Rand einer Menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Fr 07.04.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist M [mm] \subset\IR^n [/mm] offen oder abgeschlossen, so enthält [mm] \partial [/mm] M keine inneren Punkte. |
Irgendwie kann ich den Sinn der Aufgabe nicht so ganz nachvollziehen
also [mm] \partial [/mm] M haben wir als Rand der Menge wie folgt definiert:
[mm] \partial [/mm] M := [mm] \overline{M} [/mm] \ [mm] M^0
[/mm]
wobei [mm] \overline{M} [/mm] die Menge der berührungs Punkte von M ist und [mm] M^0 [/mm] die Menge der ineren Punkte von M
Das ganze haben wir für [mm] M\subset [/mm] E beliebig und E normierter Vektorraum definiert.
Aber dann folgt doch aus der Definition schon, dass [mm] \partial [/mm] M keine inneren Punkte enthalten kann.
Aber so einfach ist es bestimmt nicht deswegen fänd ich es klasse wenn mir jemand zeigen könnte wo da der Hacken ist.
danke vielmals
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Fr 07.04.2006 | | Autor: | felixf |
> Zeigen Sie: Ist M [mm]\subset\IR^n[/mm] offen oder abgeschlossen, so
> enthält [mm]\partial[/mm] M keine inneren Punkte.
> Irgendwie kann ich den Sinn der Aufgabe nicht so ganz
> nachvollziehen
> also [mm]\partial[/mm] M haben wir als Rand der Menge wie folgt
> definiert:
> [mm]\partial[/mm] M := [mm]\overline{M}[/mm] \ [mm]M^0[/mm]
> wobei [mm]\overline{M}[/mm] die Menge der berührungs Punkte von M
> ist und [mm]M^0[/mm] die Menge der ineren Punkte von M
> Das ganze haben wir für [mm]M\subset[/mm] E beliebig und E
> normierter Vektorraum definiert.
> Aber dann folgt doch aus der Definition schon, dass
> [mm]\partial[/mm] M keine inneren Punkte enthalten kann.
> Aber so einfach ist es bestimmt nicht deswegen fänd ich es
> klasse wenn mir jemand zeigen könnte wo da der Hacken ist.
Es geht halt darum, dass du dies Schritt fuer Schritt nachweist, ohne zu sagen 'das sieht man doch aus der Definition'.
Einmal kannst du das Problem ja im Fall $M$ offen auf den Fall $M$ abgeschlossen zurueckfuehren (weisst du warum?).
Sei also $M$ abgeschlossen. Angenommen, [mm] $\partial [/mm] M$ hat einen inneren Punkt $x$. Dann gibt es ja ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass die [mm] $\varepsilon$-Kugel [/mm] $B$ um $x$ komplett in [mm] $\partial [/mm] M$ liegt. ...
Hast du jetzt ne Idee wie du das machen kannst?
Fuer beliebige Mengen in $E$ gilt diese Aussage uebrigens nicht, nimm z.B. die Menge $M := [mm] \IQ$ [/mm] im normierten Vektorraum $E := [mm] \IR$. [/mm] Es ist [mm] $\partial \IQ [/mm] = [mm] \overline{\IQ} [/mm] = [mm] \IR$, [/mm] und [mm] $\IR$ [/mm] hat offensichtlich innere Punkte.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Sa 08.04.2006 | | Autor: | neli |
wie ich den Fall M offen auf M abgeschlossen zurückführen kann weis ich nicht. Weiß aber auch nicht wie ich mit M abgeschlossen vernünftig arbeiten soll. Haben als definition von M abgeschlossen nur M abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] E \ M offen . Hilft mir nur irgendwie nicht sonderlich weiter
Habe mir für den Fall M offen mal überlegt, dass
M offen [mm] \gdw \forall x_0 \in [/mm] M [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 s.d. [mm] U_{ \varepsilon}(x_0) \subset [/mm] M [mm] \gdw [/mm] Alle [mm] x_0 \in [/mm] M sind innere Punkte
[mm] \Rightarrow \overline{M} [/mm] \ [mm] M^0 [/mm] = {Häufungspunkte}
[mm] \Rightarrow \partial [/mm] M = {Häufungspunkte} enthält keine inneren Punkte
ist aber im Prinzip irgendwie immer noch nur die Definition aber immerhn was ausformuliert 
mit dem zweiten Tip komme ich irgendwie nicht so ganz weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Sa 08.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> wie ich den Fall M offen auf M abgeschlossen zurückführen
> kann weis ich nicht. Weiß aber auch nicht wie ich mit M
> abgeschlossen vernünftig arbeiten soll. Haben als
> definition von M abgeschlossen nur M abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] E
> \ M offen . Hilft mir nur irgendwie nicht sonderlich
> weiter
Du musst bedenken, dass [mm] $\partial [/mm] M = [mm] \partial [/mm] (E [mm] \setminus [/mm] M)$ ist. (Das musst du natuerlich noch zeigen, falls ihr das noch nicht hattet, aber es ist nicht schwer. Z.B. gibt es eine Charakterisierung von [mm] $\partial [/mm] M$ als die Menge der Punkte, so dass in jeder Umgebung um einen solchen Punkte aus $M$ und Punkte aus $E [mm] \setminus [/mm] M$ liegen.)
