Rang und dim Ker von lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Di 15.01.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Die linearen Abbildungen v1: [mm] \IR² \rightarrow \IR³ [/mm] und v2: [mm] \IR³ \rightarrow \IR² [/mm] seien definiert durch:
v1(1,0)=(2,-1,3), v1(,0,1)=(0,1,-1)
und
v2(1,0,0)=(1,1), v2=(0,1,0)=(8,-2), v2(0,0,1)=(1,0)
Bestimmen Sie Rang(v1v2) und dim Ker(v2v1). |
Hi.
Da mir schon beim letzten mal so gut geholfen wurde, hoffe ich, dass ihr mir bei dieser (diesen) Aufgaben(n) auch helfen könnt.
Auch hier fehlt mir leider schon der Ansatz :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Di 15.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Sabrina,
weißt Du denn, wie man den Kern einer linearen Abbildung bzw. den Rang einer Matrix berechnet?
Der Kern eines Homomorphismus (das gilt im Übrigen allg.) ist stets eine algebraische Unterstruktur, d.h. hier ist Kern(f) ein Untervektorraum, wenn f eine lineare Abbildung ist. Ein UVR besitzt eine Basis und somit eine Dimension.
(v1v2) soll wohl das Kompositum der beiden linearen Abbildungen sein, welches selbst wieder eine lineare Abbildung ist. Jede lin. Abb. korrespondiert mit einer Matrix, dessen Rang berechnet werden soll.
LG
Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Do 17.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Also muss ich zuerst die beiden v irgendwie verknüpfen.
Also die eine Funktion auf die andere Anwenden, ja?
Und wie mache ich das?
Ist der Rang sogesehen die Anzahl der Elemente, wenn ich die Basis ausrechnen möchte?
Also ich stelle ein LGS auf und wende das Gaußsche Eliminationsverfahren an.
Je nachdem wie viele Zeilen überbleiben, das ist dann schonmal der Rang?
|
|
|
| |
|
> Also muss ich zuerst die beiden v irgendwie verknüpfen.
> Also die eine Funktion auf die andere Anwenden, ja?
> Und wie mache ich das?
Hallo,
hier dürfte es am einfachsten sein, wenn Du jeweils die darstellende Matrix der Abbildung hinschreibst und die beiden multipliziertst.
Wenn Du das nicht möchtest: berechne jeweils [mm] v_1\circ v_2(e_i)=v_1(v_2(e_i)). [/mm] (Die [mm] e_i [/mm] sollen die kanonischen Einheitsvektoren sein.)
Anschließend kannst Du auch hier die darstellende Matrix hinschreiben.
>
> Ist der Rang sogesehen die Anzahl der Elemente, wenn ich
> die Basis ausrechnen möchte?
Der Rang der darstellenden Matrix = Dimension des Bildes der zugehörigen Abbildung, gibt also in der Tat an, wieviele Vektoren die Basis des Bildes enthält.
> Also ich stelle ein LGS auf und wende das Gaußsche
> Eliminationsverfahren an.
> Je nachdem wie viele Zeilen überbleiben, das ist dann
> schonmal der Rang?
Ja.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Do 17.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Also ich glaube sobald ich die beiden Matrizen multipliziert habe, komme ich weiter.
Aber ich verstehe nicht ganz, wie ich eine Matrix mit 2 Werten mit einer Matrix mit 3 Werten multiplizieren soll.
Kannst du mir nicht eventuell ein Beispiel geben?
|
|
|
| |
|
Hallo skydyke,
ich verstehe nicht ganz, was du meinst??
Die Darstellungsmatrix von [mm] $v_1:\IR^2\to\IR^3$ [/mm] ist doch vom Format [mm] $3\times [/mm] 2$
Und die von [mm] $v_2:\IR^3\to\IR^2$ [/mm] vom Format [mm] $2\times [/mm] 3$
Mache dir klar, dass [mm] $v_2\circ v_1:\IR^2\to\IR^2$ [/mm] ist und die zugehörige Darstellungsmatrix vom Format [mm] $2\times [/mm] 2$
Und für [mm] $v_1\circ v_2:\IR^3\to\IR^3$ [/mm] vom Format [mm] $3\times [/mm] 3$
Und man kann sehr wohl eine [mm] $(2\times [/mm] 3)$-Matrix mit einer [mm] $(3\times [/mm] 2)$-Matrix multiplizieren
Ebenso eine [mm] $(3\times [/mm] 2)$-Matrix mit einer [mm] $(2\times [/mm] 3)$-Matrix
Also versuch's nochmal und schreib uns v.a. mal deine Darstellungsmatrizen auf!!
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Also ich habe dann jetzt die beiden Matrizen:
v1( [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] )= [mm] \pmat{ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 }
[/mm]
und v2 ( [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] ) = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 8 & -2 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Die Matrix ist doch soweit richtig oder?
Und muss ich eigentlich die Werte auf der linken oder auf der rechten Seite verknüpfen?
|
|
|
| |
|
> Also ich habe dann jetzt die beiden Matrizen:
> v1( [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] )= [mm]\pmat{ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 }[/mm]
>
> und v2 ( [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] ) =
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 8 & -2 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> Die Matrix ist doch soweit richtig oder?
Hallo,
Du mußt Dich unbedingt über lineare Abbildungen und darstellende Matrizen informieren.
Was soll diese Schreibweise: v1( [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] )? das ist doch der totale Quatsch, denn die Abb. [mm] v_1 [/mm] wird ja auf Vektoren angewendet und nicht Matrizen.
