Randpunkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 So 19.04.2009 | | Autor: | thadod |
Sehr geehrter Matheraum Team.
Ich besuche dieses Semester Analysis 2 und unsere erste Einführungsveranstaltung handelte von:
Topologie im [mm] \IR^{n}
[/mm]
1. Der n- Dimensionale Raum
2. Beschreibung von Teilmengen darin
3. Offene und abgeschlossene Mengen
Zu Punkt 1. war eigentlich noch alles ziemlich klar. Hier wurde eigentlich nur nochmal ein wenig aus den Vorkenntnissen der Linearen Algebra eingegangen.
Zu Punkt 2. war es schon ein wenig anders. Uns wurde hier der Begriff Randpunkt vor Augen gehalten. Was mir jetzt unklar ist, ist folgendes:
Wir haben eine Kugel { [mm] \vec{x} \in \IR^{n} [/mm] | [mm] |\vec{x}-\vec{a}| [/mm] <r } mit [mm] \vec{a} \in \IR^{n} [/mm] als Mittelpunkt definiert. Diese Kugel ist also meiner Meinung nach eine Umgebung des Punktes [mm] \vec{a}.
[/mm]
Ich habe hierzu mal folgendes Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gehe ich nun richtig in der Annahme, dass es sich nur um einen Randpunkt handelt, sofern dieser Mittelpunkt [mm] \vec{a} [/mm] auf dem Rand unserer Menge A liegt???
Was für unsere Kugel wiederum bedeuten würde, dass diese ja sowohl Punkte aus der Menge A als auch Punkte aus der Menge die nicht in A sondern im [mm] \IR^{n} [/mm] liegen enthält.
Für das Bild, welches ich eingefügt habe, ist mir dies ja schon ein bischen einleuchtend. Was ich mir allerdings nicht so richtig vorstellen kann, sind konkrete Beispiele hierfür.
Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir meine Annahme bezüglich des Randpunktes erklären könntet und vielleicht noch 2 Beispiele aufführen könntet wo der Mittelpunkt [mm] \vec{a} [/mm] zum einen Randpunkt und zum anderen kein Randpunkt ist.
Zu Punkt 3 würde ich dann eventuell noch einmal später kommen.
Ich danke euch vielmals im Vorraus und vielen Dank für eure Unterstützung.
Mit freundlichen Grüßen thadod
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:45 Di 21.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo thadod!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich besuche dieses Semester Analysis 2 und unsere erste
> Einführungsveranstaltung handelte von:
>
> Topologie im [mm]\IR^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 1. Der n- Dimensionale Raum
> 2. Beschreibung von Teilmengen darin
> 3. Offene und abgeschlossene Mengen
>
> Zu Punkt 1. war eigentlich noch alles ziemlich klar. Hier
> wurde eigentlich nur nochmal ein wenig aus den
> Vorkenntnissen der Linearen Algebra eingegangen.
>
> Zu Punkt 2. war es schon ein wenig anders. Uns wurde hier
> der Begriff Randpunkt vor Augen gehalten. Was mir jetzt
> unklar ist, ist folgendes:
> Wir haben eine Kugel { [mm]\vec{x} \in \IR^{n}[/mm] |
> [mm]|\vec{x}-\vec{a}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
<r } mit [mm]\vec{a} \in \IR^{n}[/mm] als
> Mittelpunkt definiert. Diese Kugel ist also meiner Meinung
> nach eine Umgebung des Punktes [mm]\vec{a}.[/mm]
> Ich habe hierzu mal folgendes Bild:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Gehe ich nun richtig in der Annahme, dass es sich nur um
> einen Randpunkt handelt, sofern dieser Mittelpunkt [mm]\vec{a}[/mm]
> auf dem Rand unserer Menge A liegt???
Genau. Oder noch etwas genauer:
Liegt er naemlich im inneren, so kann man den Radius klein genug waehlen, so dass die Kugel komplett in der Menge liegt. Und liegt der Punkt ausserhalb, so kann man den Radius klein genug waehlen, so dass die Kugel komplett ausserhalb liegt.
Nur wenn der Mittelpunkt auf dem Rand liegt ist es so, dass egal fuer welchen Radius $r$ sich immer Punkte aus der Menge und Punkte ausserhalb der Menge in der Kugel befinden.
> Was für unsere Kugel wiederum bedeuten würde, dass diese
> ja sowohl Punkte aus der Menge A als auch Punkte aus der
> Menge die nicht in A sondern im [mm]\IR^{n}[/mm] liegen enthält.
