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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 So 05.05.2013 | | Autor: | custos |
| Aufgabe | Seien [mm]X:\Omega\to\{0,1,2\}[/mm] und [mm]Y:\Omega\to\{0,1\}[/mm] Zufallsvariablen auf einem diskreten Wahrschein-
lichkeitsraum [mm](\Omega,P)[/mm]. In der nachfolgenden Tabelle ist die Zähldichte [mm]P \{X = x, Y = y\}[/mm] der gemeinsamen Verteilung von [mm](X, Y)[/mm] angegeben:
+-----+-----+-----+------+
| - | x=0 | x=1 | x=2 |
+=====+=====+=====+======+
| y=0 | 1/4 | 1/6 | 1/12 |
+-----+-----+-----+------+
| y=1 | 1/6 | 1/9 | 2/9 |
+-----+-----+-----+------+
(a) Bestimmen Sie die Verteilungen [mm]P^X[/mm] von X und [mm]P^Y[/mm] von Y . (Diese Verteilungen werden
Randverteilungen des Zufallsvektors [mm](X, Y)[/mm] genannt.)
(b) Sind X und Y unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort! |
Mir fehlt zu obiger Aufgabe noch ein bisschen der erste Ansatz. Was genau ist damit gemeint, dass ich die Randverteilung von X bzw. Y bestimmen soll? Laut Skript ist die definiert als:
[mm]P^X(B) = P \{\omega\in\Omega | X(\omega) \in B\}[/mm], wobei B eine Teilmenge der Bildmenge von X bzw. Y ist.
Was genau soll ich in der Aufgabe jetzt bestimmen? [mm]P^X[/mm] mit oder ohne Abhängigkeit von [mm]B[/mm]?? Und wie stelle ich das an?
Danke für eure Tipps! ;)
( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 So 05.05.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
> Seien [mm]X:\Omega\to\{0,1,2\}[/mm] und [mm]Y:\Omega\to\{0,1\}[/mm]
> Zufallsvariablen auf einem diskreten Wahrschein-
> lichkeitsraum [mm](\Omega,P)[/mm]. In der nachfolgenden Tabelle ist
> die Zähldichte [mm]P \{X = x, Y = y\}[/mm] der gemeinsamen
> Verteilung von [mm](X, Y)[/mm] angegeben:
>
> +-----+-----+-----+------+
> | - | x=0 | x=1 | x=2 |
> +=====+=====+=====+======+
> | y=0 | 1/4 | 1/6 | 1/12 |
> +-----+-----+-----+------+
> | y=1 | 1/6 | 1/9 | 2/9 |
> +-----+-----+-----+------+
>
> (a) Bestimmen Sie die Verteilungen [mm]P^X[/mm] von X und [mm]P^Y[/mm] von Y
> . (Diese Verteilungen werden
> Randverteilungen des Zufallsvektors [mm](X, Y)[/mm] genannt.)
>
> (b) Sind X und Y unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort!
Die Tabelle enthält die Zähldichte der gemeinsamen Verteilung von [mm]X [/mm] und [mm]Y[/mm] also der Verteilung des Vektor [mm]\vektor{X \\ Y} [/mm] man kann ihr z.B. entnehmen:
[mm]\mathbf{P}\big(X=1,Y=1\big)=\frac{1}{9}[/mm]
Was du jetzt machen sollst, ist die Zähldichte von [mm]X[/mm] zu bestimmen und die von [mm]Y[/mm].
Also z.B.
[mm]\mathbf{P}\big(X=1 \big)= ?[/mm], usw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 05.05.2013 | | Autor: | custos |
Habe ich das richtig verstanden, dass ich als Lösung für (a) einfach die folgenden Tabellen angeben kann?
+------+------+-------+
| x=0 | x=1 | x=2 |
+======+======+=======+
| 5/12 | 5/18 | 11/36 |
+------+------+-------+
+-----+-----+
| y=0 | y=1 |
+=====+=====+
| 1/2 | 1/2 |
+-----+-----+
Und hat es eine besondere Bedeutung, dass bei der ersten Tabelle in der Summe nicht 1, sondern nur 5/6 herauskommt?
Und ich würde jetzt sagen, dass die beiden nicht stochastisch unabhängig sind, da z.B. [mm]p(x=1,y=0) = \frac 16 \neq p(x=1)\cdot p(y=0) = \frac 5{18}\cdot \frac 12 = \frac 59[/mm] gilt, richtig?
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Hallo,
> Habe ich das richtig verstanden, dass ich als Lösung für
> (a) einfach die folgenden Tabellen angeben kann?
>
> +------+------+-------+
> | x=0 | x=1 | x=2 |
> +======+======+=======+
> | 5/12 | 5/18 | 11/36 |
> +------+------+-------+
>
> +-----+-----+
> | y=0 | y=1 |
> +=====+=====+
> | 1/2 | 1/2 |
> +-----+-----+
>
> Und hat es eine besondere Bedeutung, dass bei der ersten
> Tabelle in der Summe nicht 1, sondern nur 5/6 herauskommt?
Da hast du dich verrechnet: es kommt auch bei der ersten tabelle 1 heraus, und ja: es ist richtig.
>
> Und ich würde jetzt sagen, dass die beiden nicht
> stochastisch unabhängig sind, da z.B. [mm]p(x=1,y=0) = \frac 16 \neq p(x=1)\cdot p(y=0) = \frac 5{18}\cdot \frac 12 = \frac 59[/mm]
> gilt, richtig?
Genau so ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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