Randverteilung bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] $X=(X_1,\ldots,X_n)^T\sim\mathcal{N}(\mu,V)$. [/mm] Zeigen Sie, dass dann gilt [mm] $X_i\sim\mathcal{N}(\mu_i,V_{ii})$ [/mm] für alle [mm] $1\leqslant i\leqslant [/mm] n$. |
Hallo!
Ich muss also die Randverteilung bestimmen. Ich weiß, dass ich dazu
[mm] $f_i(X_i)=\int_{-\infty}^{\infty}\ldots\int_{-\infty}^{\infty}f(x_1,\ldots,x_n)d\, x_1\ldots d\, x_{i-1}d\, dx_{i+1}\ldots d\, x_n$
[/mm]
berechnen muss, wobei
[mm] $f(x_1,\ldots,x_n)=(2\pi)^{-n/2}\text{det}(V)^{-1/2}\exp\left\{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T V^{-1}(x-\mu)\right\}$
[/mm]
die gemeinsame Dichte ist.
Aber jetzt bekomme ich es nicht hin, das auszurechnen. Mein Problem ist wohl, dass ich nicht weiß, wie ich
[mm] $\text{det}(V)^{-1/2}$
[/mm]
und
[mm] $-\frac{1}{2}(x-\mu)^T V^{-1}(x-\mu)$
[/mm]
berechnen kann.
Es ist [mm] $V=\begin{pmatrix}var(X_1) & \ldots & cov(X_1,X_n)\\\vdots & \ddots & \vdots\\cov(X_n,X_1) & \ldots & var(X_n)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sigma_1^2 & \ldots & cov(X_1,X_n)\\\vdots & \ddots & \vdots\\cov(X_n,X_1) & \ldots & \sigma_n^2\end{pmatrix}$,
[/mm]
aber ich weiß nicht, wie man davon nun die Inverse berechnen kann bzw. die Determinante.
Kann mir bitte jemand helfen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mi 21.05.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ist dir bekannt, dass $a^TX$ univariat normalverteilt ist fuer alle [mm] $a=(a_1,\ldots,a_n)^T\in\IR^n$, $a\ne0$? [/mm]
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Ja, das kommt, weil das dann eine Linearkombination univariater Normalverteilungen ist und Linearkombinationen univariat normalverteilter Zufallsvariablen selbst univariat normalverteilt ist, richtig?
Bzw. es gibt auch einen Satz, der besagt: $X$ ist genau dann multivariat normalverteilt, wenn $a^TX$ für alle [mm] $a\in\mathbb{R}^n$ [/mm] univariat normalverteilt ist.
Wieso fragst Du? Kann mir das weiterhelfen?
[mm] \textbf{Edit}
[/mm]
Kann ich dann einfach [mm] $a=e_i$ [/mm] wählen (also [mm] $e_i=(0,0,...,0,1,0,0,...,0)$ [/mm] mit der 1 an i-ter Stelle und dann bekomme ich [mm] $a^{T}X=X_i$? [/mm] Also ist [mm] $X_i$ [/mm] univariat normalverteilt? Und es gilt [mm] $E(X_i)=\mu_i, Var(X_i)=\sigma_i^2=V_{ii}$ [/mm] also ist die Behauptung schon gezeigt??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Mi 21.05.2014 | | Autor: | luis52 |
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> Kann ich dann einfach [mm]a=e_i[/mm] wählen (also
> [mm]e_i=(0,0,...,0,1,0,0,...,0)[/mm] mit der 1 an i-ter Stelle und
> dann bekomme ich [mm]a^{T}X=X_i[/mm]? Also ist [mm]X_i[/mm] univariat
> normalverteilt? Und es gilt [mm]E(X_i)=\mu_i, Var(X_i)=\sigma_i^2=V_{ii}[/mm]
> also ist die Behauptung schon gezeigt??
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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Aber woher weiß ich denn eigentlich, dass [mm] $E(X_i)=\mu_i$ [/mm] und dass [mm] $Var(X_i)=\sigma_i^2$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mi 21.05.2014 | | Autor: | luis52 |
> Aber woher weiß ich denn eigentlich, dass [mm]E(X_i)=\mu_i[/mm] und
> dass [mm]Var(X_i)=\sigma_i^2[/mm]?
>
>
>
Kennst du nicht auch die alten Bauernregeln [mm] $\operatorname{E}[a^TX]=a^T\operatorname{E}[X]$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[a^TX]=a^T\operatorname{Var}[X]a$?
[/mm]
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Doch, kenne ich.
 Dankesehr für die schöne Hilfe!
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Achso, genau genommen, kenne ich nur
[mm] $Cov(a^TX)=a^T [/mm] Cov(X)a$
und nicht
$Var(a^TX)=a^TVar(X)a$.
Hängt das zusammen?
Edit: Es gilt doch ganz einfach für eine reellwertige Zufallsvariable, dass
$Cov(X)=Var(X)$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mi 21.05.2014 | | Autor: | luis52 |
> Achso, genau genommen, kenne ich nur
>
> [mm]Cov(a^TX)=a^T Cov(X)a[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") [mm] $Cov(a^TX,a^TY)=a^T [/mm] Cov(X,Y)a$ fuer zwei Zufallsvektoren $X,Y$.
>
> und nicht
>
> [mm]Var(a^TX)=a^TVar(X)a[/mm].
$Var[X]=Cov[X,X]$
>
> Hängt das zusammen?
>
> Edit: Es gilt doch ganz einfach für eine reellwertige
> Zufallsvariable, dass
>
> [mm]Cov(X)=Var(X)[/mm].
Ja, siehe oben.
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