> Für das Bild, welches ich eingefügt habe, ist mir dies ja
> schon ein bischen einleuchtend. Was ich mir allerdings
> nicht so richtig vorstellen kann, sind konkrete Beispiele
> hierfür.
Nehmen wir mal das Intervall $[0, 1]$ im [mm] $\IR$. [/mm] Die Randpunkte sind 0 und 1: in beiden Faellen enthaelt jeder Ball mit Radius $r > 0$ (sagen wir mal $r < 1$, der Einfachkeit halber) Punkte innerhalb und ausserhalb der Menge, fuer $a = 0$ etwa $-r/2$ (ausserhalb der Menge) und $r/2$ (innerhalb der Menge).
Hat man jetzt irgendein $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$ mit $0 < x < 1$, so kann man $r = [mm] \min\{ x, 1 - x \}$ [/mm] waehlen: dann liegt der Ball mit Radius $r$ um $x$ vollstaendig in $[0, 1]$.
> Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir meine Annahme
> bezüglich des Randpunktes erklären könntet und vielleicht
> noch 2 Beispiele aufführen könntet wo der Mittelpunkt
> [mm]\vec{a}[/mm] zum einen Randpunkt und zum anderen kein Randpunkt
> ist.
Ein weiteres Beispiel, das nicht ganz so einfach ist:
Nehmen wir die Menge $A = [mm] \{ \frac{1}{n} \mid n \in \IN \}$.
[/mm]
Hier ist jedes Element ein Randpunkt (die Menge hat keine inneren Punkte, dafuer genau einen Haeufungspunkt, naemlich 0). Es gilt naemlich [mm] $\frac{1}{n + 1} [/mm] < [mm] \frac{1}{n} [/mm] - [mm] \varepsilon \Longleftrightarrow [/mm] n < (n + 1) (1 - n [mm] \varepsilon) [/mm] = 1 + n - (n + [mm] n^2) \varepsilon \Longleftrightarrow \varepsilon [/mm] < [mm] \frac{1}{n + n^2}$; [/mm] dies bedeutet, dass wenn man [mm] $\varepsilon [/mm] < [mm] \frac{1}{n + n^2}$ [/mm] waehlt (was ja moeglich ist, da [mm] $\frac{1}{n + n^2} [/mm] > 0$ ist), dass [mm] $\frac{1}{n} [/mm] - [mm] \varepsilon$ [/mm] zwischen [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{n + 1}$ [/mm] liegt; wenn man also einen Ball mit Radius [mm] $\varepsilon$ [/mm] um [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] legt, dann liegt der Punkt [mm] $\frac{1}{n} [/mm] - [mm] \varepsilon/2$ [/mm] in dem Ball aber ausserhalb der Menge.
Oder noch etwas krasser: betrachte die Menge $A = [mm] \IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$. [/mm] Dann ist jeder Punkt aus [mm] $\IR$ [/mm] Randpunkt und Haeufungspunkt, und $A$ hat keine inneren Punkte. Dies liegt daran, dass [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt (also man jede reelle Zahl beliebig nah durch einen Bruch annaehern kann -- deswegen ist jeder Punkt Haeufungspunkt) und zwischen je zwei rationalen Zahlen immer eine reelle Zahl liegt, die keine rationale Zahl ist (deswegen gibt es keine inneren Punkte und jeder Punkt) -- beide Eigenschaften zusammen besagen, dass jeder Punkt Randpunkt ist, da zu jedem $a [mm] \in \IR$ [/mm] in jedem Ball um $a$ mindestens ein Element aus [mm] $\IQ$ [/mm] und eins aus [mm] $\IR \setminus \IQ$ [/mm] liegt.
Und nochmal etwas anschaulicher:
Nehmen wir die Kugel [mm] $\{ \vec{x} \in \IR^{n} \mid |\vec{x}-\vec{a}|
Wenn du in der Definition der Kugel $<$ durch [mm] $\le$ [/mm] ersetzt, bleiben die inneren Punkte und die Randpunkte dieselben. Allerdings siehst du dann, dass die Randpunkte nun zur Kugel dazugehoeren.
Ich hoffe, das hilft dir etwas weiter.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Di 21.04.2009 | | Autor: | thadod |
Weiterhelfen tut es mir auf jedenfall: Muss es mir nur nochmal genauer durch den Kopf gehen lassen.
Ich danke dir vielmals für deine Hilfe Felix.
MFG thadod
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