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Randvtlg. der biv. Gaußvertlg.: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Mi 08.04.2009
Autor: grenife

Aufgabe
Sei
[mm] $f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{(x^2-2\rho xy+y^2)}{2(1-\rho^2)}\right\}$, [/mm] für [mm] $x,y\in\mathbb{R}$ [/mm] eine gemeinsame Dichtefunktion zweier ZVen.

a) Bestimmen Sie die Randdichten von $X$ und $Y$.
b) Sind $X$ und $Y$ stoch. unabhängig?
c) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von Y unter X.
d) Bestimmen Sie zwei Konstanten $a$ und $b$, so dass $aX+bY$ standardnormalverteilt und unabhängig von $X$ ist.

Hallo zusammen,

habe zu der ersten Teilaufgabe eine Frage. Ich "sehe", dass $f$ die gemeinsame Dichte einer bivariaten Normalverteilung mit [mm] $\mu_1=\mu_2=0$ [/mm] und [mm] $\sigma_1=\sigma_2=1$ [/mm] ist.
Die Randdichten bestimme ich ja, indem ich die andere Variable rausintegriere, nur frage ich mich gerade, wie ich dabei vorgehen soll.

[mm] $\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{(x^2-2\rho xy+y^2)}{2(1-\rho^2)}\right\}dy$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left\{-\frac{(x^2-2\rho xy+y^2)}{2(1-\rho^2)}\right\}dy$ [/mm]

Wenn ich nun [mm] $z:=\frac{(x^2-2\rho xy+y^2)}{2(1-\rho^2)}$ [/mm] setze, kann ich zwar $dy$ durch [mm] $\frac{dz\cdot (2(1-\rho^2))}{2y-2x\rho}$ [/mm] ersetzen, aber die ursprüngliche Variable $y$ verschwindet leider nicht.

Hat vielleicht jemand einen Tipp, wie ich weiterrechnen sollte oder wie ich auf anderem Wege das Integral auflösen kann?

Vielen Dank und viele Grüße
Gregor

        
Bezug
Randvtlg. der biv. Gaußvertlg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Mi 08.04.2009
Autor: Blech


> Hat vielleicht jemand einen Tipp, wie ich weiterrechnen
> sollte oder wie ich auf anderem Wege das Integral auflösen
> kann?
>  

Quadratische Ergänzung.

Du kriegst was der Form

[mm] $-(y-K(x))^2$ [/mm] + Terme ohne y

im Exponenten. Den hinteren Teil kannst Du dann als Konstante rausziehen, der
vordere führt mit einfacher Substitution auf das Fehlerintegral:

[mm] $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx [/mm] = [mm] \sqrt{\pi}$ [/mm]

ciao
Stefan

Bezug
        
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Randvtlg. der biv. Gaußvertlg.: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Do 09.04.2009
Autor: grenife

Hallo zusammen,

habe eine weitere Frage zu Teilaufgabe c)

würde die bedingte Verteilung über die bedingte Dichte bestimmen. Diese ist gegeben durch

[mm] $\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{(x^2-2\rho xy+y^2)}{2(1-\rho^2)}\right\}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \exp \left\{-\frac{x^2}{2}\right\}}$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{(x^2-2\rho xy+y^2)}{2(1-\rho^2)}+\frac{x^2}{2}\right\}$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{\frac{1}{2}\left(x^2-\frac{(x^2-2\rho xy+y^2)}{1-\rho^2}\right)\right\}$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{x^2-x^2\rho^2-x^2-2\rho xy+y^2}{1-\rho^2}\right)\right\}$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{y^2-x^2\rho^2-2\rho xy}{1-\rho^2}\right)\right\}$ [/mm]

An dieser Stelle hakt es bei mir, wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.

Vielen Dank und viele Grüße
Gregor

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Randvtlg. der biv. Gaußvertlg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Sa 11.04.2009
Autor: luis52


> An dieser Stelle hakt es bei mir, wäre nett, wenn mir
> jemand einen Tipp geben könnte.
>  

Moin Gregor,

ich kann deine vierte Gleichung nicht nachvollziehen. Ich meine, du hast das Minuszeichen falsch in die innere Runde Klammer gezogen. Tipp: Klammere mal im Exponenten [mm] $-\frac{1}{2(1-\rho^2)}$ [/mm] aus.
  

Bezug
                        
Bezug
Randvtlg. der biv. Gaußvertlg.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Di 14.04.2009
Autor: grenife

Hi,

erstmal vielen Dank für Deinen Hinweis. Hab in der Tat ein Vorzeichen falsch in den Bruch gezogen. Richtig muss es heißen:

[mm] $\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{\frac{1}{2}\left(x^2-\frac{(x^2-2\rho xy+y^2)}{1-\rho^2}\right)\right\}$ [/mm]
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{x^2-x^2\rho^2-x^2+2\rho xy-y^2}{1-\rho^2}\right)\right\}$ [/mm]
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left((x\rho)^2-2(x\rho)y+y^2\right)\right\}$ [/mm]
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(\rho x-y)^2\right\}$ [/mm]

Hier kann man nun sehen, dass $f(y|x)$ normaltverteilt mit [mm] $\mu=\rho [/mm] x$ und [mm] $\sigma^2=1-\rho^2$ [/mm] ist, nur leider passt hierfür das Vorzeichen in der letzten Klammer [mm] $(\rho [/mm] x-y)$ nicht. Sieht jemand, wo ich den Vorzeichenfehler habe? (mir fällt nichts auf...)

