss von A ist [mm] \overline{A}= A\cup \partial [/mm] A.
Also zu i) würde ich sagen
[mm] M=\IN \times \IQ
[/mm]
[mm] \partial [/mm] M= M
M°= M \ [mm] \partial [/mm] M = M \ M = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] \overline{M}= [/mm] M [mm] \cup \partial [/mm] M= M [mm] \cup [/mm] M= M
zu ii) würde ich so lassen wie bisher, weil ich irgendwie nichts anderes hinbekomme...
Zu iii)
[mm] \partial [/mm] M = x $ [mm] \in \IR [/mm] $ : $ [mm] x_1 [/mm] $ = $ [mm] \frac{1}{n} [/mm] $ => $ [mm] x_2 \in [/mm] $ [ n-1, n]
$ [mm] x_1 \in (\frac{1}{n-1} [/mm] $ , $ [mm] \frac{1}{n} [/mm] $ ) => $ [mm] x_2 [/mm] $ = n-1 für die Stufen und $ [mm] {x\in \IR : x= (n,0) n \in [0,1] oder x= (0, z) } [/mm] $ ,z $ [mm] \in \IR [/mm] $ für die Achsen???
M°= M
[mm] \overline{M}= [/mm] M [mm] \cup \partial [/mm] M =??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 03.05.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Für [mm]A\subset[/mm] X ist [mm]x\in[/mm] X ein Randpunkt von A, wenn
> [mm]\forall\varepsilon>0: B_{\varepsilon}(x)\cap[/mm] A
> [mm]\not=\emptyset[/mm] und [mm]B_{\varepsilon}(x)\cap[/mm] (X \ A)
> [mm]\not=\emptyset.[/mm] Die Menge der Randpunkte von A heißt Rand
> von A und wir schreiben [mm]\partial[/mm] A dafür.
> Zu [mm]A\in[/mm] X ist [mm]x\in[/mm] A ein innerer Punkt von A, wenn x eine
> Umgebung U mit [mm]U\subset[/mm] A hat. Das Innere von A,
> geschrieben A°, ist die Menge der inneren Punkte von A.
> Der Abschluss von A ist [mm]\overline{A}= A\cup \partial[/mm] A.
>
> Also zu i) würde ich sagen
> [mm]M=\IN \times \IQ[/mm]
> [mm]\partial[/mm] M= M
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $\partial [/mm] M = [mm] \IN \times \IR$
[/mm]
> M°= M \ [mm]\partial[/mm] M = M \ M = [mm]\emptyset[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\overline{M}=[/mm] M [mm]\cup \partial[/mm] M= M [mm]\cup[/mm] M= M
siehe oben [mm] $\overline{M} [/mm] = [mm] \IN \times \IR$
[/mm]
>
> zu ii) würde ich so lassen wie bisher, weil ich irgendwie
> nichts anderes hinbekomme...
Es fehlt nur eine Kleinigkeit: [mm] $\{(0,0)\}$
[/mm]
$ [mm] \partial\(M\)=\{(x,y)\in\IR^2|x^{2}+y^{2}=1\} \cup \{(0,0)\}$
[/mm]
[mm] $\overline{M}=\{(x,y)\in\IR^2|0 \le x^{2}+y^{2}\le 1\} [/mm] $
>
> Zu iii)
> [mm]\partial[/mm] M = x [mm]\in \IR[/mm] : [mm]x_1[/mm] = [mm]\frac{1}{n}[/mm] => [mm]x_2 \in[/mm] [
> n-1, n]
Was das bedeuten soll, weis ich nicht.
> [mm]x_1 \in (\frac{1}{n-1}[/mm] , [mm]\frac{1}{n}[/mm] ) => [mm]x_2[/mm] = n-1 für
> die Stufen und [mm]{x\in \IR : x= (n,0) n \in [0,1] oder x= (0, z) }[/mm]
> ,z [mm]\in \IR[/mm] für die Achsen???
Ja, M sieht stufenförmig aus. Auf dem Intervall (0,1) auf der x-Achse sind
Rechtecke aneinandergereiht, die immer schmaller und immer höher
werden nach links.
> M°= M
> [mm]\overline{M}=[/mm] M [mm]\cup \partial[/mm] M =??
Den Rand muss man zusammen stückeln.
Er besteht aus dem Intervall [0,1] auf der x-Achse, dem positiven Teil der
y-Achse, und den Stufenrändern nach außen.
>
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 So 03.05.2015 | | Autor: | Emma23 |
Vielen Dank! :)
Dann mal zu offen bzw. abgeschlossen:
i) nicht offen, nicht abgeschlossen
ii) offen, abgeschlossen
ii) offen, nicht abgeschlossen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 03.05.2015 | | Autor: | Emma23 |
Hallo Tobias!
also dann nochmal zu ii):
offen, da [mm] M\cap \partial M=\emptyset
[/mm]
nicht abgeschlossen, da [mm] {0}\not\in [/mm] M [mm] \Rightarrow \partial [/mm] M [mm] \not\subset [/mm] M
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 So 03.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
> also dann nochmal zu ii):
Mit M meinst du offenbar jeweils [mm] $M_2$.
[/mm]
> offen, da [mm]M\cap \partial M=\emptyset[/mm]
Das stimmt nicht. Es gilt z.B. [mm] $(1,0)\in M_2\cap\partial M_2$.
[/mm]
> nicht abgeschlossen,
> da [mm]{0}\not\in[/mm] M
aber [mm] $0\in\partial [/mm] M$
> [mm]\Rightarrow \partial[/mm] M [mm]\not\subset[/mm] M
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 So 03.05.2015 | | Autor: | Emma23 |
Danke! :)
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