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Aufgabe 1: Sei [mm]\lambda[/mm][mm]\in[/mm][mm]\IR[/mm]und A:= [mm]\pmat{1 & 2 & 3\\
1 & \lambda & 1\\
0 & 0 & \lambda}[/mm] eine reelle Matrix. Bestimmen Sie
rang A und geben Sie an, für welche Werte von [mm]\lambda[/mm]die Matrix A nicht
invertierbar ist.
Lösungsweg:
Um Zeilenstufenform zu erhalten zieht man die 1. Zeile von der 2. Zeile
ab und erhält [mm]\pmat{1 & 2 & 3\\
0 & \lambda - 2 & -2\\
0 & 0 & \lambda}[/mm]. Also ist der Rang A = 3, da ja [mm]\lambda[/mm][mm]\neq[/mm] 0 ist. Stimmt das?
Wenn man nun [mm]\lambda[/mm]= 0 einsetzt, erhält man eine Nullzeile. Aber was genau bedeutet das? Gibt es dann unendlich viele Lösungen?
Für [mm]\lambda[/mm]= 2 ergibt sich [mm]\pmat{1 & 2 & 3\\
0 & 0 & -2\\
0 & 0 & 2}[/mm], also wäre nicht die gesamte Hauptdiagonale [mm]\neq[/mm] 0.
Bedeutet das, 0 und 2 dürfen nicht eingesetzt werden, da dann die Matrix nicht mehr invertierbar ist? Und stimmen die Begründungen?
Danke im Voraus für eure Hilfe!
Gruß Ptolemaios
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe 1: Sei [mm]\lambda[/mm][mm]\in[/mm][mm]\IR[/mm]und A:= [mm]\pmat{1 & 2 & 3\\
1 & \lambda & 1\\
0 & 0 & \lambda}[/mm]
> eine reelle Matrix. Bestimmen Sie
>
> rang A und geben Sie an, für welche Werte von [mm]\lambda[/mm]die
> Matrix A nicht
>
> invertierbar ist.
>
>
>
> Lösungsweg:
>
> Um Zeilenstufenform zu erhalten zieht man die 1. Zeile von
> der 2. Zeile
>
> ab und erhält [mm]\pmat{1 & 2 & 3\\
0 & \lambda - 2 & -2\\
0 & 0 & \lambda}[/mm].
> Also ist der Rang A = 3, da ja [mm]\lambda[/mm][mm]\neq[/mm] 0 ist. Stimmt
> das?
Nein.
Fall 1: [mm] \lambda [/mm] =0. Welchen Rang hat A ? Ist A invertierbar ?
Fall 2: [mm] \lambda [/mm] =2. Welchen Rang hat A ? Ist A invertierbar ?
Fall 1: [mm] \lambda \ne [/mm] 0 und [mm] \lambda \ne [/mm] 2. Welchen Rang hat A ? Ist A invertierbar ?
>
>
>
>
> Wenn man nun [mm]\lambda[/mm]= 0 einsetzt, erhält man eine
> Nullzeile. Aber was genau bedeutet das?
Rang(A)<3
> Gibt es dann
> unendlich viele Lösungen?
Von was ?
>
> Für [mm]\lambda[/mm]= 2 ergibt sich [mm]\pmat{1 & 2 & 3\\
0 & 0 & -2\\
0 & 0 & 2}[/mm],
> also wäre nicht die gesamte Hauptdiagonale [mm]\neq[/mm] 0.
>
>
> Bedeutet das, 0 und 2 dürfen nicht eingesetzt werden,
doch , einsetzen kannst Du was Du willst.
> da
> dann die Matrix nicht mehr invertierbar ist?
Ja
FRED
Und stimmen
> die Begründungen?
>
>
> Danke im Voraus für eure Hilfe!
>
> Gruß Ptolemaios
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Hi & danke für deine Antwort,
Fall 1: [mm] \lambda [/mm] = 0. rang A = 2. A ist nicht invertierbar, weil die Hauptdiagonale nicht [mm]\neq[/mm] 0 ist und eine Nullzeile entsteht.
Fall 2: [mm] \lambda [/mm] = 2. A ist nicht invertierbar, weil die Hauptdiagonale nicht [mm] \neq [/mm] 0 ist.
Fall 3: [mm] \lambda \ne [/mm] 0 und [mm] \lambda \ne [/mm] 2. rang A = 3 und A ist invertierbar.
Stimmt das? Bei [mm]\lambda[/mm] = 2, bin ich mir bei dem Rang nicht sicher, müsste 2 sein.
Gruß Ptolemaios
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Hallo Ptolemaios,
> Hi & danke für deine Antwort,
>
> Fall 1: [mm]\lambda[/mm] = 0. rang A = 2. A ist nicht invertierbar,
> weil die Hauptdiagonale nicht [mm]\neq[/mm] 0 ist und eine Nullzeile
> entsteht.
>
>
> Fall 2: [mm]\lambda[/mm] = 2. A ist nicht invertierbar, weil die
> Hauptdiagonale nicht [mm]\neq[/mm] 0 ist.
>
>
> Fall 3: [mm]\lambda \ne[/mm] 0 und [mm]\lambda \ne[/mm] 2. rang A = 3 und A
> ist invertierbar.
>
>
> Stimmt das? Bei [mm]\lambda[/mm] = 2, bin ich mir bei dem Rang nicht
> sicher, müsste 2 sein.
>
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß Ptolemaios
Gruss
MathePower
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