Rang Matrix mit 2 Unbekannten < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mo 11.01.2010 | | Autor: | W_B |
| Aufgabe | Bestimme denn Rang der Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 & x-5}
[/mm]
und wie muss man die reellen Zahlen x & y wählen damit die Matrix Rang 2 , 3 oder 4 besitzt |
Hallo an alle :)
Bin heute durch Zufall hier reingestolpert da ich ein kleines problem seit gestern habe und ich nicht weiter komme ich hoffe ihr könt mir weiter helfen ....
ich habe ein kleines problem denn ich möchte den Rang einer Matrix bestimmen mit zwei unbekannten
so an sich habe ichs verstanden wie man denn rang bestimmt.
mit einer unbekannte hat das super funktioniert
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 & x-5}
[/mm]
Rg (A) = 4 wenn x [mm] \not\in [/mm] -3/4 ist.
aber wie löse ich eine matrix mit 2 unbekannten
wann hat diese matrix rg= 2 , 3 , oder 4 ?! könnte mir jemand einen tipp geben wie ich weiterkomme
[mm] \pmat{ 3 & 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \\ 6 & x-y+8 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2x+y & 3}
[/mm]
wenn ich das mit dem Gauß-Algorithmus berechne
schritt 1 :
Spalte 1 /3
[mm] \pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \\ 6 & x-y+8 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2x+y & 3}
[/mm]
schritt 2:
Spalte 2 /3 Spalte 3 /6
[mm] \pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \\ 6 & x-y+8 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2x+y & 3}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & x-y & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2x+y & 3}
[/mm]
so wie komme ich denn jetzt weiter
ich müsse ja für x-y= eine zahl einsetzen
und x & y sind reelle zahlen da gibts bestimmt nicht nur 1 lösung
................................................
habt ihr für mich einen tipp wie es hir weiter gehen kann
habe auch so keine richtige vorstellung wo hin es gehen soll :(
Gruß ike
Danke im voraus für die Hilfen!!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de/forum/Rang-einer-Matrix-bestimmen-8]
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> Bestimme denn Rang der Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 & x-5}[/mm]
>
> und wie muss man die reellen Zahlen x & y wählen damit die
> Matrix Rang 2 , 3 oder 4 besitzt
> Hallo an alle :)
>
> Bin heute durch Zufall hier reingestolpert da ich ein
> kleines problem seit gestern habe und ich nicht weiter
> komme ich hoffe ihr könt mir weiter helfen ....
>
>
> ich habe ein kleines problem denn ich möchte den Rang
> einer Matrix bestimmen mit zwei unbekannten
>
> so an sich habe ichs verstanden wie man denn rang bestimmt.
>
>
> mit einer unbekannte hat das super funktioniert
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 & x-5}[/mm]
>
> Rg (A) = 4 wenn x [mm]\not\in[/mm] -3/4 ist.
>
> aber wie löse ich eine matrix mit 2 unbekannten
>
> wann hat diese matrix rg= 2 , 3 , oder 4 ?! könnte mir
> jemand einen tipp geben wie ich weiterkomme
>
>
> [mm]\pmat{ 3 & 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \\ 6 & x-y+8 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2x+y & 3}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
>
> wenn ich das mit dem Gauß-Algorithmus berechne
> schritt 1 :
> Spalte 1 /3
Du teilst jetzt aber die erste Zeile durch 3 und nicht die erste Spalte.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \\ 6 & x-y+8 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2x+y & 3}[/mm]
Ich kann im folgenden Deine Notizen zur Umformung schlecht nachvollziehen, nicht genau dasteht, wa Du tust. Zeile? Spalten? Addierst Du?
>
>
> schritt 2:
> Spalte 2 /3 Spalte 3 /6
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \\ 6 & x-y+8 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2x+y & 3}[/mm]
>
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & x-y & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2x+y & 3}[/mm]
Ich mache mir jetzt erstmal keinen Kopf drum, wie Du hierher gekommen bist, sondern nehme diese Matrix einfach mal als gegeben und mache weiter:
Ziel: Zeilenstufenform
4. Zeile - 2. Zeile
--> [mm] \pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & x-y & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2x+y-2 & 0}
[/mm]
An dieser Stelle siehst Du schonmal, daß für 2x+y-2=0 <==> y=2-2x der Rang der Matrix höchstens =3 sein kann.
Man kann jetzt also getrennt weiteruntersuchen für A: y=2-2x und B: [mm] y\not=2-2x.
[/mm]
Fall A:
[mm] -->\pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3x-2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0},
[/mm]
und nun geht's weiter wie gewohnt, indem Du in Abhängigkeit vom x untersuchst.
Fall B:
wenn [mm] 2x+y-2\not=0, [/mm] dann kann ich die letzte zeile dadurch dividieren und bekomme
--> [mm] \pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & x-y & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
Der Rang der Matrix steht und fällt jetzt damit, ob B1: x=y oder B2: [mm] x\noty
[/mm]
Also
Fall B1:
...
Fall B2:
...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Mo 11.01.2010 | | Autor: | W_B |
hallo v. angela
danke für die antwort
bin jetzt weiter gekommen ...
dsa würde für mich heißen
y=0 und x=1 dann ist der rang der matrix = 2 sonst hat der 4 bei anderen werten ....
