Rand komp. Menge = Nullmenge? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Do 27.10.2016 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | Beweisen oder widerlegen Sie: Der Rand einer kompaten Menge $ K [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] ist eine n-dimensionale (Lebesgue-)Nullmenge. |
Hallo,
zum Beweis dieser Aufgabe hab' ich mir ein paar Notizen und Skizzen gemacht, allerdings bin ich nicht so ganz sicher ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Unsauber formuliert habe ich mir überlegt, dass der Rand $ [mm] \partial [/mm] K $ bereits von jeder endlichen Teilüberdeckung von $ K $ "überdeckt wird" und bei geeigneter Wahl von $ [mm] \varepsilon$-Umgebungen [/mm] zB [mm] $\left( \frac{\varepsilon}{2n}\right)$ [/mm] bereits die $ [mm] \varepsilon-$Umgebungen [/mm] der Randpunkte bereits eine offene Überdeckung bilden, die ebenfalls in jeder offenen Überdeckung von $ K $ enthalten sind.
Nach dem Satz v. Heine-Borel reicht bereits eine endliche Überdeckung für $ K$ bzw $ [mm] \partial [/mm] K $.
Wenn man nun die [mm] $\varepsilon-$Umgebungen [/mm] der Randpunkte als Intervalle bzw (n-dimensionale) Quader zugrunde legt und die Intervall-Längen der [mm] $\varepsilon-$Umgebungen [/mm] entsprechend aufsummiert (endliche Summe, da endliche Überdeckung) erhält man sowas wie
$ [mm] \sum_{i=1}^n \mu(Q_i) =\mu(Q_1) +...+\mu(Q_n) [/mm] = [mm] \underbrace{2\left(\frac{\varepsilon}{2n}\right) +...+ 2\left(\frac{\varepsilon}{2n}\right)}_{n \ \text{summanden}} [/mm] = [mm] 2n\left(\frac{\varepsilon}{2n}\right) [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] $
Damit wäre der Rand $ [mm] \partial [/mm] K $ einer kompakten Menge $ K [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] eine Nullmenge.
Ist alles etwas unschön und wirklich nicht sauber formuliert bzw notiert aber zumindest die Idee lässt sich glaube ich erkennen.
Kann ich das allgemein so machen? Falls ja, müsste ich bei den (n-dimensionalen) Quadern die Volumina entsprechend anpassen und mein [mm] $\varepsilon$ [/mm] etwas anders wählen vermute ich.
Danke für jeden Hinweis.
LG,
ChopSuey
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Do 27.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ChopSuey!
> Unsauber formuliert habe ich mir überlegt, dass der Rand
> [mm]\partial K[/mm] bereits von jeder endlichen Teilüberdeckung von
> [mm]K[/mm] "überdeckt wird" und bei geeigneter Wahl von
> [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebungen zB [mm]\left( \frac{\varepsilon}{2n}\right)[/mm]
> bereits die [mm]\varepsilon-[/mm]Umgebungen der Randpunkte bereits
> eine offene Überdeckung bilden, die ebenfalls in jeder
> offenen Überdeckung von [mm]K[/mm] enthalten sind.
>
> Nach dem Satz v. Heine-Borel reicht bereits eine endliche
> Überdeckung für [mm]K[/mm] bzw [mm]\partial K [/mm].
>
> Wenn man nun die [mm]\varepsilon-[/mm]Umgebungen der Randpunkte als
> Intervalle bzw (n-dimensionale) Quader zugrunde legt und
> die Intervall-Längen der [mm]\varepsilon-[/mm]Umgebungen
> entsprechend aufsummiert (endliche Summe, da endliche
> Überdeckung) erhält man sowas wie
>
> [mm]\sum_{i=1}^n \mu(Q_i) =\mu(Q_1) +...+\mu(Q_n) = \underbrace{2\left(\frac{\varepsilon}{2n}\right) +...+ 2\left(\frac{\varepsilon}{2n}\right)}_{n \ \text{summanden}} = 2n\left(\frac{\varepsilon}{2n}\right) = \varepsilon[/mm]
Hoppla, warum sollte die Teilüberdeckung nur aus n vielen offenen Quadern bestehen?
> Damit wäre der Rand [mm]\partial K[/mm] einer kompakten Menge [mm]K \subseteq \IR^n[/mm]
> eine Nullmenge.
Folgerichtig.
> Kann ich das allgemein so machen?
Nein. (Siehe oben.)