> Habe mir für den Fall M offen mal überlegt, dass
> M offen [mm]\gdw \forall x_0 \in[/mm] M [mm]\exists \varepsilon[/mm] > 0
> s.d. [mm]U_{ \varepsilon}(x_0) \subset[/mm] M [mm]\gdw[/mm] Alle [mm]x_0 \in[/mm] M
> sind innere Punkte
Ja. Das ist sozusagen die Definition von offen :)
> [mm]\Rightarrow \overline{M}[/mm] \ [mm]M^0[/mm] = {Häufungspunkte}
Haeufungspunkte wovon? Die Haeufungspunkte von $M$ sind doch gerade [mm] $\overline{M}$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow \partial[/mm] M = {Häufungspunkte} enthält keine
> inneren Punkte
Hattet ihr das als Resultat? Fuer beliebige Mengen $M$ ist es falsch, da z.B. [mm] $\overline{M}$ [/mm] sicher innere Punkte enthaelt (naemlich alle Punkte aus $M$ und evtl. noch mehr).
> mit dem zweiten Tip komme ich irgendwie nicht so ganz
> weiter
Du hast $M$ abgeschlossen und ein $x [mm] \in \partial [/mm] M$ mit [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $B_\varepsilon(x) \subseteq \partial [/mm] M$ ist. Da [mm] $\partial [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] M$ (da $M$ abgeschlossen) ist also [mm] $B_\varespilon(x) \subseteq [/mm] M$, womit $x$ auch ein innerer Punkt von $M$ ist. Also...?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 So 09.04.2006 | | Autor: | neli |
Danke schon mal
Für M abgeschlossen müsste ich es jetzt haben.
Das führe ich doch dann einfach auf den Wiederspruch, dass [mm] x_0 [/mm] ein innerer Punkt in M sein muss und somit nicht im Rand oder?
das [mm] \partial [/mm] M = [mm] \partial [/mm] (E \ M) ist ist auch noch völlig logisch
Beim weiteren bin ich mir nicht so sicher also hab das mal so versucht
Sei [mm] x_0 \in \partial [/mm] M ein innerer Punkt
[mm] \gdw \exists \varepsilon>0 [/mm] s.d. [mm] U_{\varepsilon}(x_0) \subseteq \partial [/mm] M
[mm] \gdw U_{\varepsilon}(x_0) \subseteq \partial [/mm] (E \ M)
da E \ M offen [mm] \Rightarrow U_{\varepsilon}(x_0) [/mm] ist nicht [mm] \subseteq [/mm] E \ M
[mm] \Rightarrow U_{\varepsilon}(x_0) \subseteq [/mm] M
[mm] \Rightarrow x_0 [/mm] ist innerer Punkt von M
[mm] \Rightarrow [/mm] W.S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 So 09.04.2006 | | Autor: | felixf |
> Danke schon mal
> Für M abgeschlossen müsste ich es jetzt haben.
> Das führe ich doch dann einfach auf den Wiederspruch, dass
> [mm]x_0[/mm] ein innerer Punkt in M sein muss und somit nicht im
> Rand oder?
Genau.
> das [mm]\partial[/mm] M = [mm]\partial[/mm] (E \ M) ist ist auch noch
> völlig logisch
Das brauchst du fuer den Fall, dass $M$ offen ist. Da dann $E [mm] \setminus [/mm] M$ abgeschlossen ist, folgt aus der Aussage fuer abgeschlossene Mengen (die du schon gezeigt hast), dass [mm] $\partial [/mm] (E [mm] \setminus [/mm] M)$ keinen inneren Punkt hat. Da [mm] $\partial [/mm] (E [mm] \setminus [/mm] M) = [mm] \partial [/mm] M$ ist, hat also auch keinen inneren Punkt.
> Beim weiteren bin ich mir nicht so sicher also hab das mal
> so versucht
Hier ist $M$ wieder abgeschlossen? Ich dachte fuer diesen Fall haettest du es schon gezeigt?
> Sei [mm]x_0 \in \partial[/mm] M ein innerer Punkt
> [mm]\gdw \exists \varepsilon>0[/mm] s.d. [mm]U_{\varepsilon}(x_0) \subseteq \partial[/mm]
> M
> [mm]\gdw U_{\varepsilon}(x_0) \subseteq \partial[/mm] (E \ M)
> da E \ M offen [mm]\Rightarrow U_{\varepsilon}(x_0)[/mm] ist
> nicht [mm]\subseteq[/mm] E \ M
Vorsicht, hier musst du aufpassen: Nur weil [mm] $U_\varepsilon(x_0) \not\subseteq [/mm] E [mm] \setminus [/mm] M$ ist, muss das noch lange nicht heissen, dass [mm] $U_\varepsilon(x_0) \subseteq [/mm] M$ ist! Nur wenn [mm] $U_\varepsilon(x_0)$ [/mm] vollstaendig ausserhalb von $E [mm] \setminus [/mm] M$ liegt, dann gilt [mm] $U_\varepsilon(x_0) \subseteq [/mm] M$.
> [mm]\Rightarrow U_{\varepsilon}(x_0) \subseteq[/mm] M
> [mm]\Rightarrow x_0[/mm] ist innerer Punkt von M
> [mm]\Rightarrow[/mm] W.S
LG Felix
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