$ [mm] \pmat{ 3 & 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \\ 6 & x-y+8 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2x+y & 3} [/mm] $
und rang 3 gibt es bei der matrix nicht
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Hallo,
bin auch neu hier, habe aber fast das gleiche problem... :-( nur leider komme ich nicht wirklich mit... oder es ist mir einfach zu hoch o.O
ich muss herausfinden, das die matrix den rang 2 hat.
also, die Schritte nochmal, welche ich habe:
[mm] \pmat{ 3 & 4 & -1 & 2\\ 3 & 5 & 1 & 5\\ 6 & x-y+8 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2x-y & 3}
[/mm]
nun stimmen die Schritte mit [mm] W_B [/mm] fast überein.
Zeile 1 und 2 --> /3
Zeile 3 --> /6
Nun addiere ich die erste Zeile mit *(-1) auf Zeile 2 und 3. Nun erhalte ich folgendes:
[mm] \pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3\\ 0 & 1/3 & 2/3 & 1\\ 0 & x-y & -1/3 & 3/6 \\ 0 & 1 & 2x-y & 3}
[/mm]
Mein nächster Schritt wäre nun die zweite Zeile mit -3 multiplizieren und auf die vierte addieren.
Dann erhalte ich folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3\\ 0 & 1/3 & 2/3 & 1\\ 0 & x-y & -1/3 & 3/6 \\ 0 & 0 & 2x-y-2 & 0}
[/mm]
Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, dann muss ich nun erstmal beweisen, dass 2x+y-2= 0 ist.
Daraus ergibt sich nun y = 2-2x
Nun erhalte ich durch einsetzen folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3\\ 0 & 1/3 & 2/3 & 1\\ 0 & x-2 & -1/3 & 3/6 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Jetzt weiss ich y=0
Nun haltet mich für blöd, aber ich hab nun Zettel für Zettel gerechnet und auch die anderen Varianten, welche du beschrieben hast, probiert, aber ich verstehe nicht wie ich nun den x-Wert erhalte.
Oder gibt es eine bessere Möglichkeit dies zu berechnen, wenn ich nur von Rg(2) ausgehe? Ich sitz leider völlig auf dem Schlauch.
Grüße
Gummibär
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> Hallo,
>
> bin auch neu hier, habe aber fast das gleiche problem...
> :-( nur leider komme ich nicht wirklich mit... oder es ist
> mir einfach zu hoch o.O
>
> ich muss herausfinden, das die matrix den rang 2 hat.
>
> also, die Schritte nochmal, welche ich habe:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 4 & -1 & 2\\ 3 & 5 & 1 & 5\\ 6 & x-y+8 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2x-y & 3}[/mm]
>
> nun stimmen die Schritte mit [mm]W_B[/mm] fast überein.
>
> Zeile 1 und 2 --> /3
> Zeile 3 --> /6
>
> Nun addiere ich die erste Zeile mit *(-1) auf Zeile 2 und
> 3. Nun erhalte ich folgendes:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3\\ 0 & 1/3 & 2/3 & 1\\ 0 & x-y & -1/3 & 3/6 \\ 0 & 1 & 2x-y & 3}[/mm]
>
> Mein nächster Schritt wäre nun die zweite Zeile mit -3
> multiplizieren und auf die vierte addieren.
> Dann erhalte ich folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3\\ 0 & 1/3 & 2/3 & 1\\ 0 & x-y & -1/3 & 3/6 \\ 0 & 0 & 2x-y-2 & 0}[/mm]
Hallo,
.
Nachgerechnet habe ich nichts, ich gehe einfach davon aus, daß richtig ist, was Du rechnest.
An dieser Stelle siehst Du: wenn 2x-y-2=0 ist, dann kann der Rang der Matrix höchstens noch 4 sein.
>
>
> Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, dann muss ich
> nun erstmal beweisen, dass 2x+y-2= 0 ist.
> Daraus ergibt sich nun y = 2-2x
Ja.
>
> Nun erhalte ich durch einsetzen folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4/3 & -1/3 & 2/3\\ 0 & 1/3 & 2/3 & 1\\ 0 & x-2 & -1/3 & 3/6 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Jetzt guckst Du die vorletzte Zeile an.
Du siehst sofort: für x=2 bekommen wir den Rang 3,
und wenn wir x wählen mit [mm] x\xot=2, [/mm] dann haben müssen wir mal gucken, für welche Wahl von x die 2. und 3. Zeile linear abhängig sind.
Dann nämlich sind wir bei Rang=2.
Danach rechnest Du das zu dem besagten x gehörige y aus.
Gruß v. Angela
>
> Jetzt weiss ich y=0
>
> Nun haltet mich für blöd, aber ich hab nun Zettel für
> Zettel gerechnet und auch die anderen Varianten, welche du
> beschrieben hast, probiert, aber ich verstehe nicht wie ich
> nun den x-Wert erhalte.
>
> Oder gibt es eine bessere Möglichkeit dies zu berechnen,
> wenn ich nur von Rg(2) ausgehe? Ich sitz leider völlig auf
> dem Schlauch.
>
> Grüße
>
> Gummibär
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Boah, man sollte es nicht glauben. Vielen lieben Dank. Aber man sollte es nicht glauben, durch den ganzen Hick-Hack von wegen am Anfang teilen durch irgendwas bin ich ganz durcheinander gekommen. Warum teilen am Anfang kam mir dann irgendwann heute Nacht. *vor Kopf hau*
Ich hab es jetzt, den Schwachsinn am Anfang behoben und durch deine Erklärung die 2 Werte ermittelt.
Sollte das nochmal jemand lesen, bitte einfach nicht von den Rechenschritten abschauen...
Vielen lieben Dank nochmal. Auch wenn mein Ansatz am Anfang wirklich Haareausreissend sein musste hat mir die Antwort wirklich super geholfen!!!
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