Wenn ich nichts übersehen habe, ist die Aussage aus der Aufgabenstellung tatsächlich falsch.
Als Gegenbeispiel im Falle $n=1$ sollte die Wahl von K als die sogenannte "fette Cantormenge", wie sie auf ![[]](/images/popup.gif) diesem Übungsblatt zwischen Aufgabe 2 a) und Aufgabe 2 b) eingeführt wird, taugen.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Do 27.10.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Tobias,
> Hallo ChopSuey!
>
>
> > Unsauber formuliert habe ich mir überlegt, dass der Rand
> > [mm]\partial K[/mm] bereits von jeder endlichen Teilüberdeckung von
> > [mm]K[/mm] "überdeckt wird" und bei geeigneter Wahl von
> > [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebungen zB [mm]\left( \frac{\varepsilon}{2n}\right)[/mm]
> > bereits die [mm]\varepsilon-[/mm]Umgebungen der Randpunkte bereits
> > eine offene Überdeckung bilden, die ebenfalls in jeder
> > offenen Überdeckung von [mm]K[/mm] enthalten sind.
> >
> > Nach dem Satz v. Heine-Borel reicht bereits eine endliche
> > Überdeckung für [mm]K[/mm] bzw [mm]\partial K [/mm].
> >
> > Wenn man nun die [mm]\varepsilon-[/mm]Umgebungen der Randpunkte als
> > Intervalle bzw (n-dimensionale) Quader zugrunde legt und
> > die Intervall-Längen der [mm]\varepsilon-[/mm]Umgebungen
> > entsprechend aufsummiert (endliche Summe, da endliche
> > Überdeckung) erhält man sowas wie
> >
> > [mm]\sum_{i=1}^n \mu(Q_i) =\mu(Q_1) +...+\mu(Q_n) = \underbrace{2\left(\frac{\varepsilon}{2n}\right) +...+ 2\left(\frac{\varepsilon}{2n}\right)}_{n \ \text{summanden}} = 2n\left(\frac{\varepsilon}{2n}\right) = \varepsilon[/mm]
>
> Hoppla, warum sollte die Teilüberdeckung nur aus n vielen
> offenen Quadern bestehen?
Kann ich das für die endliche Teilüberdeckung nicht so angeben? Wie würdest du es notieren? Ich hab' mir allerdings fast gedacht, dass das irgendwie auf sehr wackeligen Füßen steht das Ganze.
>
>
> > Damit wäre der Rand [mm]\partial K[/mm] einer kompakten Menge [mm]K \subseteq \IR^n[/mm]
> > eine Nullmenge.
> Folgerichtig.
>
>
> > Kann ich das allgemein so machen?
> Nein. (Siehe oben.)
>
>
> Wenn ich nichts übersehen habe, ist die Aussage aus der
> Aufgabenstellung tatsächlich falsch.
> Als Gegenbeispiel im Falle [mm]n=1[/mm] sollte die Wahl von K als
> die sogenannte "fette Cantormenge", wie sie auf
> diesem Übungsblatt
> zwischen Aufgabe 2 a) und Aufgabe 2 b) eingeführt wird,
> taugen.
>
Ah, interessant. Danke für den Hinweis. Ich ging intuitiv davon aus, dass der Satz vermutlich stimmt. Ich schaue mir die von dir genannten Links im Anschluß an. Vielen Dank!
LG,
ChopSuey
>
> Viele Grüße
> Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Do 27.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> > Hoppla, warum sollte die Teilüberdeckung nur aus n vielen
> > offenen Quadern bestehen?
>
> Kann ich das für die endliche Teilüberdeckung nicht so
> angeben?
Es existiert irgendein [mm] $m\in\IN_0$, [/mm] so dass m offene Quader zur Überdeckung von [mm] $\partial [/mm] K$ ausreichen.
Das hilft dir leider nicht weiter, da ein solches m größer sein kann, je kleiner du die Quader gewählt hast. Die Summe der Volumina der m Quader kann beliebig groß sein.
> Wie würdest du es notieren?
Deine Argumentation verstehe ich folgendermaßen:
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben.
Es genügt [mm] $\lambda(\partial K)<\varepsilon$ [/mm] zu zeigen.
Sei [mm] $\varepsilon':=\frac\varepsilon{2n}$ [/mm] (oder ähnlich, da hattest du dich ja noch nicht genau festgelegt).
