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| Aufgabe | Sei A = [mm] \pmat{a & b \\ c & d } [/mm] mit [mm] a,b,c,d \in \IR [/mm]
1. Zeigen Sie: [mm]rgA = 2 \gdw ad-bc \not= 0[/mm]
2. Berechnen Sie unter der Voraussetzung rgA = 2 die inverse Matrix [mm] A^{-1} [/mm] |
Da ich nicht genau weiß, wie der Rang einer Matrix definiert ist, weß ich nicht wie ich anfangen soll. Ich weiß, dass ich den Rang einer Matrix bekomme, wenn ich die Matrix in Zeilenstufenform bringe. Der Rang ist dann gleich der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.
Aber ich habe unter Voraussetzung, dass das zu beweisende gilt, die Inverse berechnet und wäre froh, wenn hier mal jemand darüberschauen könnte.
[mm]\pmat{a & b & | & 1 & 0 \\ c & d & | & 0 & 1 }[/mm]
Erste Zeile mit [mm] \bruch{1}{a} [/mm] multiplizieren; letzte Zeile mit [mm] \bruch{1}{d} [/mm] multiplizieren
[mm]\pmat{1 & \bruch{b}{a} & | & \bruch{1}{a} & 0 \\ \bruch{c}{d} & 1 & | & 0 & \bruch{1}{d} }[/mm]
letzte Zeile mit [mm] -\bruch{b}{a} [/mm] multiplizieren
[mm]\pmat{1 & \bruch{b}{a} & | & \bruch{1}{a} & 0 \\ -\bruch{bc}{ad} & -\bruch{b}{a} & | & 0 & -\bruch{b}{ad} }[/mm]
Addieren der letzten Zeile zur ersten:
[mm]\pmat{\bruch{ad-bc}{ad} & 0 & | & \bruch{1}{a} & -\bruch{b}{ad} \\ -\bruch{bc}{ad} & -\bruch{b}{a} & | & 0 & -\bruch{b}{ad} }[/mm]
Multiplikation beider Zeilen mit (ad):
[mm]\pmat{ad-bc & 0 & | & d & -b \\ -bc & -bd & | & 0 & -b }[/mm]
Multiplikation der ersten Zeile mit [mm]\bruch{1}{ad-bc}[/mm]
[mm]\pmat{ 1 & 0 & | & \bruch{d}{ad-bc} & -\bruch{b}{ad-bc} \\ -bc & -bd & | & 0 & -b }[/mm]
Multiplikation der letzten Zeile mit [mm]\bruch{1}{b}[/mm]
[mm]\pmat{ 1 & 0 & | & \bruch{d}{ad-bc} & -\bruch{b}{ad-bc} \\ -c & -d & | & 0 & -1 }[/mm]
Multiplikation der ersten Zeile mit c:
[mm]\pmat{ c & 0 & | & \bruch{cd}{ad-bc} & -\bruch{bc}{ad-bc} \\ -c & -d & | & 0 & -1 }[/mm]
Addition der ersten zur letzten Zeile:
[mm]\pmat{ c & 0 & | & \bruch{cd}{ad-bc} & -\bruch{bc}{ad-bc} \\ 0 & -d & | & \bruch{cd}{ad-bc} & \bruch{-(ad-bc)-bc}{ad-bc} }[/mm]
Multiplikation der ersten Zeile mit [mm]\bruch{1}{c}[/mm]
[mm]\pmat{ 1 & 0 & | & \bruch{d}{ad-bc} & -\bruch{b}{ad-bc} \\ 0 & -d & | & \bruch{cd}{ad-bc} & \bruch{ad+bc-bc}{ad-bc} }[/mm]
Multipliaktion der letzten Zeile mit [mm]-\bruch{1}{d}[/mm]
[mm]\pmat{ 1 & 0 & | & \bruch{d}{ad-bc} & -\bruch{b}{ad-bc} \\ 0 & 1 & | & -\bruch{c}{ad-bc} & \bruch{a}{ad-bc} }[/mm]
Danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mo 21.01.2008 | | Autor: | waji786 |
Hallo,
deine Frage hast im Prinzip schon selbst beantwortet.
Bring doch deine einfache Matrix doch in Zeilenstufenform! Dann sieht man es. Dazu mußt du die erste Spalte deiner Matrix mit -c multiplizieren und die zweite mit a, damit damit du das Element c eliminieren kannst. [mm] \pmat{ -ac & -bc \\ ac & ad }. [/mm] Nun addierst die zweite Zeile und es entsteht nun [mm] \pmat{ -ac + ac(=0!) & -bc + ad}. [/mm] In Zeilenstufenform gebracht [mm] \pmat{ a & b \\ 0 & ad - bc}. [/mm] Damit das Element (2, 2) der Matrix nicht auch noch 0 wird (und damit die Matrix Rang 1 hat), muß ad - bx [mm] \not= [/mm] 0 sein. In den meisten Fällen braucht man den Rang gar nicht auszurechnen. Es reicht aus zu zeigen das det(A) [mm] \not= [/mm] 0, das eine n x n Matrix (A) den Rang n hat.
Und die Inverse hast du richtig ausgerechnet.
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> Sei A = [mm]\pmat{a & b \\ c & d }[/mm] mit [mm]a,b,c,d \in \IR[/mm]
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> 1. Zeigen Sie: [mm]rgA = 2 \gdw ad-bc \not= 0[/mm]
> 2. Berechnen Sie
> unter der Voraussetzung rgA = 2 die inverse Matrix [mm]A^{-1}[/mm]
> Da ich nicht genau weiß, wie der Rang einer Matrix
> definiert ist, weß ich nicht wie ich anfangen soll.
Hallo,
Du darfst es, wenn Du einigermaßen passabel durch die Mathematik kommen willst, nicht zulassen, daß das Lösen v. Aufgaben an so etwas scheitert.
Wenn man merkt, daß man Definitionen nicht kennt, kann man die doch nachschlagen, das sind Dinge, die in jedem Buch zum Thema stehen, und mit Internet braucht man noch nicht einmal seinen Stuhl verlassen.
Daß man Sätze nicht versteht oder kennt, Beweisideen nicht hat, Tricks nicht kennt, sich gelegentlich ziemlich dusselig anstellt, all das ist ist "das Leben", aber gegen Unkenntnis v. Definitionen kann wirklich man etwas tun.
Die Aufgabe scheint ja gelöst zu sein jetzt, aber ich mußte das einfach sagen.
Gruß v. Angela
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