Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
| Aufgabe | | Seien [mm] \vec{u}, \vec{v} \in \IR [/mm] Spaltenvektoren, [mm] \vec{u}, \vec{v} \not= [/mm] 0 und [mm] B=\vec{u}\vec{v}^{T}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Matrix B Rang 1 hat. |
Hallo zusammen,
da komme ich überhaupt nicht weiter. Ich bin jetzt so weit, dass ich die Matrix B aufgestellt habe, ich hoffe mal, die stimmt so:
[mm] \pmat{ u_{1}v_{1} & u_{1}v_{2} & u_{1}v_{3} \\ u_{2}v_{1} & u_{2}v_{2} & u_{2}v_{3} \\ u_{3}v_{1} & u_{3}v_{2} & u_{3}v_{3} }
[/mm]
Bei konkreten Zahlen haben wir es in der Übung dann so gemacht, dass wir die Matrix auf eine Form mit 1en und 0en gebracht haben, so dass man an der Anzahl der 1en den Rang ablesen konnte. Das habe ich auch verstanden, aber das geht ja hier nicht (oder doch?). Oder kann man den Rang noch irgendwie anders bestimmen, mit Hilfe von Determinanten vielleicht?
Wäre super, wenn mir bald jemand helfen könnte.
LG, Katrin
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Hallo!
Naja, in diesem Fall sieht man doch direkt, dass die Zeilen linear abhängig sind: jede Zeile besteht aus [mm] $v_1$, $v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] mit einem Faktor. Falls der Faktor gleich 0 ist, hast Du eine Nullzeile, ansonsten zwei linear abhängige Zeilen, so dass Du wiederum eine Nullzeile erzeugen kannst.
Also kommt als Rang nur 0 oder 1 in Frage - und die Nullmatrix ist es nicht, da mindestens ein Eintrag von 0 verschieden sein muss, wenn $u$ und $v$ beide von 0 verschieden sind.
Damit ist dann doch alles klar. 
Man sieht es übrigens auch, wenn man den Rang einer Matrix als Dimension des Bildes definiert und sich dann $B$ als Abbildung vom [mm] $\IR^3$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] und wieder in den [mm] $\IR^3$ [/mm] faktorisiert vorstellt. Solltet ihr diese Darstellung noch nicht gehabt haben, ignoriere diesen Absatz einfach und benutze die obige Erklärung.
Gruß,
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hi Lars,
erst mal vielen Dank für deine Hilfe. Den letzten Absatz habe ich schnell ignoriert  , aber auch bei dem ersten bin ich noch nicht 100%ig sicher, ob ich es verstanden habe.
Außerdem ist noch für Verwirrung gesorgt, da wir heute noch die Formel
det [mm] \pmat{ a_{11} & \lambda a_{12} & \mu a_{13} \\ a_{21} & \lambda a_{22} & \mu a_{23} \\ a_{31} & \lambda a_{32} & \mu a_{33} } [/mm] = [mm] \lambda \mudetA [/mm] an der Tafel stehen hatten und die Tutorin meinte, dass die wichtig für die Hausübungen sei. Da ich aber alle anderen Hausübungen lösen konnte, außer der, nach der ich gefragt hatte, frage ich mich, ob man die dabei gebrauchen könnte? Falls nicht, ist auch nicht schlimm, dann versuche ich es mit deiner anfänglichen Erklärung. Bis zu der Stelle "falls der Faktor = 0 ist, hast du eine Nullzeile", komme ich mit. Wieso genau habe ich zwei linear abhängige Zeilen, wenn er nicht 0 ist und wieso kann ich mit denen eine Nullzeile erzeugen? Tut mir Leid, dass ich da so doof nachfrage, aber irgendwie komme ich nicht immer so schnell mit.
Danke noch mal,
LG, Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Sorry, da hat sich ein Fehler eingeschlichen, rechts vom Gleichheitszeichen steht [mm] \lambda \mu [/mm] det.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hilfe, ich bin zu schnell :-(. Tut mir Leid. Die Artikel editieren kann ich nicht, oder?
Rechts steht: [mm] \lambda \mu [/mm] detA, wobei A die Ursprungsmatrix ist, also ohne [mm] \lambda [/mm] s und [mm] \mu [/mm] s.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Fr 12.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Katrin,
Lars bestimt in seiner Lösung den Rang als "Anzahl linear unabhängiger Zeilen". Nehmen wir den Vektor [mm]\vec{v}^T = (v_1,v_2,v_3)[/mm], dann sehen die Zeilen von B doch folgendermaßen aus:
1.Zeile: [mm] u_1\cdot\vec{v}^T
[/mm]
2.Zeile: [mm] u_2\cdot\vec{v}^T
[/mm]
3.Zeile: [mm] u_3\cdot\vec{v}^T
[/mm]
...und jetzt such Dir mal einen Satz linear unabhängiger Vektoren aus diesen drei heraus. Wieviele sind das höchstens?
Wenn's Dir lieber ist kannst Du natürlich auch den Rang durch elementare Zeilenumformungen bestimmen. Ist nämlich [mm] u_1\ne0 [/mm] , dann kannst Du doch folgende Umformungen durchführen:
- von der zweiten Zeile [mm] u_2/u_1 [/mm] mal die erste abziehen
- von der dritten Zeile [mm] u_3/u_1 [/mm] mal die erste abziehen
Schau Dir mal die Matrix an, die da rauskommt. Was ist im Fall [mm] u_1=0 [/mm] ?
