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Forum "Uni-Analysis" - Randextrema im R^3
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Randextrema im R^3: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Do 15.09.2005
Autor: NyctalusNoctula

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

[mm]f(x,y)= x^2 + xy + y^2 - 6x + 2 [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


D = {(x,y) € [mm]R^2: x^2+y^2 <= 36 [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}
Bei dieser Ebene soll ich sämtliche Extrema bestimmen. Extrema im inneren hab ich schon. Nun will ich noch die Randextrema suchen.

Mein Ansatz hierzu:
Setze: [mm]y = 6 \sin t und x= 6 \cos t [/mm]

Wenn ich dies nun in die f(x,y) einsetze, ableite und 0 setzt erhalte ich
[mm]\cos 2t = - \sin t[/mm]
und damit folgende 3 Lösungen, die weiter unterscht werden müssen:
[mm]t_1= \bruch{\pi}{2}[/mm]
[mm]t_2= \bruch{7\pi}{6}[/mm]
[mm]t_1= \bruch{11\pi}{6}[/mm]

Wähle ich aber x und y umgekehrt, erhalte ich:
[mm]\cos 2t = \cos t[/mm]
und damit
t=0

Nun zu meiner Frage:
Ich vermute, die erste Lösung ist richtig, aber warum können überhaupt verschiedene Lösungen entstehen?
x und y sind doch beliebig festlegbar, oder?

        
Bezug
Randextrema im R^3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:22 Do 15.09.2005
Autor: SEcki


> Mein Ansatz hierzu:
>  Setze: [mm]y = 6 \sin t und x= 6 \cos t[/mm]

sieht gut aus.

> Wenn ich dies nun in die f(x,y) einsetze, ableite und 0
> setzt erhalte ich
>  [mm]\cos 2t = - \sin t[/mm]

Wie kommst du darauf? Ich erhalte eher [m]cos^2(t)-sin^2(t)-cos(t)=0[/m]. Rechne doch damit mal weiter ... oder überprüfe mein Ergebnis.

> Nun zu meiner Frage:
>  Ich vermute, die erste Lösung ist richtig, aber warum
> können überhaupt verschiedene Lösungen entstehen?
>  x und y sind doch beliebig festlegbar, oder?

Du musst schon den ganzen Kreis durchlaufen, das ist wahr. Wenn du ihn aber anders parametrisierst, könen für unterschiedliche t's die gleichen x, y Werte herauskommen.

SEcki

Bezug
                
Bezug
Randextrema im R^3: Antwort zum Ansatz / Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 Fr 16.09.2005
Autor: NyctalusNoctula

also, in f(x,y) eingesetzt erhält man:
[mm]g(t)=38+36 \sin t \cos t - 36 \cos t[/mm]

mit dem Theorem: [mm]\sin t * \cos t = \bruch {1}{2} * \sin 2t [/mm]
erhält man:

[mm]g(t)=38 + 18 \sin2t - 36 \cos t[/mm]
[mm]g'(t) = 36 \cos 2t + 36 \sin t [/mm]

bzw. mit dem 2. Ansatz:
[mm]g'(t) = 36 \cos 2t - 36 \cos t [/mm]

gibt es beim 2. Ansatz noch weitere Lösungen? Es müssen doch mindestens 2 Lösungen rauskommen, da eine geschlossene Kurve ja mind. einen Hoch- und einen Tiefpunt haben muss.

Bezug
                        
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Randextrema im R^3: ja!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:49 Sa 17.09.2005
Autor: leduart

Hallo
[mm] cos(2*\pi/3)=cos(4*pi/3) [/mm]
oder auch die Gleichung cos 2t-cost [mm] =cos^{2}t-sin^{2}t-cost =2cos^t-cost-1 [/mm]
benutzen qu. Gl. für cos lösen cost=1 und cost=-0.5
Gruss leduart

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Randextrema im R^3: Wo ist der Fehler?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:21 Sa 17.09.2005
Autor: SEcki

Wo ist denn der Fehler? Ich habe blos anders abgeleitet ... das ist trotzdem richtig imo.

SEcki

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Randextrema im R^3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:34 So 18.09.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Ich denke auf die Frage wurde hinreichend eingegangen, so dass erst eine weitere Reaktion des Fragestellers (der zudem eine Antwort als falsch markiert hat ohne darauf einzugehen) erfolgen sollte.

Viele Grüße
Stefan

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