Rang eigenschaft < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Do 24.11.2011 | | Autor: | louis92 |
Hallo miteinander,
Bearbeite gerade folgende Aufgabe: Sei A [mm] \in IR^{mxn} [/mm] und C [mm] \in IR^{mxm} [/mm] Dann ist z.z Rang(CA) = Rang(A) genau dann wenn C invertierbar ist. Habe es mit dem Determinantenkriterium versucht. Denn falls C invertierbar so ist det(C) ungleich Null. Jedoch konnte ich dann nicht folgern Rang(CA)=Rang(A). Habt ihr eine bessere Idee wie man hier ansetzen könnte?
Louis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Do 24.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo Luis,
ich würde behaupten die Aussage ist falsch. Ist A die Nullmatrix, so ist $rang(CA)=rang(A)=0$ auch wenn C nicht invertierbar ist.
Nur die Richtung [mm] $C\;$ [/mm] invertierbar [mm] $\Rightarrow [/mm] rang(CA)=rang(A)$ stimmt, die Rückrichtung nicht.
Bitte gebe die Aufgabenstellung nochmal genau an.
Korrigiert mich, wenn ich falsch liege.
LG, Lippel
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Ich hätte eine Idee
Wenn C invertierbar ist so hat C doch den vollen Rang
Wenn C also vollen Spalten und Zeilenrang hat so ist doch die lin. Abblildung [mm] \alpha (a_{m}) [/mm] = [mm] C*a_{m} [/mm]
[mm] (a_{m} [/mm] -> m-ter spaltenvektor von A)
bijektiv
Also sind auch die lin. Abbildungen
[mm] \alpha(a_{1}) [/mm] = [mm] A*a_{1}
[/mm]
[mm] \alpha(a_{2}) [/mm] = [mm] A*a_{2}
[/mm]
...
[mm] \alpha(a_{m}) [/mm] = [mm] A*a_{m}
[/mm]
Bijektiv
Diese einzelnen Abbildungen lassen sich doch auch ausdrücken als
C * [mm] \summe_{i=1}^{m} a_{m}
[/mm]
= C*A
(tut mir leid der Stern soll ein mal sein, ich bekomms aber irgendwie nicht weg)
Da somit also auch C*A bijektiv Ist ändert sich doch der Rang bei der Multiplikation mit A nicht oder?
-> Rang(CA) = Rang(C)
Natürlich ohne Gewähr
Kann auch sein, dass ich nur mathematischen Nonsens von mir gebe
MfG
Chris
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