Die Formel, die Du noch angegeben hast könnte man auf diese Matrix schon anwenden, allerdings steht dann da (wenn ich mich nicht vertan habe):
[mm]\text{det}(B) = v_2v_3 \text{det}\pmat{u_1v_1 & u_1 & u_1 \\
u_2v_2 & u_2 & u_2 \\ u_3v_3 & u_3 & u_3}[/mm]
Das ist vielleicht ein klein wenig übersichtlicher, aber sooo viel weiter ist man dann auch noch nicht.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo piet,
erst mal vielen, vielen Dank! Ich bin echt immer wieder von eurer Hilfsbereitschaft überrascht, das ist wirklich super.
> Die Formel, die Du noch angegeben hast könnte man auf diese
> Matrix schon anwenden, allerdings steht dann da (wenn ich
> mich nicht vertan habe):
> [mm]\text{det}(B) = v_2v_3 \text{det}\pmat{u_1v_1 & u_1 & u_1 \\
u_2v_2 & u_2 & u_2 \\ u_3v_3 & u_3 & u_3}[/mm]
OK, dann lasse ich das erst mal weg.
> Wenn's Dir lieber ist kannst Du natürlich auch den Rang
> durch elementare Zeilenumformungen bestimmen. Ist nämlich
> [mm]u_1\ne0[/mm] , dann kannst Du doch folgende Umformungen
> durchführen:
> - von der zweiten Zeile [mm]u_2/u_1[/mm] mal die erste abziehen
> - von der dritten Zeile [mm]u_3/u_1[/mm] mal die erste abziehen
> Schau Dir mal die Matrix an, die da rauskommt. Was ist im
> Fall [mm]u_1=0[/mm] ?
Das würde ich gerne machen, also das ganze über die elementaren Zeilenumformungen zeigen, wenn das geht. Ich habe mal deine Vorschläge ausgeführt und bekomme eine Matrix, die in der ersten Zeile [mm] u_{1}v_{1} u_{1}v_{2} u_{1}v_{3} [/mm] stehen hat und in den anderen beiden nur Nullen. Und das gilt für den Fall [mm] u_{1} \not= [/mm] 0, weil ich dadurch geteilt habe, richtig? Wenn dann diese Zeile da oben noch stehen bleibt, ist damit dann gezeigt, dass der Rang 1 ist?
Und was passiert, wenn [mm] u_{1}=0 [/mm] ist? Dann wäre ja die erste Zeile komplett 0 0 0, allerdings habe ich dann ja noch die beiden anderen? Ich glaube, so ganz dahinter gestiegen bin ich noch nicht.
Aber auf jeden Fall noch mal vielen Dank, weitergeholfen hat es mir auf jeden Fall und wenn ich es jetzt noch ganz verstehe, wäre das wunderbar .
Danke und LG, Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Sa 13.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Katrin,
gleich vorneweg : Doch, du kannst deine Beiträge/Fragen editieren - du musst dann nur auf den entspr. Beitrag gehen und dann sollte sich darunter eine Reihe von Buttons befinden, wo du als Autor auch "bearbeiten" kannst.
Nun aber zu deinen letzten Fragen:
> Das würde ich gerne machen, also das ganze über die
> elementaren Zeilenumformungen zeigen, wenn das geht. Ich
> habe mal deine Vorschläge ausgeführt und bekomme eine
> Matrix, die in der ersten Zeile [mm]u_{1}v_{1} u_{1}v_{2} u_{1}v_{3}[/mm]
> stehen hat und in den anderen beiden nur Nullen. Und das
> gilt für den Fall [mm]u_{1} \not=[/mm] 0, weil ich dadurch geteilt
> habe, richtig? Wenn dann diese Zeile da oben noch stehen
> bleibt, ist damit dann gezeigt, dass der Rang 1 ist?
Ja, wenn [mm] $u_1 \not= [/mm] 0$, dann kann man es so machen und wie piet dann schon festgestellt hat ist dann die erste Zeile gerade [mm] $u_1*\vec{v}$
[/mm]
Also wenn v (nach Vorraussetzung!) nicht der Nullvektor ist , dann hat man schon Rang 1.
>
> Und was passiert, wenn [mm]u_{1}=0[/mm] ist? Dann wäre ja die erste
> Zeile komplett 0 0 0, allerdings habe ich dann ja noch die
> beiden anderen? Ich glaube, so ganz dahinter gestiegen bin
> ich noch nicht.
Wenn [mm] $u_1 [/mm] =0$ ist, dann gibt es aber eine andere komponente von [mm] $\vec{u}$ [/mm] , die nicht 0 ist - diese entspr. Zeile kannst du dann als erste Zeile nehmen (durch Zeilentauschen, was ja auch eine elementare Umformung ist) und kannst dann analog argumentieren.
Hier bietet sich also an das "oBdA" (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) zu verwenden, also so:
"Weil [mm] $\vec{u}\not=\vec{0}$ [/mm] sei oBdA [mm] $u_1 \not= [/mm] 0$ , dann folgt...."
Soweit zu deinen Fragen.
Man könnte übrigens auch sehr kurz argumentieren : wenn man wie piet die Zeilen schon als skalare Vielfache von [mm] $\vec{v}$ [/mm] erkannt hat, dann sieht man, dass sie alle im Erzeugnis von v liegen, also in $< v >$.
Und weil v nicht der nullvektor ist, ist die Dimension dieses Raumes gerade 1...
(aber dafür braucht man natürlich entsprechend viele Kenntnisse über die verwendeten Begriffe, deshalb ist das mal nur als zusätzliche Möglichkeit gedacht - also bitte ignorieren, wenn zu unklar !)
viele Grüße + schönes Rest-Wochenende
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo noch mal,
ich denke, jetzt habe ich es verstanden. Ich danke euch dreien noch mal ganz herzlich, wirklich supernett von euch und wünsche euch ebenfalls ein schönes Rest-Wochenende!
LG, Katrin
P.S.: Das mit dem Editieren schaue ich mir gleich noch mal an, danke auch für den Hinweis!
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