Rang und Dimension < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Sa 18.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Ich bin gerade total verwirrt. Habe im Internet gelesen, dass man für die Bestimmung der Dimension diese Formel " dim(A)=n-Rang(A)" verwenden kann gelesen. Habe bei mir klappt es nicht. Ich habe eine 3x2 gegeben.
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Die Dimension ist hier 2 (Anzal der liner unabhäniggen Spalten)
mit der Formel komme ich aber auf 1.
DIm(A)= 3-2 =1
Anzahl der spalten - Rang
Ist die Formel falsch??? Oder kann man die Formel nur für quadratische Matrizen anwenden??
Und noch eine Frage. Was ist überhaupt der Unterschied zwischen Dimension und Rang???
Bei der Dimension muss man die Einheitsmatrix bilden und bei dem Rang die Zeilenstufenform oder??
Und der Unterschied??
Vielen Dank!!
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Sa 18.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
A ist eine Matrix, ihr Rang ist durch die Maximalzahl lin. unabh. Zeilen (oder Spalten) Vektoren bestimmt.
dim(A) macht keinen Sinn. es gibt da A eine Abbildungsmatrix ist die Dimension des Bildes von A und die dimension des Kerns von A. die Summe dieser 2 ergibt die Dimension des VR, in dem A operiert, also n in deiner Schreibweise.
Irgendeine dumme Formel ohne die zugehörigen Definitionen zu benutzen ist recht sinnlos. vielleich wurde dazu irgendwo gesagt, was mit dim(A) gemeint ist.
Eine Matrix hat nen Rang, ein VR eine Dimension, da das bild der Abbildung einer matrix ein VR ist, ebenso der Kern der Abb. hast du da den Begriff Dimension.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Sa 18.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hallo Leduart,
ist der Rang durch die Maximalzahl lin. unabh. Zeilen oder Spalten Vektoren nun bestimmt, wir haben ja nicht immer quadratische Matirzen gegeben.
Nun zur Dim(A). Im Internet habe ich nach dimension rechnen gegooglelt und darüber würde in einem Forum geredet. Die meinten nämlich, dass das die Formel zum Berechnen der Dimension bei quadratischen Matrizen ist, deswegen wollte ich nochmal nachfragen, ob das überhaupt wirklich so ist.
Den Unterschied zwischen Rang und Dimension habe ich immer noch nicht ganz verstanden?
Ich sollte nämlich in den Übungsblättern die Dimension einer Matrix (!!!)bestimmen und du sagt:
" ein VR eine Dimension, da das bild der Abbildung einer matrix ein VR ist, ebenso der Kern der Abb. hast du da den Begriff Dimension."
Wie berechnet man dann das BIld und den Kern einer Abbildung. Jetzt habe ich gar keinen Überblick mehr.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Sa 18.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn nach dim einer matrix gefragt wird, kann das vieles bedeuten, also solltest du nach der Def. in EURER Vorlesung suchen. es kann die zeilenzah. die Spaltenzahl , [mm] n\times [/mm] n sein oder die dim des kerns oder des bildes.
zitiere vielleicht die vollständige Aufgabe. umgangssprachlch hsagt man oft auch der vektor (1,2,3,4) hat die dimension 4, und meint es ist ein vektor aus dem 4 dimensionalen Vektorraum. usw.
eindeutig kann man dim(A) A matrix ohne Definition nichts zuordnen. bei einer quadratischen matrix ist n oft mal üblich als dimension zu nennen, aber dann wär ja nichts zu rechnen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Sa 18.02.2012 | | Autor: | chara18 |
| Aufgabe | Es seien a=(1;3;1) ;b=(1;2;3) ;c=(1;5;4) ;d =(2;4;2) und e=(1;1;5) Vektoren von V =Z37
.
