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| Aufgabe | Bestimme den Rang und eine Basis des Bildes der folgenden reellen Matrix:
A = [mm] \pmat{ 0 & 1&1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 & 2 } [/mm] |
Hallo an alle Leser:).
Ich habe diese Aufgabe auf einem Übungszettel gerechnet und mit 0 Punkten zurück bekommen. Begründung: "Verfahren ist nicht korrekt", dabei bin ich mir sehr sicher, dass es stimmt und würde jemanden bitten drüber zu schauen.
Also Methode: mittels elementarer Zeilenumformungen:
A = [mm] \pmat{ 0 & 1&1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 & 2 } \Rightarrow A^T [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 3& 1 & -1 \\ 1 & 2 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 & 2 }
[/mm]
vertausche nun Zeilen 1 und 2: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 3& 1 & -1 \\1 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 & 2 } \Rightarrow^{(III-I; IV-I)} \pmat{ 1 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 3& 1 & -1 \\0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & -2 & -2 & 2 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow^{(3 IV + 2II)} \pmat{ 1 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 3& 1 & -1 \\0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & -4 & 4 } \Rightarrow^{(IV-III)} \pmat{ 1 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 3& 1 & -1 \\0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Rang [mm] A^T [/mm] = 3 = Rang A
und eine Basis [mm] B_A [/mm] des Bildraumes besteht nun aus den 3 linear unabhängigen Zeilenvektoren der oberen Dreiecksmatrix. Also
[mm] B_A [/mm] = { [mm] {\vektor{1 \\ 2 \\ 5 \\ 0},\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 0 \\ -4\\ 4} } [/mm] }.
Natürlich könnte man die obere Dreiecksmatrix einfach zurück transponieren und dann stehen diese Vektoren als Spaltenvektoren, allerdings kann man sie eben wie ich es gemacht habe, dementsprechend als Zeilenvektoren ablesen. Ist ja äquivalent.
Wäre über eine Rückmeldung erfreut.
Euer Roughi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mo 16.01.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
in der vorherigen Version meines Posts habe ich Mist erzählt. Siehe hier.
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruß
barsch
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Nun ja, die Bilder von B und [mm] B^T [/mm] sind definitiv nicht gleich, aber ich transponiere erst, wende dann den Gauß-Algorithmus an um die obere Dreiecksmatrix zu kriegen und danach sind diese linear unabhängigen Zeilenvektoren der Matrix linear unabhängige Spaltenvektoren des Bildraumes...
Transponieren lässt eben die Spalten zu Zeilen werden, machst dann Zeilenumformungen und transponierst am Ende wieder die Matrix, dann hat man die gewünschten linear unabhängigen Spaltenvektoren.
Ich kann doch nicht einfach auf diese Matrix Zeilenumformungen anwenden ohne sie vorher zu transponieren. Ohne transponieren mache ich doch das Bild der Matrix durch Zeilenumformungen kaputt, da die Spalten der Matrix das Bild aufspannen. Ich könnte natürlich einfach direkt Spaltenumformungen anwenden um die Dreiecksmatrix zu erhalten, aber mich interessiert der andere Weg, den ich so oft im Internet finde...
Siehe hier: Frage 1. https://matheraum.de/forum/Bild._Basis._Darstellm._Dimens/t768912
oder von angela der Beitrag
https://matheraum.de/forum/Bilder_einer_Matrix/t587483
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mo 16.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Rechenweg ist richtig! die 0 Punkte also nicht gerechtfertigt.
Druck einen der zitierten Beiträge aus und gib ihn deinem übungsleiter.
Denk dran, die tun das nicht aus Bosheit, sondern sind zum Teilnur 2 3 semester weiter und froh, wenn sie aus der eigenen lin.a. noch ihre Standardmethode können!
Nur wenn er uneinsichtig ist zum Oberassistenten oder Prof gehen
Gruss leduart
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Hallo,
frag den HiWi, ob die Ränge von A und [mm] A^T [/mm] gleich sind.
Er wird "ja" sagen müssen, da man weiß "Zeilenrang=Spaltenrang=Rang".
Frag, ob man durch Transponieren und auf ZSF-Bringen eine Basis ermitteln kann.
Sagt er "ja", so sollte er nun überzeugt sein.
Sagt er "nein", dann vermittle ihm, daß dies doch das Gleiche ist, als würdest Du mit den Ursprungsspalten Spaltenumformungen machen.
Du wählst halt den Weg über die Transposition mit Zeilenumformungen, weil diese einem meist leichter von der Hand gehen.
Du könntest ja alles, was Du nach dem transponieren zeilenweise getan hast, auch untransponiert spaltenweise tun.
Wenn er dann auch noch uneinsichtig ist, würde ich, wie von leduart vorgeschlagen, auch zum Assistenten oder Prof. gehen, und zwar gar nicht so sehr wegen der fehlenden Punkte, die meist nicht sooo wichtig sind, sondern einfach, weil's Dir besser geht, wenn der sagt: "Richtig".
Weiter solltest Du Dir aber unbedingt auch aneignen, wie man ohne zu transponieren aus der ZSF eine Basis des Bildes ablesen kann, und zwar bekommt man so eine Basis, welche eine Teilmenge der erzeugenden Spalten ist.
Diese Vorgehensweise hat nämlich den Vorteil, daß Du aus der ZSF auch gleich noch mühelos den Kern gewinnen kannst.
LG Angela
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Hallo Angela, dein letzter Satz... "Diese Vorgehensweise...", bezieht dieser sich auf die Vorgehensweise transponieren dann elementare Zeilenumformungen oder auf den Weg mittels elementare Spaltenumformungen? Also aus welcher Methode lässt mittels ZSF auch noch mühelos der Kern ermitteln?