Für jedes [mm] $x\in\partial [/mm] K$ wählen wir einen offenen Quader [mm] $Q_x$ [/mm] mit Seitenlängen [mm] $\varepsilon'$ [/mm] (oder [mm] $2\varepsilon'$ [/mm] oder ähnlich) und [mm] $x\in Q_x$.
[/mm]
Dann bilden die [mm] $Q_x$ [/mm] für [mm] $x\in\partial [/mm] K$ eine offene Überdeckung von [mm] $\partial [/mm] K$.
Da [mm] $\partial [/mm] K$ als abgeschlossene und beschränkte Menge kompakt ist, existiert eine endliche Teilüberdeckung, d.h. es existieren eine natürliche Zahl m und [mm] $x_1,\ldots,x_m\in\partial [/mm] K$ mit [mm] $\partial K\subseteq Q_{x_1}\cup\ldots\cup Q_{x_m}$.
[/mm]
Daher gilt [mm] $\lambda(\partial K)\le \lambda(Q_{x_1})+\ldots+\lambda(Q_{x_m})=m*(\varepsilon')^n$.
[/mm]
Das Problem ist nun, dass wir kein Argument haben, den Term gegen [mm] $\varepsilon$ [/mm] nach oben abzuschätzen.
Du hast übrigens nirgendwo spezielle Eigenschaften von Rändern kompakter Mengen benutzt, abgesehen von der Kompaktheit dieser Ränder.
Demzufolge müsste deine Argumentation, wenn sie korrekt wäre, auch mit beliebigen kompakten Mengen anstelle von Rändern kompakter Mengen funktionieren.
Aber offenbar sind nicht alle kompakten Teilmengen von [mm] $\IR^n$ [/mm] Lebesgue-Nullmengen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Do 27.10.2016 | | Autor: | ChopSuey |
> > > Hoppla, warum sollte die Teilüberdeckung nur aus n vielen
> > > offenen Quadern bestehen?
> >
> > Kann ich das für die endliche Teilüberdeckung nicht so
> > angeben?
> Es existiert irgendein [mm]m\in\IN_0[/mm], so dass m offene Quader
> zur Überdeckung von [mm]\partial K[/mm] ausreichen.
> Das hilft dir leider nicht weiter, da ein solches m
> größer sein kann, je kleiner du die Quader gewählt hast.
> Die Summe der Volumina der m Quader kann beliebig groß
> sein.
>
>
> > Wie würdest du es notieren?
> Deine Argumentation verstehe ich folgendermaßen:
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig vorgegeben.
> Es genügt [mm]\lambda(\partial K)<\varepsilon[/mm] zu zeigen.
>
> Sei [mm]\varepsilon':=\frac\varepsilon{2n}[/mm] (oder ähnlich, da
> hattest du dich ja noch nicht genau festgelegt).
> Für jedes [mm]x\in\partial K[/mm] wählen wir einen offenen Quader
> [mm]Q_x[/mm] mit Seitenlängen [mm]\varepsilon'[/mm] (oder [mm]2\varepsilon'[/mm] oder
> ähnlich) und [mm]x\in Q_x[/mm].
>
> Dann bilden die [mm]Q_x[/mm] für [mm]x\in\partial K[/mm] eine offene
> Überdeckung von [mm]\partial K[/mm].
> Da [mm]\partial K[/mm] als
> abgeschlossene und beschränkte Menge kompakt ist,
> existiert eine endliche Teilüberdeckung, d.h. es
> existieren eine natürliche Zahl m und
> [mm]x_1,\ldots,x_m\in\partial K[/mm] mit [mm]\partial K\subseteq Q_{x_1}\cup\ldots\cup Q_{x_m}[/mm].
>
> Daher gilt [mm]\lambda(\partial K)\le \lambda(Q_{x_1})+\ldots+\lambda(Q_{x_m})=m*(\varepsilon')^n[/mm].
Jaa, ganz genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das Problem ist nun, dass wir kein Argument haben, den Term
> gegen [mm]\varepsilon[/mm] nach oben abzuschätzen.
Kann ich denn meine [mm] $\varepsilon$ [/mm] nicht in Abhängigkeit von dem oben eingeführten $ m [mm] \in \IN_0$ [/mm] angeben? Oder gerate ich damit in Schwierigkeiten, wenn $ m $ sehr groß wird? Bzw anders gefragt, warum darf das $ [mm] \varepsilon$ [/mm] nicht von $ m $ abhängen?