Desweiteren seien U = ha;b;ci undW = hd;ei Unterr¨aume von V.
a) Bestimmen Sie die Dimensionen der Unterr¨aumeU,W,U [mm] \W [/mm] undU+W, indem Sie jeweils
eine Basis angeben.
b) Bestimmen Sie, in welchen dieser Unterr¨aume der Vektor (1;4;0) liegt. F¨ur jeden Unterraum,
in dem der Vektor liegt, geben Sie den Koordinatenvektor zu der von Ihnen gew¨ahlten
Basis dieses Unterraums an. |
Das ist einen Teil der Aufgabenstellung schon ausgerechnet, bin nur etwas verwirrt, weil ich immer noch nicht den Unterschied zwischen Rang und Dim verstehe. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Sa 18.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt bin ich verwirrt!
ich hatte gefragt, wo und wie nach dim(A) A =Matrix gefragt wird und du postest eine Aufgabe, in der keine Matrix vorkommt.
gefragt ist, nur nach Dimensionen von Vektorräumen? Was das ist denke ich ist dir klar?
wo ist also hierzu die Frage?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Sa 18.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hmm.... In keiner Aufgabenstellung wird konkret nach dim(A) gefragt. Wie gesagt die Formel hatte ich im Internet gefunden und dachte, dass man die auch für Vektoren benutzen kann.
Eine konkrete Definition zu dim(A) habe ich auch nicht.
Aber jetzt habe ich noch andere Fragen. : )
1)Erstmal zum Rang. Beim Rang muss man ja die Zeilenstufenform bilden. Kann man den Rang nur von Matrizen berechnen oder auch von Vektorräume.
2)Bei der Dimension muss man doch die Einheitsmatrix bilden. Und gibt es nur Dimensionen von Vektorräumen oder auch von Matirzen.
3)Eigentlich ist ja dann Dim=rang
nur dass dim eher für vektorräume geeignet ist und rang zu den matrizen gehört. Man benutzt dabei auch unterschiedliche Rechnungen.
oder liege ich jetzt komplett falsch??
Wollte dich nicht verwirren:(
LG
Nadinee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Sa 18.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
weil bei Dir anscheinend einige Begrifflichkeiten durcheinander gekommen sind, schreibe ich Dir mal die Definitionen und gebe Dir zwei Skipte ![[]](/images/popup.gif) Skript[1],Skript[2] zum durch-/nacharbeiten - dann haben wir wenigstens eine gemeinsame Literatur (ansonsten empfehle ich persönlich etwa Bosch, lineare Algebra oder dieses billige Büchlein, wo man zwar mittlerweile mit 3 Euro quasi nur noch das Material bezahlt, aber, denke ich, wenigstens "schneller" ein wenig einen Übergang von Schule zu Uni hinbekommen kann):
Der Zeilenrang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen(vektoren), und der Spaltenrang die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten(vektoren). Beide sind eindeutig bestimmt und zudem gleich (bei endlichen Matrizen) - so dass man den Rang als Spaltenrang definieren kann und dann auch Zeilen=Spaltenrang(=Rang) ist. Merke/beachte auch: Der Zeilenrang von [mm] $A\,$ [/mm] ist der Spaltenrang von der transponierten [mm] $A^T\,.$
[/mm]
In dem Skript[2] oben kannst Du das ab S.71/4.20 nachlesen. Denn beachte:
Wenn eine Matrix $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] ist, dann kann man die [mm] $n\,$ [/mm] Spaltenvektoren einzeln als Vektor des [mm] $\IR^m$ [/mm] auffassen. Die Menge aller Linearkombinationen aus diesen spannt einen Unterraum des [mm] $\IR^m$ [/mm] auf - nennen wir diesen mal [mm] $U\,.$ [/mm] Kurzgesagt ist dann klar, dass die Spaltenvektoren der Matrix ein Erzeugendensystem von [mm] $U\,$ [/mm] bilden. Daraus folgt dann, dass wir mit diesen Spaltenvektoren auch eine Basis für [mm] $U\,$ [/mm] bilden können, indem wir aus dem EZS "ein Teilsystem auswählen derart, dass dieses linear unabhängig ist und dass die Hinzunahme irgendeines weiteren Spaltenvektoren linear abhängig wird". Die Anzahl der Elemente dieses so gefundenen Teilsystems ist dann die Dimension von [mm] $U\,,$ [/mm] und zudem die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren der Matrix.
In diesem Sinne ist der Rang einer Matrix $A [mm] \in \IR^{m\times n}$ [/mm] per Definitionem erstmal nichts anderes als die Dimension des Unterraums $U [mm] \subseteq \IR^m\,,$ [/mm] der von den Spalten der Matrix erzeugt wird.
Vielleicht schaust Du Dir mal Skript[2], S.70 bis 87 genauer an (die Übungsaufgaben kannst - musst Du aber nicht zwingend lösen. Vielleicht versuchst Du erstmal, die Theorie und die erwähnten Beispiele zu verstehen).
