Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei A [mm] \in M_{n}, [/mm] r+s=n. Ferner gelte:
[mm] Ae_{i} \in [/mm] , i =1,...r,
[mm] Ae_{i+r} \in , [/mm] i= 1,...s .
Wann gilt [mm] a_{ik}=0? [/mm]
Man zeige:
rg(A) = dim [mm] [/mm] + dim [mm]
[/mm]
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Hallo,
also hab das ganze mal versucht für n=3 darzustellen und bin
dann darauf gekommen, dass [mm] a_{ik} [/mm] =0 sein muss,
für :
[mm] Ae_{1},....,Ae_{r} [/mm] ist [mm] a_{ik}=0 [/mm] für i>r und bei
[mm] Ae_{r+1},...Ae_{r+s} [/mm] gilt [mm] a_{ik}=0 [/mm] für i<r .
zu dem rang von A kann man dann doch sagen, dass
[mm] Ae_{1},....,Ae_{r} \in [/mm] ist, also gibt es m linear unabhängige vektoren aus diesem Spann , und es gilt m [mm] \le [/mm] r
=> dim [mm]
[mm] Ae_{r+1},....Ae{r} [/mm] gilt analog.
Also gibt es in A eine Anzahl linear unabhängiger Vektoren ,
die den Rang bilden.
also muss gelten :
rg(A) = dim [mm] [/mm] + dim [mm] ,
[/mm]
da doch die dim die Anzahl der lin. unabh. Vektoren aus diesem Spann ist.
oder???
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Hallo und guten Morgen,
also Deine Darstellung dessen, wann [mm] a_{ik}=0 [/mm] sein muss, gefällt mir noch nicht so ganz.
Die Idee ist richtig: In Spalte k stehen die Koeff. des Bildes von [mm] e_k, [/mm] und die müssen dann
für [mm] k\in\{1,\ldots r\} [/mm] gleich 0 sein für [mm] i\in\{r+1,\ldots n\},
[/mm]
analog für [mm] k\in\{r+1,\dlots , n\} [/mm] und [mm] i\in\{1,\ldots , r\}.
[/mm]
Richtig ist dann:
[mm] dim(\{Ae_i,1\leq i\leq r\})\leq [/mm] r.
[mm] dim(\{Ae_i,r+1\leq i\leq n\})\leq [/mm] n-r.
Es gilt natürlich
[mm] rg(A)\leq dim(\{Ae_i,1\leq i\leq r\}) [/mm] + [mm] dim(\{Ae_i,r+1\leq i\leq n\}).
[/mm]
Zu argumentieren bleibt, daß Gleichheit gilt, und dies folgt daraus,
daß der Schnitt der beiden Teilräume [mm] [/mm] und
[mm] [/mm] trivial ist.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Do 11.05.2006 | | Autor: | fussel1000 |
Hallo, Danke für die schnelle Hilfe,
hast mir sehr geholfen :)
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