Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 So 30.11.2008 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen:
a)
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
b)
[mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}mit a,b \in\IR [/mm]
c)
[mm] \begin{pmatrix}
t & s & t \\
s & t & s \\
t & s & t
\end{pmatrix} [/mm] mit [mm]s,t \in\IR[/mm] |
| Aufgabe 2 | | Beweisen Sie: Ist K ein Körper und sind k,m und n natürliche Zahlen, so gilt für Matrizen [mm]A \in M_(n\times m)[/mm] und [mm]B \in M_(m\times k)[/mm] stets rang[mm](A\cdot B)\le min \left\{ rang (A), rang (B) \right\} [/mm] |
Hi Ihr!
Also bei Aufgabe 1 könnte man es zwar mit einem LGS lösen und zeigen, dass die koeffizienten alle Null sind aber man kann es doch auch mit der einheitsmatrix multiplizieren und so eine Stufenmatrix aufstellen (Gaus)???
Dann hätte ich für 1:
a)
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
*
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
=
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
also Rang 3
Bei b) wäre es dann
[mm] \begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & a
\end{pmatrix}[/mm]
also Rang 2
und bei c)
[mm] \begin{pmatrix}
t & 0 & 0 \\
0 & t & 0 \\
0 & 0 & t
\end{pmatrix} [/mm] mit [mm]s,t \in\IR[/mm]
Also auch Rang 3
Meine Frage ist jetzt ob ich das so machen darf???
Bei 2 habe ich leider keinen Plan wie ich das machen soll! bzw. ich weiß noch nichtmal was das nach dem = bedeuten soll, es wäre also nett wenn mir jem einen tipp geben könnte!
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen:
> a)
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
> b)
> [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}mit a,b \in\IR [/mm]
> c)
> [mm]\begin{pmatrix}
t & s & t \\
s & t & s \\
t & s & t
\end{pmatrix}[/mm] mit
> [mm]s,t \in\IR[/mm]
> Beweisen Sie: Ist K ein Körper und sind k,m und
> n natürliche Zahlen, so gilt für Matrizen [mm]A \in M_(n\times m)[/mm]
> und [mm]B \in M_(m\times k)[/mm] stets rang[mm](A\cdot B)\le min \left\{ rang (A), rang (B) \right\}[/mm]
>
> Hi Ihr!
> Also bei Aufgabe 1 könnte man es zwar mit einem LGS lösen
> und zeigen, dass die koeffizienten alle Null sind aber man
> kann es doch auch mit der einheitsmatrix multiplizieren und
> so eine Stufenmatrix aufstellen (Gaus)???
Hallo,
was soll das Multiplizieren mit der Einheitsmatrix bringen? Dadurch verändert sich doch nichts.
Den Rang von Matrizen bestimmt man, indem man die Matrix auf Zeilenstufenform bringt, und das tut man mit dem Gaußalgorithmus.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Mary1986 |
Hi, also ich dachte das wenn man das mit der Einheitsmatrix multipliziert, hat man ja auch ne stufenform bzw. diagnoalform und man könnte sich die rechnerei sparen  Hab jetzt mit Gaus gemacht und bekomm folgendes raus:
a)[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] Also hat sie rang(3)? Wie schreib ich das jetzt noch formal richtig auf?
b)[mm]
\begin{pmatrix}
ab & b^2 \\
0 & a^2 + b^2
\end{pmatrix} [/mm] muss ich jetzt wegen dem Quadrat noch was beachten? Oder ist hier rang(2) richtig und mehr nicht?
c)[mm]
\begin{pmatrix}
st & s^2 & st\\
0 & t^2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} [/mm] also auch rang(2) oder muss ich wegen dem Quadrat noch was beachten???
Wie begründe ich formal richtig, dass die Matrizen diesen Rang haben, kann ja irgendwie schlecht schreiben, dass ich alle Zeilen zusammenzähle die nicht null sind!
Was ist mit der zweiten Aufgabe? Einen tipp wie ich das anstellen kann, bzw was dieses min bedeutet?
Danke angela!
VlG
Mary
|
|
|
| |
|
> Hi, also ich dachte das wenn man das mit der Einheitsmatrix
> multipliziert, hat man ja auch ne stufenform bzw.
> diagnoalform und man könnte sich die rechnerei sparen
Hallo,
aber Dir ist jetzt klar, daß die Multiplikation mit der Einheitsmatrix nix verändert?
> Hab jetzt mit Gaus gemacht und bekomm folgendes raus:
> a)[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
> Also hat sie rang(3)? Wie schreib ich das jetzt noch formal
> richtig auf?
"Die Matrix hat dieses Zeilenstufenform, somit ist ihr Rang =3."
> b)[mm]
\begin{pmatrix}
ab & b^2 \\
0 & a^2 + b^2
\end{pmatrix}[/mm]
> muss ich jetzt wegen dem Quadrat noch was beachten? Oder
> ist hier rang(2) richtig und mehr nicht?
Der Rang wird hier sicher davon abhängen, welche Werte a und b haben, das ist zu untersuchen.
Und noch eine Warnung: Du hast offensichtlich die obere Zeile Deiner Matrix mit b multipliziert. Falls nun b=0 ist, ändert sich dadurch der Rang. Du müßtest notieren [mm] b\not=0, [/mm] und diesen Fall getrennt untersuchen.
> c)[mm]
\begin{pmatrix}
st & s^2 & st\\
0 & t^2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> also auch rang(2) oder muss ich wegen dem Quadrat noch was
> beachten???
Auch hier ist die obere Zeile mit s multipliziert - kein Problem, solange [mm] s\not=0 [/mm] ist.
Du siehst, daß die Matrix höchstens den Rang 2 haben kann.
Aber der genaue Rang hängt von t und vielleicht auch s ab. Das ist noch zu untersuchen.
> Wie begründe ich formal richtig, dass die Matrizen diesen
> Rang haben, kann ja irgendwie schlecht schreiben, dass ich
> alle Zeilen zusammenzähle die nicht null sind!
Doch. (Sofern die Zeilenstufenform bei Euch besprochen wurde.)
>
> Was ist mit der zweiten Aufgabe? Einen tipp wie ich das
> anstellen kann, bzw was dieses min bedeutet?
Das bedeutet Minimum.
Du sollst zeigen, daß der Rang zweier matrizen, die man multipliziert, höchstens so groß sein kann wie der kleinste Rang der beteiligten Matrizen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Mo 01.12.2008 | | Autor: | reverend |
Für die erste Matrix kannst Du den Weg abkürzen, wenn Du weißt, dass eine [mm] n\times \a{}n [/mm] -Matrix [mm] \a{}A [/mm] immer Rang n hat, wenn [mm] \det{A}\not=0
[/mm]
Wenn aber die Determinante 0 ist, kommst Du um die Zeilenstufenform nicht herum, außer natürlich bei 2x2-Matrizen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Di 02.12.2008 | | Autor: | Mary1986 |
Danke euch für die Hilfe!
MfG Mary
|
|
|
|
