Rand, Innere und Abschluss < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie das Innere, den Rand und die abgeschlossene Hülle von den folgenden Teilmengen der [mm] \IR^2. [/mm] Welche Mengen sind offen bzw. abgeschlossen?
a) [mm] \IN [/mm] x [mm] \IQ
[/mm]
b) [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] [ [mm] \bruch{1}{n + 1}, \bruch{1}{n}[ [/mm] x ]0,n[
c) [mm] \{ (\bruch{1}{n},\bruch{1}{m} ) : m,n \in \IZ ohne 0 \}
[/mm]
d) [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} \overline{B_{\bruch{1}{n}} ((1,\bruch{1}{n}))} [/mm] mit [mm] B_r [/mm] (z) = {x [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] \parallel [/mm] x - [mm] y\parallel_\infty [/mm] < r } |
Hallo,
habe hier die Definitionen vor mir liegen und meine sie im groben verstanden zu haben, aber bei konkreten Aufgaben bereiten sie mir dennoch Schwierigkeiten.
zu a)
Ich meine, dass das Inner von der Menge leer ist, weil mein keine Radius> 0 findet sodass der Kreis komplett in der Menge liegt.
Beim Abschluss weiß ich nicht recht. Das ist ja die Menge selbst vereinigt mit der Menge aller Häufungspunkte. Ich würde vermuten dass es die Menge [mm] \IN [/mm] x [mm] \IQ [/mm] selbst ist. Weil, wenn man sich die Menge aufzeichnet sind das ja praktisch senkrechte Geraden mit einem parallele Abstand von 1. Und darauf findet man zu jedem Punkt auf der Gerade Folgen, die gegen diesen Punkt konvergieren(=Häufungspunkt).
Und da das Innere leer ist ist der Rand gleich dem Abschluss.
Sehe ich irgendwo was falsch?
Snafu
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Hey,
wenn ich die Formel richtig verstehe, ist die Menge gleich die Fläche zwischen 0 und 1 im 1. Quadranten und nach oben unbeschränkt. Ohne die x und y Achsen und ohne der senkrechten Gerade bei x=1.
Dann wäre das Innere doch einfach die Menge selbst. Der Abschluss die Menge mit der Rändern und der Rand die positiven y-Achse, die x-Achse von 0 bis 1 und die senkrechte Gerade bei x=1.
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Die Fläche in b) sieht aus wie eine Treppe, deren Stufen zur y-Achse hin immer schmaler und höher werden. Denn das ]0,n[ gehört noch in die Vereinigung!
Dennoch hast du recht, die menge ist selber schon offen. Den Rand und den Abschluss kannst du dir sicher auch gut vorstellen, wenn du dir die Treppe mal zeichnest.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hi,
ok wenn ich es mir aufzeichne ist es leichter Vorzustellen. Also hat die Menge b) keinen Rand und das Inner von b) ist die Menge selbst. Beim Abschluss habe ich Schwierigkeiten mir ihn Vorzustellen. Sind die Punkte vom Rand Häufungspunkte und somit im Abschluss mit drinne?
Snafu
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Hallo,
> ok wenn ich es mir aufzeichne ist es leichter Vorzustellen.
> Also hat die Menge b) keinen Rand
Oh doch, sie hat sogar viel Rand!
Die Linie, mit der du die Treppe auf dein Papier gezeichnet hast - das ist alles Rand!
> und das Innere von b) ist
> die Menge selbst.
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beim Abschluss habe ich Schwierigkeiten
> mir ihn Vorzustellen. Sind die Punkte vom Rand
> Häufungspunkte und somit im Abschluss mit drinne?
Abschluss = Menge + Rand der Menge.
Grüße,
Stefan
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Hi,
ja aber die Intervalle sind doch nach allen Seiten geöffnet. Heißt das nicht das der Rand nicht in der Menge ist?
Snafu
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Hallo,
> Hi,
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> ja aber die Intervalle sind doch nach allen Seiten
> geöffnet. Heißt das nicht das der Rand nicht in der Menge
> ist?
Der Rand ist nicht IN der Menge, aber das heißt doch nicht, dass die Menge keinen Rand hat!
Jeder Punkt auf der Linie, die du gemalt hast, um die Treppe zu zeichnen, ist ein Randpunkt der Menge (denn jede Umgebung dieser enthält sowohl Punkte der Menge als auch Punkt des Komplements der Menge).