> Weiter solltest Du Dir aber unbedingt auch aneignen, wie
> man ohne zu transponieren aus der ZSF eine Basis des Bildes
> ablesen kann, und zwar bekommt man so eine Basis, welche
> eine Teilmenge der erzeugenden Spalten ist.
> Diese Vorgehensweise hat nämlich den Vorteil, daß Du aus
> der ZSF auch gleich noch mühelos den Kern gewinnen
> kannst.
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| Aufgabe | Bestimme den Rang und eine Basis des Bildes der folgenden reellen Matrix,
sowie die Dimension und eine Basis des Kerns.
A = [mm] \pmat{ 0 & 1&1 & 1 \\
3 & 2 & 2 & 0 \\
1 & 5 & 1 & 3 \\
-1 & 0 & 4 & 2 } [/mm] |
Hallo,
ich erkläre, was ich meine.
Das Bild der Matrix A wird erzeugt von den 4 Spaltenvektoren.
Wir wollen wissen, welche Dimension des Bild hat, und welche der 4 Vektoren wir als Basis nehmen können.
Umformen durch elemetare Zeilenumformungen in ZSF:
[mm]A = \pmat{ 0 & 1&1 & 1 \\
3 & 2 & 2 & 0 \\
1 & 5 & 1 & 3 \\
-1 & 0 & 4 & 2 } [/mm]
[mm]--> \pmat{ 1 & 5 & 1 & 3 \\
0 & 1&1 & 1 \\
3 & 2 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 4 & 2 } [/mm]
[mm]--> \pmat{ 1 & 5 & 1 & 3 \\
0 & 1&1 & 1 \\
0 & 13 & 1 & 9 \\
-0& 5 & 5 & 5 } [/mm]
[mm]--> \pmat{ \red{1} & 5 & 1 & 3 \\
0 & \red{1}&1 & 1 \\
0 & 0 & \red{3} & 1 \\
0& 0 & 0 & 0}[/mm]
Bild:
Der Rang der Matrix ist offenbar 3.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1, 2 und 3.
Also bilden der 1.,2. und 3. Spalte der Ursprungsmatrix A eine Basis des Bildes,
dh. es ist [mm] BildA=<\vektor{0\\3\\1\\-1}, \vektor{1\\2\\5\\0}, \vektor{1\\2\\1\\4}>.
[/mm]
Kern:
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1, 2 und 3.
Also kann man die 4. Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_4=t
[/mm]
bekommt man aus der 3.Zeile
[mm] x_3=-\bruch{1}{3}t,
[/mm]
aus der 2. Zeile
[mm] x_2=\bruch{1}{3}t-t=-\bruch{2}{3}t,
[/mm]
aus der 1.Zeile
[mm] x_1=-5x_2-x_3-3x_4=\bruch{10}{3}t+\bruch{1}{3}t-3t=\bruch{2}{3}t,
[/mm]
also haben die Vektoren des Kerns die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=t*\vektor{\bruch{2}{3}t\\-\bruch{2}{3}\\-\bruch{1}{3}\\1},
[/mm]
und damit ist [mm] \vektor{\bruch{2}{3}t\\-\bruch{2}{3}\\-\bruch{1}{3}\\1} [/mm] eine Basis des Kerns.
Noch raffinierter: weiterarbeiten zur reduzierten ZSF:
$--> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -2/3 \\ 0 &1&0 & 2/3 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 \\ 0& 0 & 0 & 0}$
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeile stehen in Spalte 1, 2 und 3.
Also bilden der 1.,2. und 3. Spalte der Ursprungsmatrix A eine Basis des Bildes.
Kern: Endmatrix-Einheitsmatrix rechnen, [mm] ergibt\pmat{ 0 & 0 & 0 & -2/3 \\ 0 &0&0 & 2/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1/3 \\ 0& 0 & 0 & -1}.
[/mm]
Die verbleibenden Spalten (hier: die 4.) sind eine Basis des Kerns.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:10 Di 17.01.2012 | | Autor: | RoughNeck |
Das ist gut, ich war schon völlig verzweifelt.
Vielen lieben Dank euch beiden!!:)
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimme den Rang und eine Basis des Bildes der folgenden
> reellen Matrix:
>
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1&1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 & 2 }[/mm]
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> Hallo an alle Leser:).
>
> Ich habe diese Aufgabe auf einem Übungszettel gerechnet
> und mit 0 Punkten zurück bekommen. Begründung: "Verfahren
> ist nicht korrekt", dabei bin ich mir sehr sicher, dass es
> stimmt und würde jemanden bitten drüber zu schauen.
da war Dein Korrekteur/Deine Korrekteurin wohl übermüdet, oder hat aus Versehen Zettel vertauscht. Wenn in der Aufgabe nicht explizit steht, dass Du das mit einem anderen Verfahren machen MUSST, gibt's da, soweit ich (und auch wohl alle anderen bisher) das sehen, nichts zu bemängeln. Frag' den Korrektor/die Korrektorin mal, welche Sätze der linearen Algebra ihr unbekannt sind? In Bosch, Lineare Algebra findest Du eine Rechtfertigung für jeden Deiner Rechenschritte - auch in jedem einigermaßen vernünftig aufgebauten Vorlesungsskript. Anscheinend kennt der Korrektor/die Korrektorin nur die Musterlösung und akzeptiert nur diese - sollte dem wirklich so sein, so würde ich dem Prof. empfehlen, entweder den Korrektor selbst mal "aufzuklären", oder aber drüber nachzudenken, ob diese Person wirklich noch weitere Übungen korrigieren soll. Denn das sind elementarste Kenntnisse der LA, die Du da benutzt!!
Gruß,
Marcel
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