Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 So 11.01.2004 | | Autor: | Jessica |
also ich habe dann noch eine neue Frage zu meine LA Aufgaben. Diesmal zu den schriftlichen.
Es gilt K ein Körper und A[mm]\in[/mm]Kmxn und B[mm]\in[/mm]Knxq.
Ferner wurde schon gezeigt, dass Rg(AB) "kleiner gleich" Min(RgA,RgB)
Man soll noch zeigen, dass
a) Ist RgB=n, so ist Rg(AB) = RgA
b) Ist RgA=n, so ist Rg(ab) = RgB
Zu a) Hat die Matrix A einen Rang von k, kann dieser aber nimals größer als n sein, da a nur n Spalten besitzt.
Somit gilt k "kleiner gliech" n
Somit gilt wegen Rg(AB) "kleiner gleich" Min(RgA,RgB),dass
Rg(AB) "kleiner gleich k ist.
Und hier hänge ich. Ich finde keiner richtige Begründung weshalb Rg(AB) =k ist.
Genauso kann man auch bei b) argumentieren und ich hänge auch dort an der selben Stelle.
Könntet ihr mir vielleicht dabei helfen.
Jessica
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 So 11.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Sorry, habe mich mit der Zeit verclickt, ich komme hier mit der neuen Möglichkeit das anzugeben irgendwie noch nicht klar. Also ich muss die Aufgaben bis morgen früh haben. Ich hoffe jemand kann mir doch noch helfen!
Danke Jessica.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 So 11.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
wir haben also:
[mm] A\in K^{m \times n} [/mm], [mm] a: K^n \to K^m [/mm]
[mm] B\in K^{n \times q} [/mm], [mm] b: K^q \to K^n [/mm]
[mm] AB\in K^{m \times q} [/mm], [mm] c: K^q \to K^m [/mm]
(a,b,c sind also die zugehörigen linearen Abbildungen)
Für die Ränge gilt ja bekanntlich
[mm] \operatorname{Rg} A = \dim( \operatorname{Bild} a) = \dim (a(K^n)) [/mm]
[mm] \operatorname{Rg} B = \dim( \operatorname{Bild} b) = \dim (b(K^q)) [/mm]
[mm] \operatorname{Rg} AB = \dim( \operatorname{Bild} a \circ b) = \dim (a\circ b(K^q)) = \dim( a(b(K^q))) [/mm]
(Die Gleichheitszeichen nach dem 1. Gleichheitszeichen sind nur eine andere Schreibweise für [mm] \operatorname{Bild} [/mm] einer Abbildung.)
ad a)
Gilt nun [mm] \operatorname{Rg} B = n [/mm], so folgt:
[mm] \dim( \operatorname{Bild} b ) = n = \dim( K^n ) [/mm], woraus nur folgen kann (wegen der gleichen Dimension), dass
[mm] b(K^q) = \operatorname{Bild} b = K^n [/mm]
Damit gilt letztendlich:
[mm] \operatorname{Rg} AB = \dim( a\circ b(K^q) ) = \dim( a(\;\underbrace{b(K^q)}_{=K^n}\;) ) =\dim ( a(K^n) ) = \operatorname{Rg} A [/mm]
Nun zu deinen Überlegungen:
> Zu a) Hat die Matrix A einen Rang von k, kann dieser aber nimals größer als n sein, da a nur n Spalten besitzt.
> Somit gilt k "kleiner gliech" n
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Somit gilt wegen Rg(AB) "kleiner gleich" Min(RgA,RgB),dass
> Rg(AB) "kleiner gleich k ist.
> Und hier hänge ich. Ich finde keiner richtige Begründung weshalb Rg(AB) =k ist.
s.o.
Zu b) schreibe ich gleich noch was, aber du kannst ja schon mal schreiben, ob du das hier verstanden hast.
Bis gleich,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 11.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Ich kann deine Überlegungen nachvollziehen. Sie sind wirklich logisch, jedoch habe ich ein Verständnisproblem. Könntest du mir erklären, wie du auf dim(Bild b) = n = dim(K n ) kommst?
Danke für die Hilfe
Jessica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 So 11.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> Ich kann deine Überlegungen nachvollziehen. Sie sind
> wirklich logisch, jedoch habe ich ein Verständnisproblem.
> Könntest du mir erklären, wie du auf dim(Bild b) = n =
> dim(K n ) kommst?
Es gilt doch nach Voraussetzung:
[mm] n = \operatorname{Rg} B = \dim( \operatorname{Bild} b) [/mm]
Warum [mm] \dim(K^n) = n[/mm] gilt, dürfte klar sein.
Ergo: [mm] \dim( \operatorname{Bild} b) = \dim(K^n) = n[/mm]
Viele Grüße,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 So 11.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Ok, ist klar, hab ich jetzt verstanden! Danke! Hatte wohl nen Eichenbrett vor dem Kopf...*gg*
Gruß
Jessica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 11.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
nun zur zweiten Teilaufgabe.
Hier könntest du dir zum Beispiel zunächst überlegen, dass folgendes gilt (es gelten die Voraussetzungen aus b)):
Sei [mm] V \subset K^n [/mm] mit [mm] \dim V = k [/mm], [mm] k\le n [/mm].
Dann gilt: [mm] \dim a(V) = k [/mm]
Der Beweis ist ganz einfach, ich überlasse ihn dir zur Übung, hier ein Tipp:
Wähle eine Basis [mm] \{v_1,v_2,\ldots,v_k,v_{k+1},\ldots,v_n\} [/mm] von [mm] V [/mm] derart, dass [mm] v_{k+1},\ldots,v_n [/mm] im [mm] \Kern a [/mm] und [mm] a(v_1),a(v_2),\ldots,a(v_k) [/mm] im [mm] \Bild a [/mm] liegt. Dann müßte alles ganz einfach folgen.
Damit folgt aber auch:
Sei [mm] k:= \Rg B [/mm] und [mm] \Bild b = b(K^q)=V [/mm] mit [mm] \dim V = k [/mm]
[mm]\Rightarrow \Rg AB = \dim \Bild a\circ b = \dim a(\;\underbrace{b(K^q)}_{=V}\;) = \dim a(V) \stackrel{\mbox{s.o.}}{=} k = \Rg B [/mm]
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich.
Alles Gute,
Marc.
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