Grüße,
Stefan
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Hallo,
nur um jetzt komplett sicher zu sein:
Der Rand existiert ist aber nicht in der Menge. Der Rand sind aber Häufungspunkte und somit im Abschluss mit drin?
Und dadurch ist der Rand wirklich die Linien die ich gezeichnet habe mit den entsprechende Koordinaten Achsen , wegen Rand = Abschluss \ Inneres ?
Snafu
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Hallo,
> nur um jetzt komplett sicher zu sein:
> Der Rand existiert ist aber nicht in der Menge.
Ja. Sprich aber nicht von "dem Rand", sondern von "dem Rand der Menge".
Konkret: Der Rand der Menge sind die Linien, die du gemalt hast, und die liegen nicht in der Menge.
> Der Rand
> sind aber Häufungspunkte und somit im Abschluss mit drin?
Ja. Abschluss = Menge + Rand der Menge.
> Und dadurch ist der Rand wirklich die Linien die ich
> gezeichnet habe
Ja.
> mit den entsprechende Koordinaten Achsen ,
Naja, es sind nicht die gesamten Achsen im Rand der Menge enthalten.
> wegen Rand = Abschluss \ Inneres ?
Ja, das kann man so schreiben.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Di 18.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Danke, danke.....und, ach ja Danke!! :)
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Hi,
kann mir jemand bei der math. Formel für den Rand helfen. Das ist ja die Stufenlinie . Kriege es aber nicht durch eine formale Formel ausgedrückt?
Edit:
Ok, bin soweit gekommen.
{x [mm] \in \IR [/mm] : [mm] x_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] => [mm] x_2 \in [/mm] [ n-1, n]
[mm] x_1 \in (\frac{1}{n-1} [/mm] , [mm] \frac{1}{n} [/mm] ) => [mm] x_2 [/mm] = n-1 } das wären die Stufen dann brauche ich nur noch die Achsen [mm] {x\in \IR : x= (n,0) n \in [0,1] oder x= (0, z) } [/mm] ,z [mm] \in \IR
[/mm]
Snafu
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Hallo!
Ich frage mich, ob ihr das wirklich angeben sollt...
> kann mir jemand bei der math. Formel für den Rand helfen.
> Das ist ja die Stufenlinie . Kriege es aber nicht durch
> eine formale Formel ausgedrückt?
>
> Edit:
> Ok, bin soweit gekommen.
> {x [mm] \in \IR [/mm] : [mm] x_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] => [mm] x_2 \in[/mm] [/mm] [ n-1, n]
> [mm] x_1 \in (\frac{1}{n-1} ,\frac{1}{n} [/mm] ) => [mm] x_2 [/mm] = n-1 } das
> wären die Stufen dann brauche ich nur noch die Achsen
> [mm] {x\in \IR : x= (n,0) n \in [0,1] oder x= (0, z) } [/mm] ,z [mm] \in \IR
[/mm]
Das sieht schon gut aus, es dürfte soweit alles stimmen. Ich schreibe es nochmal in einer Variante auf, in der man mehr die "Übersicht" behält:
[mm] $\{0\}\times[0,\infty)$
[/mm]
[mm] $\cup (0,1]\times\{0\}$
[/mm]
[mm] $\cup \bigcup_{n=1}^{\infty}\{\frac{1}{n}\}\times[n-1,n]$
[/mm]
[mm] $\cup \bigcup_{n=1}^{\infty}[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]\times\{n\}$
[/mm]
Vielleicht solltest du es aber lieber so machen: Ich behaupte jetzt einfach mal folgendes: Der Abschluss beliebig vieler Mengen ist die Vereinigung der Abschlüsse der einzelnen Mengen.
Du kannst ja mal versuchen, das zu beweisen: [mm] $\overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B}$ [/mm] (am besten geht das über [mm] \subset [/mm] und [mm] \supset [/mm] ).
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Dadurch kannst du den Abschluss der Menge einfach als Vereinigung der Abschlüsse der ganzen einzelnen Mengen berechnen, und das dürfte nicht das Problem sein, oder?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Mi 19.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hey,
ok stimmt, das mit der Vereinigung aller Abschlüsse kann ich nach voll ziehen, jedoch ging es doch vorher um den Rand, und nicht den Abschluss. :)
Danke vielmals!!
