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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Fr 12.08.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo Forum
Ich habe mich in die Begriffe schwache Lösung von partiellen Differentialgleichungen und Sobolev Räume etwas eingearbeitet. Nun stellt sich mir folgende Frage: Wenn ich ein Anfangswertproblem habe, indem die Randbedingungen "einfach" sind. D.h. die Funktion oder eine ihrer Ableitungen besitzt auf dem Rand einen vorgegebenen Wert.
Meine Frage dreht sich um die Wahl des Testfunktionenraums. Wenn ich für $\ u $ eine partielle Differentialgleichung habe und folgende Randbedingung:
[mm] u = a \in \IR \text{auf dem Rand meines Gebietes[/mm]
Dann kann ich ja annehmen, dass $\ u =0$ auf dem Rand ist und ich definiere eine schwache Lösung über den Testfunktionenraum $\ [mm] H^k_0 [/mm] $. (der übliche Sobolevraum).
Wenn auf dem Rand Werte für irgendwelche Ableitungen von $\ u $ vorgegeben sind, dann muss ich ja apriori den Testfunktionenraum $\ [mm] H^k [/mm] $ wählen. Hier kann ich ja nicht eine $\ [mm] H^k_0 [/mm] $ Lösung definieren, oder?
Und der letzte Fall, der mich interessieren würde, wäre folgender: Was ist, wenn ich keine Randbedingung habe? Gesucht ist einfach eine Lösung einer PDE in einem Gebiet. Wie kommt man dort auf eine schwache Lösung resp. den geeigneten Testfunktionenraum. Als Bsp, etwas einfaches:
[mm] -\Delta u = f \text{ auf } U \subset \IR^n [/mm]
Ich würde jetzt "normal" eine glatte Funktion mit kompakten Support in die Gleichung multiplizieren und dann partiell integrieren. Resultat:
[mm] \integral_{U}{\nabla u \nabla \phi dx}=\integral_{U}}{f \phi dx} \forall \phi \in C^\infty_0(U)[/mm]
Diese Gleichung möchte ich ja eigentlich für alle Funktionen in irgendwelchen Sobolevräumen haben.
Hier würde man eine schwache $\ [mm] H^1_0 [/mm] $ Lösung definieren oder?
Gibt es dafür irgendeine Strategie?
Mich verwirrt, dass in letzterer Situation manchmal eine $\ [mm] H^1$ [/mm] Lösung definiert wird und manchmal eine $\ [mm] H^1_0 [/mm] $. Kann man dann einfach "formal" schreiben:
$\ u $ ist eine Lösung von der Klasse $\ [mm] H^1 [/mm] $, falls
[mm] \integral_{U}{\nabla u \nabla \phi dx}=\integral_{U}}{f \phi dx} \forall \phi \in H^1(U)[/mm]
und genau gleich eine Lösung der Klasse $\ [mm] H^1_0 [/mm] $ einfach so geändert:
[mm] \integral_{U}{\nabla u \nabla \phi dx}=\integral_{U}}{f \phi dx} \forall \phi \in H^1_0(U)[/mm]
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Mo 15.08.2011 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Ich versuch mich mal an einer Antwort :)
> Nun stellt sich mir folgende Frage: Wenn ich
> ein Anfangswertproblem habe, indem die Randbedingungen
> "einfach" sind. D.h. die Funktion oder eine ihrer
> Ableitungen besitzt auf dem Rand einen vorgegebenen Wert.
> Meine Frage dreht sich um die Wahl des
> Testfunktionenraums. Wenn ich für [mm]\ u[/mm] eine partielle
> Differentialgleichung habe und folgende Randbedingung:
>
> [mm]u = a \in \IR \text{auf dem Rand meines Gebietes[/mm]
>
> Dann kann ich ja annehmen, dass [mm]\ u =0[/mm] auf dem Rand ist
> und ich definiere eine schwache Lösung über den
> Testfunktionenraum [mm]\ H^k_0 [/mm]. (der übliche Sobolevraum).
> Wenn auf dem Rand Werte für irgendwelche Ableitungen von [mm]\ u[/mm]
> vorgegeben sind, dann muss ich ja apriori den
> Testfunktionenraum [mm]\ H^k[/mm] wählen. Hier kann ich ja nicht
> eine [mm]\ H^k_0[/mm] Lösung definieren, oder?
Den [mm] H^k_0 [/mm] kannst du nur bei homogenen Dirichletbedingungen nehmen. Ansonsten arbeitest du immer im [mm] H^1. [/mm] Die Randdaten kannst du auf verschiedene Arten einbauen. Du kannst die Verletzung der Randbedingung bestrafen oder das entsprechende Gleichungssystem anpassen und die Randdaten in die rechte Seite einbauen. Für den Laplace-Operator ergibt sich ja die schwache Formulierung aus
[mm] $\int_\Omega-\Delta u\cdot [/mm] v = [mm] \int_\Omega\nabla u\nabla [/mm] v - [mm] \int_\Gamma \partial_n u\cdot [/mm] v = [mm] \int_\Omega f\cdot [/mm] u$
für alle [mm] $v\in H^1(\Omega)$. [/mm] Wenn du deine Ansatzfunktionen wählst musst du jetzt die aussortieren, bei denen die Randdaten gegeben sind und bringst diese auf die rechte Seite.
> Und der letzte Fall, der mich interessieren würde, wäre
> folgender: Was ist, wenn ich keine Randbedingung habe?
Dann ist die Aufgabe nicht sinnvoll gestellt, da es keine eindeutige Lösung gibt.
> Gesucht ist einfach eine Lösung einer PDE in einem Gebiet.
> Wie kommt man dort auf eine schwache Lösung resp. den
> geeigneten Testfunktionenraum. Als Bsp, etwas einfaches:
>
> [mm]-\Delta u = f \text{ auf } U \subset \IR^n[/mm]
>
> Ich würde jetzt "normal" eine glatte Funktion mit
> kompakten Support in die Gleichung multiplizieren und dann
> partiell integrieren. Resultat:
>
> [mm]\integral_{U}{\nabla u \nabla \phi dx}=\integral_{U}}{f \phi dx} \forall \phi \in C^\infty_0(U)[/mm]
>
> Diese Gleichung möchte ich ja eigentlich für alle
> Funktionen in irgendwelchen Sobolevräumen haben.
> Hier würde man eine schwache [mm]\ H^1_0[/mm] Lösung definieren
> oder?
> Gibt es dafür irgendeine Strategie?
> Mich verwirrt, dass in letzterer Situation manchmal eine [mm]\ H^1[/mm]
> Lösung definiert wird und manchmal eine [mm]\ H^1_0 [/mm]. Kann man
> dann einfach "formal" schreiben:
>
> [mm]\ u[/mm] ist eine Lösung von der Klasse [mm]\ H^1 [/mm], falls
>
>
> [mm]\integral_{U}{\nabla u \nabla \phi dx}=\integral_{U}}{f \phi dx} \forall \phi \in H^1(U)[/mm]
>
> und genau gleich eine Lösung der Klasse [mm]\ H^1_0[/mm] einfach so
> geändert:
>
>
> [mm]\integral_{U}{\nabla u \nabla \phi dx}=\integral_{U}}{f \phi dx} \forall \phi \in H^1_0(U)[/mm]
>
Beim ersten Fall hast du homogene Neumannbedingungen (siehe meine Gleichung von oben und beachte dass dann [mm] $\partial [/mm] u=0$ gilt) und beim zweiten homogene Dirichlet-Bedingungen (das steckt im Ansatzraum drin).
Ich hoffe ich konnte dir ein kleines bisschen helfen.
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