Mal das Kochrezept für die einfachste Zubereitung einer darstellenden Matrix einer lin. Abbildung f:
Du nimmst die Bilder der Standardbasisvektoren und schreibst sie als Spalten in eine Matrix. Fertig ist die darstellende Matrix [mm] M_f [/mm] der linearen Abbildung f.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Also einfach:
[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ -1 & 1 \\ 3 & -1 }
[/mm]
und
[mm] \pmat{ 1 & 8 & 1 \\ 1 & -2 & 0 }
[/mm]
??
|
|
|
| |
|
Ja, es ist wirklich so einfach.
Jedenfalls solange keine Koordinatentransformationen ins Spiel kommen - und sie werden bald kommen!
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Und die beiden muss ich nun multiplizieren und anschließend mit einem LGS den Rang herausfinden?
Und beim Kern herausfinden, was wir einsetzen müssen, damit der Kern von v2v1 auf 0 abbildet?
|
|
|
| |
|
> Und die beiden muss ich nun multiplizieren und anschließend
> mit einem LGS den Rang herausfinden?
Genau.
>
> Und beim Kern herausfinden, was wir einsetzen müssen, damit
> der Kern von v2v1 auf 0 abbildet?
Das ist die eine Möglichkeit.
Die andere: Rang bestimmen und über Kern-Bild-Satz /Dimensionssatz schlau machen, denn lt. Aufgabenstellung brauchst Du die Basis v. Bild und Kern ja nochnichteinmal anzugeben.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Also erstmal habe ich die Matrizen multipliziert und erhalte:
[mm] \pmat{ -3 & 7 \\ 4 & -2 }
[/mm]
Also eine 2x2 Matrix.
Da man mit einem LGS keine Zeile eliminieren kann, sollte der Rang = 2 sein.
dann hab ich aus dem LGS:
x= 1/2 y
dies ist mein Kern, also eine gerade und die Gerade hat die Dimension = 1 also ergibt sich doch :
dim Ker(v2v1)= 1
|
|
|
| |
|
Hallo,
guck Deine Aufgabenstellung genau an, es ist einmal nach [mm] v_1\circ v_2 [/mm] gefragt, und einmal nach [mm] v_2\cirv v_1.
[/mm]
> Also erstmal habe ich die Matrizen multipliziert und
> erhalte:
> [mm]\pmat{ -3 & 7 \\ 4 & -2 }[/mm]
Das ist die darstellende Matrix von [mm] v_2\cirv v_1.
[/mm]
>
> Also eine 2x2 Matrix.
> Da man mit einem LGS keine Zeile eliminieren kann, sollte
> der Rang = 2 sein.
Ja.
>
> dann hab ich aus dem LGS:
Aus welchem? Aus dem da oben?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
ich hab aus der matrix darstellung:
-3x + 7y = 0
4x - 2y = 0
dies müsste Rang 2 haben,
und wenn man nach x auflöst hat man doch eine Gerade und dies ist dann auch der Kern, oder? falls das so stimmt hätte man doch:
dim Ker = 1
|
|
|
| |
|
> ich hab aus der matrix darstellung:
>
> -3x + 7y = 0
> 4x - 2y = 0
>
> dies müsste Rang 2 haben,
Hallo,
ja, es hat den Rang 2. (Schau Dir unbedingt an, wie das mit den Matrizen und der Zeilenstufenform geht!)
> und wenn man nach x auflöst hat man doch eine Gerade und
> dies ist dann auch der Kern, oder?
Nein.
Der Kern ist die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems. Diese Lösungsmenge besteht aus allen Paaren (x,y), die das System lösen.
Um den Kern zu finden, mußt Du also die Lösung des GSs berechen. Wie in der Schule. Da hat man das auch gemacht. 9.Klasse, wenn ich mich nicht täusche.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
ich hab das Gleichungssystem:
-3x + 7y = 0
4x - 2y = 0
dann hab ich für x = 1/2 y
das setz ich dann ein und erhalte für y = 0, dann hab ich aber x = y = 0, macht das denn überhaupt sinn?
ich wüsste auch nicht wie ich anders nach x und y lösen könnte.
|
|
|
| |
|
> ich hab das Gleichungssystem:
>
> -3x + 7y = 0
> 4x - 2y = 0
>
> dann hab ich für x = 1/2 y
> das setz ich dann ein und erhalte für y = 0, dann hab ich
> aber x = y = 0, macht das denn überhaupt sinn?
>
> ich wüsste auch nicht wie ich anders nach x und y lösen
> könnte.
Hallo,
es ist doch völlig richtig, was Du tust. (x,y)=(0,0) ist die einzige Lösung Deines Gleichungssystems.
Also besteht der Kern nur aus dem einen Punkt, also ist der [mm] Kern=\{(0,0\}.
[/mm]
Welche Dimension hat eigentlich dieser VR?
(/Noch was zum Merken: f linear und Kern f [mm] =\{0\} [/mm] ==> f ist injektiv . Das ist wichtig. Wird gern in Klausuren bewiesen. )
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Dadurch, dass Ker = {(0,0)} ist, ist doch dann dim = 0, da der Kern nur einen Punkt beinhaltet, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo Sabrina,
> Dadurch, dass Ker = {(0,0)} ist, ist doch dann [mm] dim\red{(Kern)} [/mm] = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") da
> der Kern nur einen Punkt [mm] \red{\text{den Nullvektor}} [/mm] beinhaltet, oder?
Jo, stimmt
Lg
schachuzipus
|
|
|
|