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zur a)
Stimmt so.
Ich versuche zuerst immer den Rand herauszubekommen, da man darauf aufbauend schnell das Innere und den Abschluss bekommt. Denn das Innere einer menge ist ja die Menge ohne den Rand und der Abschluss ist die Menge vereinigt mit dem Rand.
Sei M die Menge.
Der Rand ist hier die M selber (lässt sich auch glaube ganz gut vorstellen), daher ist das Innere $=M [mm] \backslash M=\emptyset$ [/mm] und der Abschluss ist $M [mm] \cup [/mm] M=M$. Nur vielleicht so als alternative Lösung.
Jetzt musst du nur noch sagen, ob M offen oder abgeschlossen ist.
Teufel
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Hi,
wieso genau ist der Rand hier die Menge selber? Einfach weil sie kein Inneres hat?
Snafu
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Hallo,
> wieso genau ist der Rand hier die Menge selber? Einfach
> weil sie kein Inneres hat?
Das ist keine Universalbegründung
Wenn das Innere leer ist, so muss ja
[mm] $\emptyset [/mm] = Inneres(M) = [mm] M\textbackslash [/mm] Rand(M)$
sein, d.h. es gilt zumindest [mm] $M\subset [/mm] Rand(M)$.
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Ich würde zu a) aber sagen, dass der Rand die Menge [mm] $\IN\times\IR$ [/mm] ist!
Denn wählen wir einen beliebiges Punkt aus [mm] \IN\times\IR, [/mm] so befinden sich in seiner Umgebung sowohl Punkte aus [mm] \IN\times\IQ [/mm] als auch aus [mm] \IN\times(\IR\textbackslash \IQ).
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Hi,
mein Problem hier ist das [mm] \IQ. [/mm] Das hat ja Lücken, die von [mm] \IR [/mm] eben gefüllt werden. Heißt das dann, dass diese Lücken Häufungspunkte sind und somit im Abschluss enthalten sind?
Ich muss ehrlich sagen, ich habe Probleme mit die Häufungspunkte vorzustellen, bzw. mir die Folgen die gegen sie konvergieren sollen vorzustellen? Ich weiß dann nie sicher, ob da wirklich Folgen sein können.
Snafu
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Hallo!
> Hi,
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> mein Problem hier ist das [mm]\IQ.[/mm] Das hat ja Lücken, die von
> [mm]\IR[/mm] eben gefüllt werden. Heißt das dann, dass diese
> Lücken Häufungspunkte sind und somit im Abschluss
> enthalten sind?
Ja, so kann man das einem Menschen auf der Straße erzählen.
Die mathematische Begründung ist, dass [mm] \IQ [/mm] "dicht" in [mm] \IR [/mm] liegt, und außerdem die Konstruktion von [mm] \IR [/mm] durch Folgen aus [mm] \IQ [/mm] geschehen ist.
Das heißt: Zu jedem Punkt [mm] r\in\IR [/mm] gibt es eine Folge [mm] (q_{n})_{n\in\IN} [/mm] rationaler Zahlen, die gegen r konvergiert. Daraus ergibt sich, dass der Abschluss der Menge [mm] \IQ [/mm] ganz [mm] \IR [/mm] ist.
> Ich muss ehrlich sagen, ich habe Probleme mit die
> Häufungspunkte vorzustellen, bzw. mir die Folgen die gegen
> sie konvergieren sollen vorzustellen? Ich weiß dann nie
> sicher, ob da wirklich Folgen sein können.
Sobald Punkte irgendwo immer "enger" aneinander rücken, ist dort ein Häufungspunkt. Die Folge, die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert, kann man dann leicht konstruieren (man muss sie sich aber nicht vorstellen).
Das Kriterium mit den Umgebungen ist doch auch ganz nett.
Den Rand von M kannst du bestimmen, indem du alle Punkte bestimmst, in deren Umgebung sowohl Elemente der Menge M als auch Elemente des Komplements von M liegen.
Dann ist
Abschluss = M und (Rand von M)
Inneres = M außer (Rand von M)
Grüße,
Stefan
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Hey,
das ist wie ich das sehen ein Quadrat um den Ursprung mit der Seitenlänge 1, wobei er aus diskreten Punkten besteht, die gegen die Achsen immer dichter aneinander ansiedeln.
Somit ist das Inner auf jeden Fall leer.