Vielen Dank und viele Grüße
Gregor

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Randvtlg. der biv. Gaußvertlg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Di 14.04.2009
Autor: luis52


> Sieht jemand, wo ich den Vorzeichenfehler habe?

Hilft dir [mm] $(\rho x-y)^2=(y-\rho x)^2$ [/mm] weiter?

vg Luis


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Bezug
Randvtlg. der biv. Gaußvertlg.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:50 Di 14.04.2009
Autor: grenife

Danke, ist ja klar! Hab mich zu sehr auf ein Auflösen der Klammern versteift...

Bezug
        
Bezug
Randvtlg. der biv. Gaußvertlg.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Di 14.04.2009
Autor: grenife

Hallo zusammen,

habe eine kurze Frage zur letzten Teilaufgabe. Sehe ich das richtig, dass $aX+bY$ normal verteilt mit [mm] $N(0;a^2+2ab\rho +b^2)$ [/mm] ist? $aX+bY$ ist eine lineare Transformation von $(X;Y)$ und laut
http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Affine_transformation

müsste sich die neue Varianz dann mit [mm] $(a;b)\Sigma (a;b)^T$ [/mm] ergeben.

Dann müsste [mm] $a^2+2ab\rho +b^2=1$ [/mm] gelten (vorgebene Varianz der Linearkombination) und $aX+bY$ und $X$ müssten unabhängig sein.

Wie kann ich denn die geforderte Unabhängigkeit am besten darstellen? $X$ und $aX+bY$ sind dann jeweils normalverteilt und unabhängig gdw ihre Kovarianz gleich Null ist. Oder geht es auch auf einfacherem Wege?

Vielen Dank für Eure Hinweise und viele Grüße
Gregor

Bezug
                
Bezug
Randvtlg. der biv. Gaußvertlg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Di 14.04.2009
Autor: luis52


> Wie kann ich denn die geforderte Unabhängigkeit am besten
> darstellen? [mm]X[/mm] und [mm]aX+bY[/mm] sind dann jeweils normalverteilt
> und unabhängig gdw ihre Kovarianz gleich Null ist. Oder
> geht es auch auf einfacherem Wege?
>  

Das finde ich schon ganz schoen einfach ...

vg Luis

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Bezug
Randvtlg. der biv. Gaußvertlg.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Di 14.04.2009
Autor: grenife

Dann versuche ich das doch mal.

Es muss also gelten $ [mm] a^2+2ab\rho +b^2=1 [/mm] $ und

[mm] $E[X\cdot(aX+bY)]-E(X)\cdot [/mm] E(aX+bY)=0$
Der letzte Term fällt wegen E(X)=0 sofort weg, es bleibt also übrig:
[mm] $E[X\cdot(aX+bY)]=E[aX^2+bXY]=0$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow aE(X^2)+bE(XY)=0$ [/mm]

$X$ ist standardnormalverteilt, demnach ist [mm] $X^2$ [/mm] Chi-Quadrat-verteilt mit einem Freiheitsgrad, demnach ist [mm] $E(X^2)=1$. [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow [/mm] a+bE(XY)=0$

Da mit $E(X)=E(Y)=0$ $cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY)$ gilt, folgt:

[mm] $\Leftrightarrow [/mm] a+bcov(XY)=0$

Mit [mm] $\sigma_X=\sigma_Y=1$ [/mm] folgt [mm] $cov(X,Y)=\rho$, [/mm] also insgesamt:

[mm] $\Leftrightarrow a+b\rho=0$ [/mm] bzw. [mm] $a=-b\rho$. [/mm]

Mit der ersten Bedingung ergibt sich

$ [mm] (-b\rho)^2+2(-b\rho)b\rho +b^2=1 [/mm] $

[mm] $\Leftrightarrow b^2\rho^2-2b^2\rho^2 +b^2=1 [/mm] $
[mm] $\Leftrightarrow b^2\left(\rho^2-2\rho^2 +1\right)=1 [/mm] $
[mm] $\Leftrightarrow b^2\left(\rho-1\right)^2=1 [/mm] $
[mm] $\Leftrightarrow b^2=\frac{1}{\left(\rho-1\right)^2} [/mm] $
und schließlich
[mm] $\Leftrightarrow |b|=\frac{1}{\left|\rho-1\right|} [/mm] $

Viele Grüße
Gregor

Bezug
                                
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Randvtlg. der biv. Gaußvertlg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Di 14.04.2009
Autor: luis52


> und schließlich
>  [mm]\Leftrightarrow |b|=\frac{1}{\left|\rho-1\right|}[/mm]
>  

[ok]

Na also, es geht doch ;-)

vg Luis

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