Auch in Skript[1] findest Du etwas über das Thema: Ab Definition 8.12 (diese Definition ist die gleiche wie in Skript[2] - denn Bild(A) wird in 8.9 entsprechend definiert). Insgesamt müsstest Du zumindest Teile des Kapitels 8,9 und 10 dort durcharbeiten.
Kurzes Fazit:
Bei Matrizen spricht man vom Rang, nicht von Dimension - das heißt aber nur, dass man sagt, dass eine Matrix einen Rang habe, und ich es jedenfalls nicht kenne, dass man sagt, dass eine Matrix eine Dimension habe. Allerdings ist der Rang einer Matrix definiert als der Spaltenrang einer Matrix, und letzteres ist, wenn $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] ist, die Dimension des Unterraums des [mm] $\IR^m$, [/mm] der von den Spalten der Matrix [mm] $A\,$ [/mm] "erzeugt wird". Diese Dimension läßt sich in vollkommen analoger Weise auch als die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten der Matrix [mm] $A\,$ [/mm] beschreiben, so dass ich persönlich erstmal den Rang einer Matrix [mm] $A\,$ [/mm] wie oben auch so definieren würde bzw. vorgehen würde:
(1) $rgA:=$Spaltenrang$A$=maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A.
Wie oben schon mehrmals gesagt/erklärt: maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A=dim(Bild(A)), wobei Bild(A)=Menge der Linearkombinationen der Spalten von A (eine Spalte von $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] ist ein Element des [mm] $\IR^m$, [/mm] also ist Bild(A) ein Unterraum des [mm] $\IR^m\,,$ [/mm] oben hatte ich diesen mal [mm] $U\,$ [/mm] genannt).
In diesem Sinne steht dann der Rang einer Matrix mit der Dimension eines (naheliegenden) Vektorraums in Bezug. Ferner kann man wegen [mm] $rgA=rgA^T$ [/mm] auch sagen:
Der Rang einer Matrix ist die Dimension des Unterraums [mm] Bild$(A^T)$ [/mm] von [mm] $\IR^{n}\,,$ [/mm] also die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von [mm] $A\,.$
[/mm]
Die Aussage $dim(A)=rg(A)$ würde gemäß (1) demzufolge insgesamt auch nur Sinn machen, wenn sie als Kurzschreibweise für $dim(Bild(A))=rg(A)$ verwendet werden würde - was ich persönlich nicht machen würde!!
P.S.:
Das einzige, was ich denke, wo es Sinn machen könnte, von "der Dimension einer Matrix zu sprechen", ist das, was Leduart schonmal sagte: Man sagt kurz etwa für $a [mm] \in \IR^4\,,$ [/mm] dass [mm] $a\,$ [/mm] die Dimension [mm] $4\,$ [/mm] habe (was mathematisch so falsch ist, und auch wirklich nur "Umgangssprache" ist) - das soll andeuten, dass [mm] $a\,$ [/mm] ein Element eines 4-dim. Vektorraums ist. Analog könnte man dann sagen, dass $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] die Dimension $m [mm] \cdot [/mm] n$ habe - wenn man den Raum der Matrizen als entsprechenden Vektorraum auffasst! Ich habe das aber noch nie gehört, aber das wäre wenigstens eine "analoge umgangssprachliche Sprechweise". (Wie gesagt: Ich habe das bislang so weder gehört noch gelesen, und es scheint mir auch nicht üblich...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Sa 18.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hallo Marcel,
recht herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich muss das alles in den nächsten Tag wiederholen, sonst wird mich das mein lebenlang verfolgen : )
Wünsche dir noch einen schönen angenehmen Tag.
LG
Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Sa 18.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> recht herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung.
> Ich muss das alles in den nächsten Tag wiederholen, sonst
> wird mich das mein lebenlang verfolgen : )
dazu ist es wichtig, dass Du Dir inbesondere nochmal die Begriffe
Lineare (Un-/)Abhängigkeit, Erzeugendensystem (EZS), Basis=maximale Anzahl linear unabhg. Vektoren=minimales EZS (im Falle endlichdim. Vektorräume), Dimension (=Anzahl der Elemente einer Basis)
anschaust bzw. klarmachst. Den Rest kannst Du etwa den Skripten entnehmen.
> Wünsche dir noch einen schönen angenehmen Tag.
Ebenfalls!
Gruß,
Marcel
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