>
>
> Du hast übrigens nirgendwo spezielle Eigenschaften von
> Rändern kompakter Mengen benutzt, abgesehen von der
> Kompaktheit dieser Ränder.
> Demzufolge müsste deine Argumentation, wenn sie korrekt
> wäre, auch mit beliebigen kompakten Mengen anstelle von
> Rändern kompakter Mengen funktionieren.
Das ist mir vorhin garnicht aufgefallen aber stimmt natürlich. Guter Hinweis. Der Rand einer kompakten Menge in $ [mm] \IR^n$ [/mm] hat ja keine nennenswerten weiteren Eigenschaften, die ich hier hätte nutzen können, oder?
> Aber offenbar sind nicht alle kompakten Teilmengen von
> [mm]\IR^n[/mm] Lebesgue-Nullmengen.
Theoretisch müssten alle kompakten Mengen in $ [mm] \IR^n$, [/mm] die Jordan-Nullmengen sind, auch Lebesgue-Nullmengen sein (nach Heine-Borel). Das ist auch das einzige, das ich bisher herausgefunden bzw so halb aus meinen obigen Überlegungen folgt.
LG
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Do 27.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> > Daher gilt [mm]\lambda(\partial K)\le \lambda(Q_{x_1})+\ldots+\lambda(Q_{x_m})=m*(\varepsilon')^n[/mm].
>
> Jaa, ganz genau
>
> >
> > Das Problem ist nun, dass wir kein Argument haben, den Term
> > gegen [mm]\varepsilon[/mm] nach oben abzuschätzen.
>
> Kann ich denn meine [mm]\varepsilon[/mm] nicht in Abhängigkeit von
> dem oben eingeführten [mm]m \in \IN_0[/mm] angeben? Oder gerate ich
> damit in Schwierigkeiten, wenn [mm]m[/mm] sehr groß wird? Bzw
> anders gefragt, warum darf das [mm]\varepsilon[/mm] nicht von [mm]m[/mm]
> abhängen?
Weil wir bei Wahl von [mm] $\varepsilon'$ [/mm] noch überhaupt kein m gegeben haben, sondern es erst in Abhängigkeit von unserer Wahl von [mm] $\varepsilon'$ [/mm] ein dazu passendes m erhalten.
(Eine unpräzise, aber möglicherweise hilfreiche Vorstellung: Je kleiner wir [mm] $\varepsilon'$ [/mm] und damit unsere Quader wählen, desto mehr Quader wird man typischerweise brauchen, um [mm] $\partial [/mm] K$ zu überdecken.)
> > Du hast übrigens nirgendwo spezielle Eigenschaften von
> > Rändern kompakter Mengen benutzt, abgesehen von der
> > Kompaktheit dieser Ränder.
> > Demzufolge müsste deine Argumentation, wenn sie
> korrekt
> > wäre, auch mit beliebigen kompakten Mengen anstelle von
> > Rändern kompakter Mengen funktionieren.
>
> Das ist mir vorhin garnicht aufgefallen aber stimmt
> natürlich. Guter Hinweis. Der Rand einer kompakten Menge
> in [mm]\IR^n[/mm] hat ja keine nennenswerten weiteren Eigenschaften,
> die ich hier hätte nutzen können, oder?
Da kenne ich mich nicht gut mit aus.
Was man sicher sagen kann: Ränder abgeschlossener Mengen sind nirgends dicht.
> > Aber offenbar sind nicht alle kompakten Teilmengen von
> > [mm]\IR^n[/mm] Lebesgue-Nullmengen.
>
> Theoretisch müssten alle kompakten Mengen in [mm]\IR^n[/mm], die
> Jordan-Nullmengen sind, auch Lebesgue-Nullmengen sein (nach
> Heine-Borel). Das ist auch das einzige, das ich bisher
> herausgefunden bzw so halb aus meinen obigen Überlegungen
> folgt.
(Mit Jordan-Maß/Nullmengen kenne ich mich auch nicht aus.
Wikipedia-Infos dazu entnehme ich Folgendes: )
Allgemeiner ist jede (nicht notwendig kompakte) Jordan-Nullmenge A auch eine Lebesgue-Nullmenge.
Im Falle einer kompakten Menge A gilt auch die Umkehrung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Do 27.10.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Alles klar! Gerade der Punkt mit [mm] $\varepsilon$ [/mm] war wichtig. vielen Dank für die Korrektur und Rückmeldung, Tobias. Du hast mir sehr geholfen! 
LG und schönen Abend,
ChopSuey
|
|
|
|
