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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Rang
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Rang: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Sa 27.06.2009
Autor: Uebungistalles

Aufgabe
Bestimmen Sie den Rang von [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]

in Abhängigkeit der reellen Zahlen a,b,c,d
(wann hat die Matrix Rang 2, wann Rang 1 und wann Rang 0)?

Habe für eine Heimübung diese Aufgabe bekommen und sie wirkt wie ich finde  recht leicht , aber wäre lieb wenn ihr noch einen Blick auf meine Argumentation werft:


A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]  rg A = 1   Da der Rang nicht voll ist sind die Zeilen linear abhängig und die Matrix ist durch den nicht vollen Rang nicht invertierbar [mm] \Rightarrow [/mm] det A = 0
Somit haben wir also  [mm] a\*d -b\*c=0 \gdw a\*d=b\*c [/mm]
Ferner gilt: [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] zu Zeile 1 addieren wir [mm] k\*Z2 [/mm] .  k [mm] \in \IR [/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ a+kc & b+kd \\ c & d } \Rightarrow \pmat{ 0 & 0 \\ c & d } \Rightarrow [/mm]  a+kc=0   & b+kd= 0 . Also damit der Rang 1 sein kann muss gelten  [mm] a\*d -b\*c=0 [/mm] und [mm] \exists [/mm] ein Faktor k mit   a+kc=0 und b+kd=0 . Muss ich da überhaupt mehr machen?

Rang 0:  Ja was soll man hier sagen , eine Matrix hat Rang 0 wenn sie die Nullmatrix ist , also [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \Rightarrow [/mm] a=b=c=d=0.   Wäre ich fertig oder benötigt es mehr?


Rang 2:  Würde ich mit dem K Faktor argumentieren das es diesen nicht gibt und die Zeilen somit linear unabhänig sind .. außerdem würde gelten [mm] a*d-b*c\not=0 [/mm]



        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Sa 27.06.2009
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>
> A= [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]  rg A = 1   Da der Rang nicht
> voll ist sind die Zeilen linear abhängig und die Matrix ist
> durch den nicht vollen Rang nicht invertierbar [mm]\Rightarrow[/mm]
> det A = 0
>  Somit haben wir also  [mm]a\*d -b\*c=0 \gdw a\*d=b\*c[/mm]
>  
> Ferner gilt: [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] zu Zeile 1 addieren
> wir [mm]k\*Z2[/mm] .  k [mm]\in \IR[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \pmat{ a+kc & b+kd \\ c & d } \Rightarrow \pmat{ 0 & 0 \\ c & d } \Rightarrow[/mm]
>  a+kc=0   & b+kd= 0 . Also damit der Rang 1 sein kann muss
> gelten  [mm]a\*d -b\*c=0[/mm] und [mm]\exists[/mm] ein Faktor k mit   a+kc=0
> und b+kd=0 . Muss ich da überhaupt mehr machen?

Bei diesem Fall steckt die Nullmatrix mit drin, die hat bekanntlich NICHT Rang 1 ;-)
Ich würde einfach sagen: det A = 0 und es existiert ein Eintrag ungleich 0.

>  
> Rang 0:  Ja was soll man hier sagen , eine Matrix hat Rang
> 0 wenn sie die Nullmatrix ist , also [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \Rightarrow[/mm] a=b=c=d=0.   Wäre ich
> fertig oder benötigt es mehr?

Nein, hier wärst du fertig :-)

> Rang 2:  Würde ich mit dem K Faktor argumentieren das es
> diesen nicht gibt und die Zeilen somit linear unabhänig
> sind .. außerdem würde gelten [mm]a*d-b*c\not=0[/mm]

Wenn du das ausserdem hast, wieso dann noch mit dem komischen Faktor argumentieren?
Also entweder du nutzt das det A [mm] \not= [/mm] 0 oder einfach lineare unabhängigkeit von 2 Vektoren nutzen :-)

MFG,
Gono.


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