Rang von Moduln < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Fr 03.10.2014 | | Autor: | Imperio |
| Aufgabe | 1. Welchen Rang hat A = [mm] \IZ \oplus \IZ \oplus \IZ \oplus \IZ/4\IZ \oplus \IZ/4\IZ [/mm] als [mm] \IZ-Modul?
[/mm]
2. Welchen Rang hat B = [mm] \IZ/8\IZ \oplus 5\IZ \oplus 8\IZ [/mm] als [mm] \IZ-Modul? [/mm] |
Hallo,
hoffentlich kann mir jemand erklären, wie man den Rang von Moduln bestimmt.
Ich weiß nur, falls der Modul M frei ist, dann ist Rang von M gleich der Anzahl der Elemente der Basis. Diese Moduln sind aber nicht frei, und ich habe keine Ahnung, wie ich anfangen soll diese Aufgabe zu lösen.
Ich kann nur sagen, dass Rang(A) <= 5 und Rang(B) <= 3, mehr kann ich leider nicht...
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
Die elementarste Definition des Ranges ist die maximale Anzahl [mm] $\IZ [/mm] $-linear unabhängiger Elemente des Moduls. Alternativ ist [mm] $\operatorname [/mm] {rank} [mm] M=\dim_\IQ\IQ\otimes_\IZ [/mm] M $. Oder nochmals anders ausgedrückt, der Rang eines beliebigen Moduls ist der Rang eines maximalen freien Untermoduls.
Beachte, dass der Rang additiv bezüglich direkter Summenbildung ist, und Torsionsmoduln den Rang $0$ besitzen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Sa 04.10.2014 | | Autor: | Imperio |
Hallo und danke nochmals!
Okey, dann fange ich mal an.
1. rang(A) = [mm] dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ} [/mm] A) = [mm] dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ} (\IZ \oplus \IZ \oplus \IZ \oplus \IZ/4\IZ \oplus \IZ/4\IZ)) [/mm] = [mm] dim_{\IQ}((\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ/4\IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ/4\IZ))
[/mm]
Jetzt aber weiß ich, dass [mm] \IQ \otimes_{\IZ} \IZ/4\IZ [/mm] = 0 ist, dann erhalten wir:
rang(A) [mm] =dim_{\IQ}((\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus [/mm] 0 [mm] \oplus [/mm] 0) = [mm] dim_{\IQ}((\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ))
[/mm]
Es gilt auch: M [mm] \otimes_{\IZ} \IZ \cong [/mm] M.
rang(A) [mm] =dim_{\IQ}(\IQ \otimes \IQ \otimes \IQ) [/mm] = [mm] dim_{\IQ}(\IQ^3) [/mm] = 3.
Stimmt es, oder sollte man so rechnen:
rang(A) = [mm] dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ} [/mm] A) = [mm] dim_{\IQ}(\IQ)*dim_{\IQ}(A) [/mm] = [mm] 1*dim_{\IQ}(\IZ \oplus \IZ \oplus \IZ \oplus \IZ/4\IZ \oplus \IZ/4\IZ) [/mm] = [mm] dim_{\IQ}(\IZ) [/mm] + [mm] dim_{\IQ}(\IZ) [/mm] + [mm] dim_{\IQ}(\IZ) [/mm] + [mm] dim_{\IQ}(\IZ/4\IZ) [/mm] + [mm] dim_{\IQ}(\IZ/4\IZ). [/mm] Ist [mm] dim_{\IQ}(\IZ) [/mm] = 1? Dann rang(A) = 1+1+1+0+0=3.
2. rang(B) = [mm] dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ} [/mm] B) = [mm] dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ} (\IZ/8\IZ \oplus 5\IZ \oplus 8\IZ)) [/mm] = [mm] dim_{\IQ}((\IQ \otimes_{\IZ} \IZ/8\IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} 5\IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} 8\IZ)) [/mm] = [mm] dim_{\IQ}((\IQ \otimes_{\IZ} 5\IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} 8\IZ))
[/mm]
Ich vermute, dass [mm] \IQ \otimes_{\IZ} 5\IZ \cong \IQ \otimes_{\IZ} 8\IZ \cong \IQ, [/mm] oder?
Falls ja, dann rang(B) [mm] =dim_{\IQ}(\IQ \otimes \IQ) [/mm] = [mm] dim_{\IQ}(\IQ^2) [/mm] = 2.