So für den Abschluss brauche ich die Menge der Häufungspunkte, wenn ich das richtig verstehe sind das hier die Achsen im Intervall [-1,1], d.h. der Abschluss ist die Menge mit den beiden Achsen im Intervall?
Wegen int(C) = leer ist der Rand gleich dem Abschluss?
Snafu
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Hallo,
> Hey,
>
> das ist wie ich das sehen ein Quadrat um den Ursprung mit
> der Seitenlänge 1, wobei er aus diskreten Punkten besteht,
> die gegen die Achsen immer dichter aneinander ansiedeln.
> Somit ist das Inner auf jeden Fall leer.
Das ist richtig.
Jede Umgebung von Punkten aus der Menge liegt nicht mehr vollständig in der Menge.
> So für den Abschluss brauche ich die Menge der
> Häufungspunkte, wenn ich das richtig verstehe sind das
> hier die Achsen im Intervall [-1,1], d.h. der Abschluss ist
> die Menge mit den beiden Achsen im Intervall?
Das ist falsch. HP sind (1/n,0) bzw. (0,1/n) mit [mm] n\in\IZ\textbackslash\{0\}.
[/mm]
Warum?
> Wegen int(C) = leer ist der Rand gleich dem Abschluss?
Benutze diese Formel nicht.
Was aber gilt: Rand = Abschluss außer Inneres.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Di 18.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
oh stimmt. Darf ja bei de HP nicht die ganze Achse bis 1 nehmen. Verstanden.
danke.
PS:
habe die selbe Formel gemeint wie du Rand= Abschluss \ Inneres , Inneres= leer => Rand = Abschluss :) Nochmal Danke.
Snafu
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Guten Abend!,
ich meine das alle Kreise für n>1 in dem Kreis [mm] B_1((1,1)) [/mm] drinne sind, und somit die Menge nicht weiter verändern. Damit wäre das Inner der offene Kreis um (1,1) mit Radius = 1 der Abschluss wäre der Kreis mit dem Kreisrand und deswegen wäre der rand eben der Kreisrand.
Hoffe das stimmt.
Snafu
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Hallo,
> Guten Abend!,
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> ich meine das alle Kreise für n>1 in dem Kreis [mm]B_1((1,1))[/mm]
> drinne sind, und somit die Menge nicht weiter verändern.
> Damit wäre das Inner der offene Kreis um (1,1) mit Radius
> = 1 der Abschluss wäre der Kreis mit dem Kreisrand und
> deswegen wäre der rand eben der Kreisrand.
> Hoffe das stimmt.
Das stimmt.
Aber Achtung: Du solltest noch zweierlei beachten / begründen:
- Deine "Kreise" sind Quadrate, weil die Kugel mit der Maximumsnorm definiert wurde
- Warum liegen alle [mm] B_{1/n}((1,1/n)) [/mm] in [mm] B_{1}((1,1)) [/mm] ? Du kannst hier sogar sehr anschaulich / geometrisch argumentieren, weil wir uns ja im [mm] \IR^{2} [/mm] befinden.
Grüße,
Stefan
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Hi,
ohh peinlich, grad heute hat der Prof uns die Unendlichnorm angezeichnet... :)
Ok dann bleibt alles beim Alten , nur das es Quadrate sind. Und sie sind alle im 1. , größten Quadrat, weil die Folge Quadrate immer um den selben Wert nach unten, von (1,1), verschoben werden wie ihr Radius kleiner wird, ferner kommen sie nie aus dem 1. Quadraten raus.
Snafu
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Hallo,
> Ok dann bleibt alles beim Alten , nur das es Quadrate
> sind. Und sie sind alle im 1. , größten Quadrat, weil die
> Folge Quadrate immer um den selben Wert nach unten, von
> (1,1), verschoben werden wie ihr Radius kleiner wird,
> ferner kommen sie nie aus dem 1. Quadraten raus.
Ok. Man kann auch schreiben:
[mm] $B_{1/n}((1,\red{1/n})) \subset [/mm] (1-1/n,1+1/n) [mm] \times (\red{1/n} [/mm] - 1/n, [mm] \red{1/n} [/mm] + 1/n) = (1-1/n,1+1/n) [mm] \times [/mm] (0,2/n) [mm] \subset (0,2)\times [/mm] (0,2) = [mm] B_{1}((1,1))$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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