Oder auch wie oben:
rang(B) = [mm] dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ} [/mm] B) = [mm] dim_{\IQ}(\IQ)*dim_{\IQ}(B) [/mm] = [mm] 1*dim_{\IQ}(\IZ/8\IZ \oplus 5\IZ \oplus 8\IZ) [/mm] = [mm] dim_{\IQ}(\IZ/8\IZ) [/mm] + [mm] dim_{\IQ}(5\IZ) [/mm] + [mm] dim_{\IQ}(8\IZ) [/mm] = 0+1+1 = 2.
Ist es richtig?
Herzliche Grüße
|
|
|
| |
|
> Hallo und danke nochmals!
>
> Okey, dann fange ich mal an.
> 1. rang(A) = [mm]dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ}[/mm] A) =
> [mm]dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ} (\IZ \oplus \IZ \oplus \IZ \oplus \IZ/4\IZ \oplus \IZ/4\IZ))[/mm]
> = [mm]dim_{\IQ}((\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ/4\IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ/4\IZ))[/mm]
>
> Jetzt aber weiß ich, dass [mm]\IQ \otimes_{\IZ} \IZ/4\IZ[/mm] = 0
> ist, dann erhalten wir:
> rang(A) [mm]=dim_{\IQ}((\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus[/mm]
> 0 [mm]\oplus[/mm] 0) = [mm]dim_{\IQ}((\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} \IZ))[/mm]
>
> Es gilt auch: M [mm]\otimes_{\IZ} \IZ \cong[/mm] M.
> rang(A) [mm]=dim_{\IQ}(\IQ \otimes \IQ \otimes \IQ)[/mm] =
> [mm]dim_{\IQ}(\IQ^3)[/mm] = 3.
Das ist richtig.
> Stimmt es, oder sollte man so rechnen:
> rang(A) = [mm]dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ}[/mm] A) =
Bei diesem Gleichheitszeichen machst du einen Fehler. Beachte, dass du über [mm] $\IZ [/mm] $ tensorierst, nicht über [mm] $\IQ [/mm] $. Auch deine Frage weiter unten, was [mm] $\dim_\IQ\IZ [/mm] $ sei, ist sinnfrei, da [mm] $\IZ [/mm] $ kein [mm] $\IQ [/mm] $-Modul ist.
Analog ist bei der zweiten Aufgabe deine erste Rechnung korrekt, die zweite jedoch falsch.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
> [mm]dim_{\IQ}(\IQ)*dim_{\IQ}(A)[/mm] = [mm]1*dim_{\IQ}(\IZ \oplus \IZ \oplus \IZ \oplus \IZ/4\IZ \oplus \IZ/4\IZ)[/mm]
> = [mm]dim_{\IQ}(\IZ)[/mm] + [mm]dim_{\IQ}(\IZ)[/mm] + [mm]dim_{\IQ}(\IZ)[/mm] +
> [mm]dim_{\IQ}(\IZ/4\IZ)[/mm] + [mm]dim_{\IQ}(\IZ/4\IZ).[/mm] Ist
> [mm]dim_{\IQ}(\IZ)[/mm] = 1? Dann rang(A) = 1+1+1+0+0=3.
>
> 2. rang(B) = [mm]dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ}[/mm] B) =
> [mm]dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ} (\IZ/8\IZ \oplus 5\IZ \oplus 8\IZ))[/mm]
> = [mm]dim_{\IQ}((\IQ \otimes_{\IZ} \IZ/8\IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} 5\IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} 8\IZ))[/mm]
> = [mm]dim_{\IQ}((\IQ \otimes_{\IZ} 5\IZ) \oplus (\IQ \otimes_{\IZ} 8\IZ))[/mm]
>
> Ich vermute, dass [mm]\IQ \otimes_{\IZ} 5\IZ \cong \IQ \otimes_{\IZ} 8\IZ \cong \IQ,[/mm]
> oder?
> Falls ja, dann rang(B) [mm]=dim_{\IQ}(\IQ \otimes \IQ)[/mm] =
> [mm]dim_{\IQ}(\IQ^2)[/mm] = 2.
> Oder auch wie oben:
> rang(B) = [mm]dim_{\IQ}(\IQ \otimes_{\IZ}[/mm] B) =
> [mm]dim_{\IQ}(\IQ)*dim_{\IQ}(B)[/mm] = [mm]1*dim_{\IQ}(\IZ/8\IZ \oplus 5\IZ \oplus 8\IZ)[/mm]
> = [mm]dim_{\IQ}(\IZ/8\IZ)[/mm] + [mm]dim_{\IQ}(5\IZ)[/mm] + [mm]dim_{\IQ}(8\IZ)[/mm] =
> 0+1+1 = 2.
> Ist es richtig?
>
> Herzliche Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 So 05.10.2014 | | Autor: | Imperio |
Ahso, jetzt verstehe ich.
Vielen, vielen Dank!
|
|
|
|
